可数性公理实用实用教案实用教案

1、2021-12-15宁德师范高等(godng)专科学校15.1 5.1 第一第一(dy)(dy)与第二可数性公与第二可数性公理理 第二(d r)章介绍的空间的基, 在生成拓扑空间, 描述局部连通性, 刻画连续性等方面都发挥了积极的作用. 较少的基元对于进一步讨论空间的属性是重要的. 定义5.1.1 若X有可数基, 称X满足第二(d r)可数(性)公理, 或是第二(d r)可数空间, 简称A2空间. 定理5.1.1 RA2. 证 令B=(a, b) | a, bQ, 定理2.6.2, B是R的可数基. 离散空间X具有可数基X是可数集.第1页/共17页第一页，共18页。2021-12-15宁德师范

2、(shfn)高等专科学校25.1 5.1 第一第一(dy)(dy)与第二可数性公与第二可数性公理理(2) (2) 下面讨论“局部基”性质. (定义2.6.3)对xX, 设Ux是x的邻域系, 若VxUx满足: UUx, VVx使VU, 则称Vx是x的邻域基, 若更设Vx中每一元都是开的, 则称Vx是x的开邻域基或局部基. 易验证, (1) 若Vx是x在X的邻域基, 则V | VVx是x在X的局部基; (2)(定理2.6.7)若B是空间(kngjin)X的基, xX, 则Bx=BB | xB是x的局部基. 定义5.1.2 若X的每一点有可数邻域基, 称X满足第一可数(性)公理, 或是第一可数空间(

3、kngjin), 简称A1空间(kngjin). 定理5.1.2 度量空间(kngjin)A1. 证 B(x, 1/n) | nZ+是x的可数邻域基.第2页/共17页第二页，共18页。2021-12-15宁德师范高等(godng)专科学校35.1 5.1 第一与第二第一与第二(d r)(d r)可数性可数性公理公理(3) (3) 例例5.1.1 5.1.1 不可数多个点的可数补空间不可数多个点的可数补空间X: X: 非非A1.A1.设设x xX X有可数局部基有可数局部基V. V. y yX-x, X-x, VyVyV V使使VyVyyy, y, yVyVy, , 从而不可数集从而不可数集xx

4、VyVy | x | xy yXX可数集可数集, , 矛盾矛盾(modn).(modn). 定理定理5.1.3 A25.1.3 A2A1.A1. 证证 若若B B是是X X的可数基的可数基, , 则则Bx=BBx=BB|xB|xBB是是x xX X的可数邻域基的可数邻域基. . 逆命题不成立逆命题不成立, , 不可数的离散空间是反例不可数的离散空间是反例. . 定理定理5.1.4 5.1.4 设设f: Xf: XY Y连续、满、开映射连续、满、开映射, , 则则X X是是A2(A1)A2(A1)Y Y是是A2(A1).A2(A1).第3页/共17页第三页，共18页。2021-12-15宁德师范

5、(shfn)高等专科学校45.1 5.1 第一与第二第一与第二(d r)(d r)可数性公可数性公理理(4) (4) 证证 设设B B是是X X的可数基的可数基, , 则则B B* *=f(B) | B=f(B) | BBB是是Y Y的可数基的可数基. .事实上事实上, , 设设U U是是y y在在Y Y中的邻域中的邻域(ln y), (ln y), 取取x xf-1(y), f-1(y), 则则f-1(U)f-1(U)是是x x的邻域的邻域(ln y), (ln y), B BB B使使x xB Bf-1(U), f-1(U), y yf(B)f(B)U. U. 证明也适用于证明也适用于:

6、: 设设V V是是x x在在X X的局部基的局部基, , 则则V V* *=f(V) | V=f(V) | VVV是是f(x)f(x)在在Y Y的局部基的局部基. . 可遗传性质可遗传性质( (如如, , 离散性离散性, , 平庸性平庸性), ), 开遗传性质开遗传性质( (如如, , 局部连通性局部连通性), ), 闭遗传性质闭遗传性质. . 定理定理5.1.5 A2, A15.1.5 A2, A1都是可遗传性质都是可遗传性质. . 证证 设设Y YX. X. 若若B B是是X X的可数基的可数基, , 则则B|YB|Y是是Y Y的可数基的可数基. . 若若y yY Y且且V V是是y y在

7、在X X中的邻域中的邻域(ln y)(ln y)基基, , 则则V|YV|Y是是y y在在Y Y中的可数邻域中的可数邻域(ln y)(ln y)基基. .第4页/共17页第四页，共18页。2021-12-15宁德师范高等(godng)专科学校55.1 5.1 第一第一(dy)(dy)与第二可数性公与第二可数性公理理(5) (5) 定理定理5.1.6 A2, A15.1.6 A2, A1都是有限可积性都是有限可积性. . 证证 仅证若仅证若X1, X2X1, X2是是A1A1空间空间, , 则则X1X1X2X2是是A1A1空间空间. . x=(x1, x2)x=(x1, x2)X1X1X2, X

8、2, 分别设分别设x1, x2x1, x2在在X1, X2X1, X2的可数局部基是的可数局部基是V1, V2, V1, V2, 令令V=V1V=V1V2 | V1V2 | V1V1, V1, V2V2V2, V2, 则则V V是是x x在在X1X1X2X2中的可数局部基中的可数局部基. . 事实上事实上, , 设设U U是是x x在在X1X1X2X2中的邻域中的邻域, , 则分别则分别X1, X2X1, X2的开集的开集U1, U2U1, U2使使x xU1U1U2U2U U, , V1V1V1, V2V1, V2V2, V2, 使使V1V1U1U1且且V2V2U2, U2, 则则V1V1V

9、2V2U1U1U2U2U.U. 推论推论5.1.7 Rn5.1.7 Rn的每一子空间是的每一子空间是A2.A2. 作为作为2.72.7的继续的继续, , 下面下面(xi mian)(xi mian)讨论第一可数空间的序列性质讨论第一可数空间的序列性质. X. X中的集列中的集列AiiAiiZ+Z+称为下降称为下降的的, , 如果如果A1A1A2A2. . 第5页/共17页第五页，共18页。2021-12-15宁德师范(shfn)高等专科学校65.1 5.1 第一与第二第一与第二(d r)(d r)可数性可数性公理公理(6) (6) 定理定理5.1.8 X5.1.8 X在在x x有可数邻域有可数

10、邻域(ln y)(ln y)基基X X在在x x有下降的可数邻域有下降的可数邻域(ln y)(ln y)基基UiiUiiZ+.Z+. 证证 “ “”设设V iiV iiZ+Z+是是x x在在X X的可数邻域的可数邻域(ln y)(ln y)基基, , 令令Ui=V1V2Ui=V1V2Vi.Vi. 定理定理5.1.9 5.1.9 设设X X是是A1A1空间空间, A, AX. A-xX. A-x中序列中序列xi xix xx xd(A).d(A). 证证 定理定理2.7.22.7.2已证已证“”, ”, 下证下证“”. ”. 设设UiiUiiZ+Z+是是x x在在X X中下降的可数邻域中下降的可

11、数邻域(ln y)(ln y)基基. . xi xiUi(A-Ui(A-x), x), 则则xi xix. x. 事实上事实上, , x x的邻域的邻域(ln y)U, (ln y)U, n nZ+Z+使使UnUnU, U, in, xiin, xiUiUiUnUnU.U.第6页/共17页第六页，共18页。2021-12-15宁德师范高等(godng)专科学校75.1 5.1 第一第一(dy)(dy)与第二可数性公与第二可数性公理理(7) (7) 定理定理5.1.10 5.1.10 设设X X是是A1A1空间空间. . 则则 f: X f: XY Y连续连续xi xix xX, f(xi)X,

12、 f(xi)f(x).f(x). 证证 定理定理2.7.32.7.3已证已证“”, ”, 下证下证“”.”. 若若f f在某点在某点x xX X不连续不连续, , f(x)f(x)的邻域的邻域V V使使f-1(V)f-1(V)不是不是x x的邻域的邻域. . 设设UiiUiiZ+Z+是是x x在在X X中下降中下降(xijing)(xijing)的可的可数邻域基数邻域基, , 那么每一那么每一UiUif-1(V), f-1(V), xi xiUi-f-1(V), Ui-f-1(V), 于是于是xi xix, x, 从而从而f(xi)f(xi)f(x)f(x)V, V, n nZ+, Z+, i

13、nin有有f(xi)f(xi)Vi, xiVi, xif-1(V), f-1(V), 矛盾矛盾. .第7页/共17页第七页，共18页。2021-12-15宁德师范(shfn)高等专科学校85.2 5.2 可分空间可分空间(kngjin)(kngjin) 定义定义5.2.1 D5.2.1 DX X称为称为(chn wi)X(chn wi)X的稠密子集的稠密子集, , 若若c(D)=X, c(D)=X, 即若即若U U是是X X的非空开集的非空开集, , 则则UDUD. . 定义定义5.2.2 5.2.2 若若X X有可数的稠密子集有可数的稠密子集, X, X称为称为(chn wi)(chn wi

14、)可分空间可分空间. . 定理定理5.2.2 A25.2.2 A2可分可分. . 证证 设设B B是是X X的可数基的可数基, , B BB, B, 取定取定xBxBB, B, 令令D=xB | BD=xB | BB, B, 则则D D可数可数. . x xX, X, 及及x x的的任一邻域任一邻域U, U, B BB B使使x xB BU, U, 那么那么xBxBUD, UD, 所以所以UDUD, , 即即x xc(D). c(D)=X.c(D). c(D)=X. 由此由此, A2, A2的每一子空间是可分的的每一子空间是可分的; Rn; Rn的每一子空间是可分的的每一子空间是可分的. .第

15、8页/共17页第八页，共18页。2021-12-15宁德师范高等(godng)专科学校95.2 5.2 可分空间可分空间(kngjin)(2)(kngjin)(2) 例例5.2.1 5.2.1 设设(X, T)(X, T)是拓扑空间是拓扑空间, , X. X. 定义定义X X* *=X=X, T, T* *=A=A | A | ATT. . 易验证易验证, (X, (X* *, T, T* *) )是拓是拓扑空间扑空间; B; B是是(X, T)(X, T)的基的基B B* *=B=B | B | BBB是是(X(X* *, T, T* *) )的基的基. . (1) (X (1) (X* *

16、, T, T* *) )是可分空间是可分空间, , 因为因为 是是X X* *的稠密集的稠密集; ; (2) (X (2) (X* *, T, T* *) )是是A2A2(X, T)(X, T)是是A2;A2; (3) (X, T) (3) (X, T)是是(X(X* *, T, T* *) )的的( (闭闭) )子空间子空间, , 因为因为T=TT=T* *|X.|X. 现在现在, , 取取(X, T)(X, T)是不可数的离散空间是不可数的离散空间, , 则则(X, T)(X, T)不是不是(b shi)(b shi)可分空间可分空间, (X, (X* *, T, T* *) )是可分是可

17、分, , 非非A2A2空间空间, , 所以所以, (i), (i)可分可分A2; (ii)A2; (ii)可分性不是可分性不是(b shi)(b shi)(闭闭) )遗传性遗传性. .第9页/共17页第九页，共18页。2021-12-15宁德师范(shfn)高等专科学校105.2 5.2 可分空间可分空间(kngjin)(3)(kngjin)(3) 定理定理(dngl)5.2.4 (dngl)5.2.4 可分度量可分度量A2. A2. 由此, 可分度量空间的每一子空间是可分的.Uy y*B(y, 1/k)B(y*, 1/2k)(设xB(y*, 1/2k), (x, y)(x, y*)+(y*,

18、 y)1/k). 证证 设D是度量空间(X, )的可数稠密集. 令B=B(x, 1/n) | xD, nZ Z+, 则B是X的可数基. 事实上, yX及y在X中的邻域U, kZ Z+, 使B(y, 1/k)U. 由于c(D)=X, y*B(y, 1/2k)D, 那么B(y*, 1/2k)B且yB(y*, 1/2k)B(y, 1/k)U.第10页/共17页第十页，共18页。2021-12-15宁德师范(shfn)高等专科学校115.3 Lindel5.3 Lindelf f空间空间(kngjin)(kngjin) 定义定义5.3.1 5.3.1 设设A A是是X X的子集族的子集族, B, BX

19、. X. 若若B BA, A, 则称则称A A是是B B的覆盖的覆盖(fgi), (fgi), 并且当并且当A A是可数集是可数集( (有限集有限集, , 开开集集, , 闭集闭集) )族时族时, , 称称A A是是B B的可数的可数( (有限有限, , 开开, , 闭闭) )覆盖覆盖(fgi). (fgi). 若若A A的子集的子集A1A1覆盖覆盖(fgi)B, (fgi)B, 则则A1A1称为称为A A的子覆的子覆盖盖(fgi).(fgi). 数学分析中的数学分析中的Heine-BorelHeine-Borel定理定理: R: R的闭区间的每一开覆盖的闭区间的每一开覆盖(fgi)(fgi)

20、有有限子覆盖有有限子覆盖(fgi).(fgi). 定义定义5.3.2 X5.3.2 X称为称为LindelfLindelf空间空间, , 若若X X的每一开覆盖的每一开覆盖(fgi)(fgi)有可数子覆盖有可数子覆盖(fgi).(fgi). 含有不可数多个点的离散空间不是含有不可数多个点的离散空间不是LindelfLindelf空间空间. . 第11页/共17页第十一页，共18页。2021-12-15宁德师范(shfn)高等专科学校125.3 Lindel5.3 Lindelf f空间空间(kngjin)(2)(kngjin)(2) 定理定理5.3.1(Lindelf5.3.1(Lindelf

21、定理定理) A2) A2Lindelf.Lindelf. 证证 设设X X有可数基有可数基B. B. 让让A A是是X X的任一开覆盖的任一开覆盖(fgi), (fgi), 令令 B1=B B1=BB | B | A AA A使使B BA=BnnA=BnnZ+.Z+.AnAnA A使使BnBnAn. An. 则则AnnAnnZ+Z+是是A A的可数子覆盖的可数子覆盖(fgi). (fgi). 事实上事实上, , x xX, X, A AA A使使x xA, A, B BB B使使x xB BA, A, 设设B=Bn, B=Bn, 那么那么x xAn.An. 由此由此, A2, A2空间的每一子

22、空间是空间的每一子空间是LindelfLindelf空间空间.( .(推论推论5.3.2)5.3.2)第12页/共17页第十二页，共18页。2021-12-15宁德师范(shfn)高等专科学校135.3 Lindel5.3 Lindelf f空间空间(kngjin)(3)(kngjin)(3) 例例5.3.1 5.3.1 含有不可数个点的可数补空间含有不可数个点的可数补空间X: LindelfX: Lindelf空间空间. . 例例5.1.15.1.1已证明已证明(zhngmng)X(zhngmng)X不是不是A1A1空间空间. . 设设A A是是X X的开覆盖的开覆盖. . 取定取定A AA

23、, A, x xA A, , AxAxA A使使x xAx, Ax, 则则 AAx | x AAx | xA A 是是A A的可数子覆盖的可数子覆盖. . 故故X X是是LindelfLindelf空间空间. . 同理同理, X, X的每一子空间也是的每一子空间也是LindelfLindelf空间空间. .第13页/共17页第十三页，共18页。2021-12-15宁德师范(shfn)高等专科学校145.3 Lindel5.3 Lindelf f空间空间(kngjin)(4)(kngjin)(4) 定理定理5.3.3 Lindelf5.3.3 Lindelf度量度量A2.A2. 证证 设设(X,

24、 (X, ) )是是LindelfLindelf的度量空间的度量空间(kngjin). (kngjin). k kZ+, Z+, X X的开覆盖的开覆盖Ak=B(x, 1/k) | xAk=B(x, 1/k) | xXX有可数子覆盖有可数子覆盖Bk=B(xki, Bk=B(xki, 1/k) | i1/k) | iZ+. Z+. 下证下证D=xki | k, iD=xki | k, iZ+Z+是是X X的可数稠密集的可数稠密集. . UUx xkiDB(x, 1/k) 对X的任一非空开集U, xU, kZ Z+使B(x, 1/k)U. 由于Bk是X的覆盖, iZ Z+使xB(xki, 1/k), 那么xkiB(x, 1/k)U, 于是DU.