高考备考数学空间向量提分专练

1、.2019年高考备考数学空间向量提分专练空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，查字典数学网整理了空间向量提分专练，帮助考生学习数学知识!难点 1利用空间向量解立几中的探究性问题1.如图11-23，PD面ABCD，ABCD为正方形，AB=2，E是PB的中点，且异面直线DP与AE所成的角的余弦为。试在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB。2.如图11-25，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面ABCD是一个直角梯形，AB、CD为梯形的两腰，且AB=AD=AA1=a。假如截面ACD1的面种为S，求点D到平面ACD1的间隔 ;当为何值时，平面AB1C平面AB1D1。证明你的结论。难点 2利用空间

2、向量求角和间隔 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。1棱BC上是否存在点P，使A1PPD，说明理由;2假设BC上有且仅有一点P，使A1PPD，试求此时的二面角P-A1D-A的大小。【易错点点睛】易错点 1求异面直线所成的角1.如图11-1，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。1证明：面PAD面PCD;2求AC与PB所成的角;3求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。A-MC-B为钝角，二面角A-CM-B的大小为。2.如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中

3、，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足为E。1求证BDA1C;2求二面角A1-BD-C1的大小;3求异面直线AD与BC1所成角的大小。【特别提醒】利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为a，0，0，xoz面上的点坐标为a,0,b等，其次还应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的

4、坐标。【举一反三】1.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。2.如图11-4，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D，BD的中点，G在CD上，且CG=CD，H为C1G的中点。1求证：EFB1C;3.如图11-5 四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。1求证：平面PAD平面PCD;2假设E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值;3在BC边上是否存在一点G，使得D点在平面PAG的间隔 为1，假如存在，求出BG的值;假如不存在，请说明理由。易错点 2求直线与平面所成的角1.

5、如图在三棱锥PABC中，ABBC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC。1当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小;2当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?2.如图11-7，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。1求证EF平面PAB;2设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。【特别提醒】求直线与平面所成角的公式为：sin=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n应过直线上某个点，如例4中n应

6、过C点，这是错误的，这里n是平面的任意一个法向量，再说一个向量过某一个详细的点这种说法也是错误的。【举一反三】1如图11-9，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90AC=2，BC=6，D为A1B1的中点，异面直线CD与A1B垂直。1求直三棱术ABC-A1B1C1的高;2、如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F。1求证：A1C平面BED;2求A1B与平面BDE所成的角是正弦值。3、四棱锥P-ABCD如图，底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，M、N别为AD、BC的中点，MQPD于Q，直

7、线PC与平面PBA所成角的正弦值为1求证：平面PMN平面PAD;2求PA的长;3求二面角P-MN-Q的余弦值。易错点 3 求二面角的大小在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，如图11-12。1证明：AB平面VAD;2求二面角A-VD-B的大小。如图11-14，三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC、PEF都是正三角形，PFAB。1证明：PC平面PAB;2求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;3假设点P、A、B、C在一个外表积为12的球面上，求ABC的边长。【特别提醒】利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角

8、公式求出两法现量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，详细是哪一种，一般有两种判断方法：1根据图形判断二面角是锐角还是钝角;2根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法如三垂线定理作出二面角的平面角简单，或传统方法与空间向量相结合来解。【举一反三】“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等

9、，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。如图，在三棱锥P-OAC中，OP、OA、OC两两互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B为OC的中点。1求异面直线PC与AB所成角的余弦值;“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说

10、也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的老师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末，学堂兴起，各科老师仍沿用“教习一称。其实“教谕在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员