高等数学典型例题第十一章

1、第十一章 微分方程例1 求通解为的微分方程，其中、是任意常数分析 所给通解表达式中含两个任意常数，故所求的方程应该是二阶的解 由，解得，将代入整理得，此即为所求微分方程例2 试证是方程的解，但不是它的通解，其中是任意常数分析 这类题验证所给函数是相应微分方程的通解或解，只需求出函数的各阶导数，代入微分方程，看是否使微分方程成为恒等式证 可以写成，记，则有，将其代入方程得左端 右端，所以是方程的解，由于解中只含有一个独立的任意常数，故它不是该方程的通解注 需要弄清楚解、通解的定义，通解中独立常数的个数应与方程的阶数相同例3 求下列微分方程的通解：（1）； （2）分析 在求解微分方程时，首先要判断

2、方程的类型，然后根据不同类型，确定解题方法解 （1）方程两端同时除以，则有，积分得，故通解为，令，则，而是方程的解，如果在上述通解中允许，则也包含在该通解中，因而，原方程的通解是，其中是任意常数（2）令则有，代入原方程得，即，所以，分离变量得，于是，即有，得通解（这里）注1 如果题目要求是求方程的所有解，本题（1）中，当用去除方程时，可能导致方程失去满足的解，即，所以要对此解进行分析注2 当方程中出现等形式的项时，相应地，通常要做如下一些变量替换，等例4 解方程 ，并求满足初始条件时的特解解 分离变量得 ，两边积分则有，从而可得通解为（其中是任意常数）另外，方程还有解，不包含在该通解中，故需补

3、上为了求特解，将代入通解得，故所求的特解为例（01研） 设函数在内连续，且对任意有，求分析条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导，将积分方程转化为解微分方程解此微分方程，并利用已知条件即可求出函数解在等式两端关于求导，得，令可得，由于，从而有，对上式两端关于求导，得，即，所以，将代入上式，得，故例6（98研） 已知函数在任意点处的增量，且当时，是的高阶无穷小，则等于（ ）A BC D分析由微分定义及原题设可知， 解此方程可求得， 进而可求得解法1 由于，且当时，是的高阶无穷小，由微分的定义可知，即，两边积分得即，其中由，则有于是 故选D解法2 等式两边除以并令，得，即

4、 以下过程同解法1例7求方程的通解分析原方程可化为齐次方程；也可写成；还可换元令解法1 将方程化为齐次方程，令，则有，代入原方程得，即，于是，积分得，将代入该式，故通解为（这里）解法2原方程可写成， 为时对应的伯努利方程， 令，得线性方程， 由一阶非齐次线性方程的通解公式可得，其中积分求出并代入得通解，其中取任意常数解法3 令，则可得即，积分得，即有，其中为任意常数例8 求微分方程的解分析 这是一阶非齐次线性方程，可用常数变易法，也可直接利用公式解法1 套用公式直接求其通解这里，将其代入公式，得原方程的通解为解法2用常数变易法求其通解，其对应的齐次线性方程为，分离变量后求得其通解为，假设是原方

5、程的解，代入原方程得，积分则有，故原方程的通解为例9求微分方程的解解法1原方程化为，此为齐次方程，令，得，分离变量有， 积分得，将代入上式得该方程通解为解法2原方程可变形为，此为一阶线性非齐次方程，其中，由一阶线性非齐次方程的通解公式，可求得通解为例10设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数且，且不恒等于零，则等于（ ）A B C D分析由曲线积分与路径无关的充分必要条件可知，从而可得关于的微分方程，解此微分方程即可解 由题设可得于是结合不恒等于零，即得，解得由得 故有，故选B例11（00研） 设对于半空间内任意光滑有向封闭曲面都有，其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求解 不失一般性，假

6、设曲面取外侧，设所围成的立体为，根据高斯公式，有 ，由的任意性，知，即，此为一阶线性非齐次方程，解得其通解为又，故，即有，得，于是例12求方程的通解分析原方程可写成，这是时的伯努利方程解令，得 ，代入原方程则有，即，此为一阶线性非齐次方程，利用一阶线性非齐次方程的通解公式求得其通解为，于是得，即为原方程的通解例13判断下列方程是否为全微分方程，并求出其解（1）； （2）分析方程为全微分方程的充要条件是如果不是全微分方程，此时若存在一个积分因子，使得是全微分方程，则方程可转化为全微分方程来求解解 （1）这里由于，该方程是全微分方程设则即为所求的通解，以下用三种方法来求解法1选择积分路径为折线路径

7、：则 解法2方程左端，所以解法3由于，则，其中为待定的可微函数，上式两端分别对求导，得由得，所以故可取，故由上面的任意一种方法都可以解得此方程的通解为（其中C为任意的常数）（2），原方程不是全微分方程可考虑寻求原方程的积分因子 解法1 原方程可化为，此时，方程的左端有积分因子、等由于右端只有，故取为积分因子，即有，从而可得其通解为此外，亦为原方程的解解法2原方程可写为即，此为齐次方程，令，则有，即，得其通解为，于是原方程通解为另外，也是原方程的解解法3将看成是以为自变量的函数，原方程可化为线性方程，求得其通解为此外，易见也是原方程的解例14求满足初始条件的解分析 该方程为型可降阶的高阶微分方程

8、，方程的右端仅含有自变量， 将作为新的未知函数，原方程则为新未知函数的一阶微分方程，两边积分得关于的阶微分方程依此法连续积分次可得原方程的含有个任意常数的通解解两端积分得，又，则得，故，对其积分得，将代入上式，得，于是，对该式再次积分得，由于，可得，故所求的特解为注 在此类题目中，一般若出现任意常数，可依据初始条件逐步确定，使后面的运算简化若先求出通解，再由初值条件定特解也可以，只是计算将会麻烦一点例15（00研）微分方程的通解是 分析 该方程中不显含，可以看成是型的可降阶微分方程；另外原方程可化为欧拉方程解法1 方程属于型的可降阶微分方程令， 则，原方程化为一阶线性方程，即，其通解为，再对其

9、积分得通解为 解法2 原方程可化为欧拉方程令，则原方程可化为求得其通解为例16（02研） 微分方程满足初始条件，的特解是 分析 该方程中不显含，可以看成是型的可降阶微分方程；另外原方程可化为解法1 此微分方程属于型令，则，于是原方程为，得或前者不满足初始条件，故由后者得， 即由初始条件当时，于是，则有，即积分得由初始条件得 故所求特解为解法2 由得从而余下解法同解法1例17 设线性无关的函数、都是二阶非齐次线性方程的解，其中是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）A BC D解 非齐次线性方程通解的结构是对应齐次线性方程的通解加上非齐次线性方程自身的一个特解A项当时，不是方程的解，当然就不会是

10、通解，显然不对；B项写成，与是齐次方程的解，因而不是非齐次方程的通解，也不对；C项将代入方程左边得，因而当时，不是该方程的解，故也不是通解；D项写成，与是齐次方程的两个线性无关的特解，是非齐次方程的特解，故是非齐次方程的通解，从而选D例18求下列常系数齐次线性方程的通解（1）； （2）； （3）解（1）所给微分方程的特征方程为，解得两特征根为，属于两个不相等特征根的情形，故其通解为，其中与为任意常数（2）所给微分方程的特征方程为，其根为一对共轭复根，则所求通解为，其中与为任意常数（3）所给方程的特征方程为，解得（二重根），故通解为，其中与为任意常数例19（97研） 设函数具有二阶连续导数，而满

11、足方程，求分析 先求出与，然后将其代入到方程中即可得到一个以为未知函数的微分方程解令，则有 ，将与代入方程可得，其特征方程，特征根为，于是，其中与为任意常数例20（01研）设（为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 分析已知常系数齐次线性微分方程来求其通解与已知通解来确定其方程互为逆运算已知通解来确定其方程，可以直接求导求出任意常数代入通解中得到其方程，也可以借助于特征方程及特征根与方程的关系来确定方程由此题所给通解形式可知，特征方程有一对共轭复根解法1 类似例1，可通过求出与消去的方法得到所求微分方程，请读者自行完成解法2 由通解的形式可知特征方程的两个根是，从而得知特

12、征方程为故所求微分方程为例 21求下列常系数齐次线性方程的通解：（1）； （2） 解（1）原方程对应的特征方程为即，得，为三重根，因此方程的通解为，其中、为任意常数（2）原方程对应的特征方程为即，特征根是二重共轭复根，故原方程的通解为：，其中为任意常数例22设，其中为连续函数，求分析条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导，将积分方程转化为解微分方程，但是的被积函数中含有，不能直接求导，先要将其提到积分号外然后才能求导 解 因为为连续函数，故为可导函数，对题设等式两边关于求导得， 再对上式两边关于求导得，该方程对应的齐次方程的特征方程为，得，则齐次方程的通解为，其中、为

13、任意常数下面求非齐次方程的一个特解由于是特征方程的单根，故所求非齐次方程的特解形如，于是将代入该非齐次方程中比较系数可得，则该非齐次方程的通解为，其中、为任意常数由题设等式可知存在隐含初始条件，又由可知，将与代入上述非齐次方程的通解中解得，故例 23求微分方程的通解解 原方程对应的齐次方程的特征方程为，其两个根为；而对于非齐次项， 为特征方程的单根，故非齐次方程有形如的特解，代入原方程可得 故所求通解为，其中、为任意常数例24求下列各非齐次线性微分方程的通解（1）； （2）；（3）； （4）解（1）先求原方程对应的齐次方程的通解，对应齐次方程的特征方程为，解得则对应的齐次方程的通解为，其中为任

14、意常数下面再求非齐次线性方程的一个特解属于型，其中，又不是特征根，故原方程有形如的特解，可设，其中为待定常数，将代入原方程，得到，比较系数得，从而，则原方程的通解为，其中为任意常数（2）所给方程对应的齐次方程的特征方程为，即，有二重根，而属于型，对于非齐次项，为二重根故可设非齐次方程的特解为，代入原方程可得，故所求通解为，其中、为任意常数（3）解法1由于，属于非齐次项为型的非齐次线性微分方程，其中，其相应的齐次线性微分方程为，特征方程为，求得特征根，故该齐次方程的通解为，由于是特征根，故原方程有形如的特解，这里，即原方程的一个特解可设为：，代入原方程得，比较方程两边的系数，得，故原方程的特解为

15、：从而原方程的通解为 ，其中、为任意常数解法2求其对应的齐次方程的通解同解法1，在求非齐次线性微分方程的一个特解时， 可利用复数法求考虑方程，即，属于非齐次项为型的非齐次线性微分方程， 由于是对应齐次方程的特征根，故可设其一个特解为，将其代入方程可得， 得于是特解，取的虚部便可得到原方程的一个特解为于是得原方程的通解为，其中、为任意常数（4）该方程的非齐次项由构成，根据非齐次线性微分方程解的叠加原理求其特解；原方程对应的齐次方程的特征方程为，其特征根为，故对应的齐次方程的通解为，其中、为任意常数；a对于非齐次线性微分方程，不是特征方程的根，故可设其特解为，代入该非齐次方程，得，从而其特解为；b

16、对于非齐次方程，是特征方程的单根，故可设其特解为，代入该非齐次方程得，从而其特解为；c对于非齐次线性微分方程，不是特征方程的根，故可设其特解为，代入该非齐次线方程得，从而其特解为；根据解的叠加原理与通解结构定理可得原方程的通解为，即所求通解为 ，其中、为任意常数注对于类型的特殊情形：与均可用（3）中的解法2来求特解，其中为实系数多项式例 25（03研）设函数在内具有二阶导数，且，是的反函数（1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程（2）求变换后的微分方程满足初始条件，的解分析由反函数导数公式， 把， 用含有及的各阶导数的函数表示， 代入题设等式验证即可解 （1）由反函数导数公式知，即，再对

17、该式两端关于求导，得，所以，代入原微分方程可得（2）方程所对应的齐次方程的通解为 设该非齐次方程的特解为，代入可得，故，从而的通解是，其中、为任意常数由，得，故所求初值问题的解为例26求方程的通解分析此方程为欧拉方程，作变量代换求解解当时，作变换，或，则有，原方程化为对应的齐次方程为，其通解为，非齐次方程的特解可设为，代入该方程得，故其通解为，其中、为任意常数即原方程在时的通解为当时，令，类似地，可求出原方程在时的通解为综上所述， 原方程的通解为，其中、为任意常数例27设有连接点与的一条上凸的曲线弧，对于其上任一点，曲线弧与直线段围成的图形的面积为，求曲线弧的方程分析如图111所示，利用定积分

18、的几何意义即可求出曲线弧与直线段围成的图形的面积，利用已知条件，可得一个含有未知函数的积分方程，对其求导得一微分方程，解之即可解设曲线弧的方程为，由题设其上任一点的坐标满足，曲线弧与直线段围成的图形的面积图111408，依题意有，即，两端对求导，整理得，于是所求问题转化为初值问题，解此微分方程，得通解 ，将初始条件代入得，所以综上所述，曲线弧的方程为：例28在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数（是法线与轴的交点），且曲线在点处的切线与轴平行解 设所求曲线为，由题意，有，则上的点处法线方程为（），它与轴的交点为， 于是，得方程，由题意可知即要求解如下

19、初值问题：，方程不显含，令，则有，于是可化为 即，解之得 ，从而有，又，可得，有于是，由得， 所以，即，于是上面两式相加即得所求曲线方程为注 对于几何问题，一般是求曲线方程，依据题意，由几何中的定理、公式建立微分方程并给出可能的初始条件求解下面这些结果经常会用：1表示曲线在点处切线的斜率；2表示曲线在点处的法线斜率；3表示由曲线（）、直线、及轴所围成的图形的面积；4曲线上横坐标为的点的曲率为；5弧长的微分例29已知某车间的容积为，其中的空气含的（以容积计算），现以含为的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车间空气中的含量不超过？（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后，以相

20、同的流量排出）解 设每分钟应输入新鲜空气，同时设在时刻，车间内含的量为，考虑在到的时段内的变化，根据题意则有的输入的排出 =，故 令则可得如下初值问题： 分离变量求得其通解为再由初始条件得，故，由问题的实际意义可知是减函数，故当时 ，于是可得注 用微元法或称区间法建立微分方程，要从变量在一个微小区间上的变化量入手，建立起变量在区间上的变化量与区间的长度之间的关系，即：，令，通过取极限并利用导数的定义即可得微分方程例30（97研）在某一个人群中推广新技术是通过其中已掌握技术的人进行的设该人群的总人数为，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术的人数为（将视为连续可微变量），其变化率与已

21、掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数，求分析 导数的实质即为函数的变化率，因此，的变化率为，据此问题不难求解解 由题意可知原问题等价于求解如下微分方程的初值问题：，分离变量得，即，可得，其中，由可得，所以，即 例31（01研） 设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数），问高度为（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？分析 这是一道数学综合应用题，需正确理解题意要求能用三重积分求出体积，用二重积分求出侧面积，并根据题意建立数学模型，解出，最后求出时的值。解 记为雪堆体积，为雪堆侧面积，则，,其中.由题意知，所以，因此，由得令得（小时）.因此高度为厘米的雪堆全部融化所需时间为小时。例32（04研） 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间飞机尾部张开减速伞