第六章 静定结构的内力计算

1、第六章第六章 静定结构的内力计算静定结构的内力计算61 61 内力内力 截面法截面法62 62 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力63 63 梁的内力剪力和弯矩梁的内力剪力和弯矩6-4 6-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图6-5 6-5 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图6-6 6-6 静定平面桁架内力静定平面桁架内力6-1 6-1 内力内力 截面法截面法 一、内力的概念一、内力的概念对于所研究的物系受到其它物系给予的作用力称之为对于所研究的物系受到其它物系给予的作用力称之为外力外力，而将此物系内部各物体之间的相互作用力称为而将此物系内部各物体之间的相互作用力称为内力内力。 当我们讨论构件的强度和

2、刚度等问题时，一般总是以当我们讨论构件的强度和刚度等问题时，一般总是以某一构件（不能再拆的结构元件）作为研究对象，因此，其某一构件（不能再拆的结构元件）作为研究对象，因此，其它构件对此构件的作用力，就称为它所受到的外力。而它构件对此构件的作用力，就称为它所受到的外力。而内力内力则指的是此构件内部之间或各质点之间的相互作用力。则指的是此构件内部之间或各质点之间的相互作用力。 当构件受到外力作用时，其形状和尺寸都将发生变化。当构件受到外力作用时，其形状和尺寸都将发生变化。构件内力也将随之改变，这一因外力作用而引起构件内力构件内力也将随之改变，这一因外力作用而引起构件内力的改变量，称为的改变量，称为

3、附加内力附加内力。其作用趋势是力图使构件保持。其作用趋势是力图使构件保持其原有形状与尺寸。其原有形状与尺寸。 研究构件的变形和破坏问题，离不开讨论附加内力与外研究构件的变形和破坏问题，离不开讨论附加内力与外力的关系以及附加内力的限度。因为我们的讨论只涉及附加内力的关系以及附加内力的限度。因为我们的讨论只涉及附加内力。力。故以后即把附加内力简称为内力。故以后即把附加内力简称为内力。 二、内力的求法截面法二、内力的求法截面法为显示和计算内力，通常运用截面法，其一般步骤如下：为显示和计算内力，通常运用截面法，其一般步骤如下：1 1）截开）截开 在需求内力的截面处，将构件假想截成两部分。在需求内力的截

4、面处，将构件假想截成两部分。2 2）代替）代替 留下一部分，弃去另一部分，并用内力代替弃留下一部分，弃去另一部分，并用内力代替弃去部分对留下部分的作用。去部分对留下部分的作用。3 3）平衡）平衡 根据留下部分的平衡条件求出该截面的内力。根据留下部分的平衡条件求出该截面的内力。6-2 6-2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 受力特征受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作用线与杆轴线重合。如用线与杆轴线重合。如6 61 1图图变形特征变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动。：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动。产生轴

5、向拉伸或压缩的杆件称为轴向拉杆或压杆。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为轴向拉杆或压杆。 如图如图6-26-2所示的屋架，上弦杆是压杆，下弦杆是拉杆。所示的屋架，上弦杆是压杆，下弦杆是拉杆。 图图6 61 1图图6 62 2 运用截面法确定杆件内任一截面上的内力运用截面法确定杆件内任一截面上的内力 ，将沿杆轴，将沿杆轴线方向的内力合力称为轴力。线方向的内力合力称为轴力。 轴力拉伸为正，压缩为负轴力拉伸为正，压缩为负 如果直杆承受多于两个的外力时，直杆的不同段上将有不如果直杆承受多于两个的外力时，直杆的不同段上将有不同的轴力。应分段使用截面法，计算各段的轴力。同的轴力。应分段使用截面法，计算各段的轴力

6、。 为了形象地表示轴力沿杆件轴线的变化情况，可绘出轴力随横为了形象地表示轴力沿杆件轴线的变化情况，可绘出轴力随横截面变化的图线，这一图线称为截面变化的图线，这一图线称为轴力图轴力图。 例：求图示杆例：求图示杆1-11-1、2-22-2、3-33-3截面上的轴力截面上的轴力解：解：1 1）计算轴力）计算轴力kN10FN1kN5FN2kN20FN3由轴力图知kN20Fmax2）画轴力图6-3 6-3 梁的内力剪力和弯矩梁的内力剪力和弯矩 一、梁承受荷载的特点一、梁承受荷载的特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。 受力特征：受力特征：作用在直杆上的外力与杆轴线垂直作用在

7、直杆上的外力与杆轴线垂直 变形特征：变形特征：直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线纵向对称面：纵向对称面：梁的横截面的对称轴与梁的轴线所组成的梁的横截面的对称轴与梁的轴线所组成的平面称为纵向对称面。平面称为纵向对称面。 平面弯曲平面弯曲：如果作用于梁上的外力（包括荷载和支座反：如果作用于梁上的外力（包括荷载和支座反力）都位于纵向对称面内，且垂直于轴线，梁变形后的力）都位于纵向对称面内，且垂直于轴线，梁变形后的轴线将变成为纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲轴线将变成为纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。变形称为平面弯曲。 本节只讨论平面弯曲时横截面

8、上的内力。本节只讨论平面弯曲时横截面上的内力。 工程中常见的梁按支座情况分为下列三种典型形式：工程中常见的梁按支座情况分为下列三种典型形式：1)1)简支梁简支梁端铰支座，另一端为滚轴支座的梁，如图端铰支座，另一端为滚轴支座的梁，如图简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁工程中常见的梁按支座情况分为下列三种典型形式：工程中常见的梁按支座情况分为下列三种典型形式：) )外伸梁外伸梁梁身的一端或两端伸出支座的简支梁，如图。梁身的一端或两端伸出支座的简支梁，如图。) )悬臂梁悬臂梁端为固定支座，另一端自由的梁，如图。端为固定支座，另一端自由的梁，如图。以简支梁为例以简支梁为例二、梁的内力剪力和弯矩二、梁

9、的内力剪力和弯矩梁内力的性质梁内力的性质为了计算梁的应力和为了计算梁的应力和变形，需首先确定其变形，需首先确定其内力。分析梁内力的内力。分析梁内力的方法仍然是截面法。方法仍然是截面法。 支座反力：支座反力： 2PRBRAFFF求梁任一求梁任一横截面横截面1-11-1上的内力上的内力 梁横截面上的内力有两种：平行于横截面的内力梁横截面上的内力有两种：平行于横截面的内力Q Q和位于和位于梁纵向对称面内的内力偶梁纵向对称面内的内力偶M M。我们将。我们将Q Q称为剪力，将称为剪力，将M M称为称为弯矩。取左段为研究对象由平衡条件：弯矩。取左段为研究对象由平衡条件： 0yF0QRAFF2PRAQFFF

10、 0m0MxFRAxFMP2若取右段为研究对象，若取右段为研究对象，1 11 1截面也同时存在内力截面也同时存在内力 和内力和内力偶偶 ， （作用与反作用关系）。（作用与反作用关系）。QFMMMFFQQ; 剪力限制截面错动的变形，大小等于截面一侧所有外剪力限制截面错动的变形，大小等于截面一侧所有外力的和；弯矩限制了截面的转动，大小等于截面一侧所有外力的和；弯矩限制了截面的转动，大小等于截面一侧所有外力对截面形心矩的代数和。力对截面形心矩的代数和。2.2.剪力、弯矩的符号确定剪力、弯矩的符号确定 例：求图示梁例：求图示梁1-11-1、2-22-2、3-33-3、4-44-4截截面上的剪力和弯面上

11、的剪力和弯矩。矩。解：解：1 1）求支座反力）求支座反力得得45qaFRA由由0Am得得47qaFRB0Bm由由2 2）求各截面的内力）求各截面的内力各截面的内力均假设为正的，如图所示各截面的内力均假设为正的，如图所示451qaFFRAQ45212qaaFMMRA423qaqaFFFRAQQ23223qaaqaaFMRA434qaFqaFRBQ4524qaM 计算结果为正说明假设的正负正确，计算结果为负计算结果为正说明假设的正负正确，计算结果为负说明假设的正负正好相反。说明假设的正负正好相反。 通过上例得出求梁内力的规律：通过上例得出求梁内力的规律： 1)1)梁中任一截面的剪力在数值上等于该截

12、面一侧所有垂直于梁梁中任一截面的剪力在数值上等于该截面一侧所有垂直于梁轴线的外力的代数和。轴线的外力的代数和。符号确定方法是：外力使梁产生左上右下符号确定方法是：外力使梁产生左上右下错动趋势时，外力为正，反之外力为负。错动趋势时，外力为正，反之外力为负。即截面以左向上的外力即截面以左向上的外力或截面以右向下的外力产生正剪力（简称左上右下生正剪），反或截面以右向下的外力产生正剪力（简称左上右下生正剪），反之为负。之为负。 2)2)梁中任一截面的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力对该梁中任一截面的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。截面形心的力矩的代数和。符号确定方法是：

13、力矩使梁下凸时为符号确定方法是：力矩使梁下凸时为正，使梁上凸时为负。正，使梁上凸时为负。即向上的外力或截面以左顺时针转向的外即向上的外力或截面以左顺时针转向的外力偶或截面以右逆时针转向的外力偶产生正的弯矩（简称左顺右力偶或截面以右逆时针转向的外力偶产生正的弯矩（简称左顺右逆生正弯矩），反之为负。逆生正弯矩），反之为负。根据上述规律，求梁的剪力和弯矩时可以不必画出各段梁的示力根据上述规律，求梁的剪力和弯矩时可以不必画出各段梁的示力图，也不需要列出各段梁的平衡方程，可直接算出截面的弯矩和图，也不需要列出各段梁的平衡方程，可直接算出截面的弯矩和剪力。剪力。 例例 试求图所示悬臂梁试求图所示悬臂梁1-

14、11-1、2-22-2截面上的内力。截面上的内力。 解：解：1 1）悬臂梁左端为自由端，在求内力悬臂梁左端为自由端，在求内力时，若取左段为研究对象，则可省去求时，若取左段为研究对象，则可省去求支座反力。支座反力。 2 2）求）求1-11-1截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩 对对1-11-1截面的左端梁运用上述规律：截面的左端梁运用上述规律：qLLqFQ2121218142qLLLqM计算结果均为负，说明该截面内力是负剪力和负弯矩。计算结果均为负，说明该截面内力是负剪力和负弯矩。3）求求2-22-2截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩 对对2-22-2截面的左段梁运用上述规律：截面的左段梁运用上述规

15、律：LqLqFQ222212qLLLqM计算结果均为负，说明该截面内力是负剪力和负弯矩。计算结果均为负，说明该截面内力是负剪力和负弯矩。6-4 6-4 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 )(xFFQQ)(xMM 这种内力与截面位置这种内力与截面位置x x的函数式分别称为的函数式分别称为剪力方程剪力方程和和弯矩方弯矩方程程，统称为，统称为内力方程内力方程。 为了清楚地表示梁上各横截面的剪力和弯矩的大小、正负为了清楚地表示梁上各横截面的剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面（危险截面）的位置，把剪力方程和弯以及最大值所在截面（危险截面）的位置，把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来，分别称为矩方程用

16、函数图象表示出来，分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。 需注意的是土建工程中习惯上把正剪力画在需注意的是土建工程中习惯上把正剪力画在x x轴上方，负剪力轴上方，负剪力画在画在x x轴下方；而弯矩规定画在梁受拉的一侧。轴下方；而弯矩规定画在梁受拉的一侧。 绘制剪力图和弯矩图的一般步骤为：绘制剪力图和弯矩图的一般步骤为：1 1）根据梁的支承情况和梁上作用的荷载，求出支座反力（对于根据梁的支承情况和梁上作用的荷载，求出支座反力（对于悬臂梁，若选自由端一侧为研究对象，可以不必求支座反力。）悬臂梁，若选自由端一侧为研究对象，可以不必求支座反力。）2 2）分段列出剪力方程和弯矩方程。根据荷载和支座反力，

17、在集分段列出剪力方程和弯矩方程。根据荷载和支座反力，在集中力（包括支座反力）和集中力偶作用处，以及分布荷载的分布中力（包括支座反力）和集中力偶作用处，以及分布荷载的分布规律发生变化处将梁分段，以梁的左端为坐标原点，分别列出每规律发生变化处将梁分段，以梁的左端为坐标原点，分别列出每一段的内力方程。一段的内力方程。3 3）根据剪力方程和弯矩方程所表示的曲线性质，确定画出这些根据剪力方程和弯矩方程所表示的曲线性质，确定画出这些曲线所需要的控制点，即所谓的特征点，求出这些特征点的数值曲线所需要的控制点，即所谓的特征点，求出这些特征点的数值（即求出若干截面的剪力和弯矩）。（即求出若干截面的剪力和弯矩）。

18、4 4）用与梁轴平行的直线为用与梁轴平行的直线为x x轴，取特征点相应的剪力（或弯矩）轴，取特征点相应的剪力（或弯矩）值为竖距，根据剪力方程（或弯矩方程）所表示的曲线性质绘出值为竖距，根据剪力方程（或弯矩方程）所表示的曲线性质绘出剪力图（或弯矩图），并在图中标明各特征点的剪力（或弯矩）剪力图（或弯矩图），并在图中标明各特征点的剪力（或弯矩）的数值。确定最大内力的数值及位置。的数值。确定最大内力的数值及位置。 maxQFmaxM例例 悬臂梁受集中力作用，如图悬臂梁受集中力作用，如图a a）所示。试画出此梁）所示。试画出此梁的弯矩图和剪力图，并确定的弯矩图和剪力图，并确定和和。 解：解：1 1）列

19、出剪力方程和弯矩方程）列出剪力方程和弯矩方程将将x x坐标原点取在梁左端，在距左坐标原点取在梁左端，在距左端端A A 为为x x处取一截面。处取一截面。 PQFxF)()0(Lx xFxMP)()0(Lx 2)2)计算各特征点的剪力和弯矩值计算各特征点的剪力和弯矩值 因为因为 ，表，表明梁内各截面的剪力都相同。所以明梁内各截面的剪力都相同。所以剪力图是一条平行于剪力图是一条平行于x x轴的直线，且轴的直线，且位于位于x x 轴下方。轴下方。 常数PQFxF)( M M（x x）是）是x x 的一次函数，所以弯矩沿梁轴按直线规律变的一次函数，所以弯矩沿梁轴按直线规律变化。由于是直线，故只需确定梁

20、内任意两截面的弯矩，便可画化。由于是直线，故只需确定梁内任意两截面的弯矩，便可画出弯矩图。出弯矩图。 0 x0AMLx LFMPB3)3)绘制剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图 由图可见，在梁右端的固定端面上，弯矩的绝对值最大，剪由图可见，在梁右端的固定端面上，弯矩的绝对值最大，剪力则在全梁各截面都相等。力则在全梁各截面都相等。 LFMPmaxPQFFmax 将静定梁在常见单种荷载作用下的将静定梁在常见单种荷载作用下的F FQ Q图和图和M M图汇总于下图图汇总于下图。熟记这些内力图对以后学习有用。熟记这些内力图对以后学习有用。 )()(xqdxxdFQ)()(xFdxxdMQ)()()(22x

21、qdxxdFdxxMdQ以上三式就是以上三式就是F FQ Q（x x）、）、M M（x x）、和）、和q q( (x x) )三者之间的微分关系即：三者之间的微分关系即：1.1.剪力方程剪力方程F FQ Q（x x）对）对x x的一阶导数等于荷载集度的一阶导数等于荷载集度q q( (x x),),这一微分关这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载的集度。荷载的集度。2.2.弯矩方程弯矩方程M M（x x）对）对x x的一阶导数等于剪力方程，这一微分关系的的一阶导数等于剪力方程，这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。几何意义是：弯矩图上某点切