因式分解的几种方法

1、因式分解的几种方法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛 地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方 面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一 个多项式在一个范围 ( 如有理数范围内分解，即所有项均为有 理数) 化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项 式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解的几种方法1 、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个 公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1 、分解因式 x3-2x2-xx3-2x2-x=x(x2-2x-1)2 、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆

2、的关系，如果把乘法公 式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2 、分解因式 a2+4ab+4b2解： a2+4ab+4b2=(a+2b)23 、分组分解法要把多项式am+an+bm+b分解因式，可以先把它前两项分 成一组，并提出公因式 a,把它后两项分成一组，并提出公因 式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n从而 得到 (a+b)(m+n)例 3、分解因式 m2+5n-mn-5m解： m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n= (m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4 、十字相乘法对于 mx2+px+q形

3、式的多项式，如果ax b=m,cx d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例 4、分解因式 7x2-19x-6 分析： 1x 7=7,2x(-3)=-6 1x 2+7x(-3)=-19 解： 7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5 、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配 成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分 解。例 5、分解因式 x2+6x-40解 x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40=(x+ 3)2-(7 )2=(x+3)+7*(x+3)- 7=(x+10)(x-4)6 、拆、添项法 可以把多项式

4、拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)- ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 、换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成 另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x4 - x3-6x2-x+2(也叫相反式，在这里以 二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项 对称，

5、系数相等，解法也是把对称项结合在一起 )解：2x4 x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2 =x22x2+()2-(x+)-6令 y=x+,x22x2+()2-(x+)-6= x22(y2-2)-y-6= x2(2y2-y-10)=x2(y+2)(2y-5)=x2(x+2)(2x+-5)=(x2+2x+1)(2x2-5x+2)=(x+1)2(2x-1)(x-2)8 、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,xn,则多项式 可因式分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x -xn)( 一般情况下是试根法，并且一般试 -3,-2,-1,0,1,

6、2,3 这些数是不是 方程的根 )例 8、分解因式 2x4+7x3-2x2-13x+6解：令 f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0通过综合除法可知， f(x)=0 根为， -3 ， -2 ， 1 ,则 2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9 、图象法( 这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的 )令 y=f(x) ，做出函数 y=f(x) 的图象，找到函数图象与 X 轴的交点x1,x2,x3, xn,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x -xn)例 9、因式分

7、解 x3+2x2-5x-6解：令 y=x3+2x2-5x-6作出其图象，可知与 x 轴交点为 -3， -1 ， 2则 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10 、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高 到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) 分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列 解： a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)=(b-c) a2-a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11 、利用特殊值法将2或10(或其它数)

8、代入x，求出数P,将数P分解质因 数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2 或 10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例 11、分解因式 x3+9x2+23x+15解：令 x=2，则 x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3X 5X7 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7分别为 x+1 , x+3, x+5，在 x=2 时的值则 x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)12 、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系 数，求出字母系数，从而把多项式因式分

9、解。例 12、分解因式 x4 - x3-5x2-6x-4 如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两 个二次因式。解：设 x4 x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 从而 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以解得贝V x4 x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4) 因式分解的几种方法1 】提取公因式 这种方法比较常规、简单，必须掌握。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 例一： 2x-3x=0解： x(2x-3)=0 x1=0,x2=3/2

10、这是一类利用因式分解的方程。 总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解 x=a 时， 该式分解后必有一个 (x-a) 因式 这对我们后面的学习有帮助。2 】公式法 将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例二： x-4 分解因式分析：此题较为简单，可以看出 4=2 2 ，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式 =(x+2)(x-2)3 】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很 轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1.a2 的积 a1.a2 ，把常数项 c 分解成两个因数 c1.c2 的积 c1.c2 ， 并使a1c2?a2c1正