第四章弯曲应力

1、中国地质大学工程学院力学课部第四章第四章 弯曲应力弯曲应力4-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图4-2 梁的剪力和弯矩、剪力图和弯矩图梁的剪力和弯矩、剪力图和弯矩图4-4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力. 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件4-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力. 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件4-6 梁的合理设计梁的合理设计4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图工程实例工程实例列车车轴列车车轴伽利略梁的弯曲实验伽利略梁的弯曲实验横向横向力力横向力横向力4-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图变

2、形变形受力受力弯曲变形弯曲变形(bending)外力与杆轴线垂直时（通常称为横向力）外力与杆轴线垂直时（通常称为横向力）其轴线将由直线弯成曲线其轴线将由直线弯成曲线受力特点：受力特点：作用于杆件的载作用于杆件的载荷（包括支座反力）垂直于荷（包括支座反力）垂直于杆件轴线，称之为横向力。杆件轴线，称之为横向力。对轴线变弯为主要特征的变形形式，称为弯曲。凡是以弯曲对轴线变弯为主要特征的变形形式，称为弯曲。凡是以弯曲为主要变形的杆件，为主要变形的杆件，称为梁。称为梁。变形特点：变形特点：任意二横截面绕任意二横截面绕横向轴转动，形成相对角位横向轴转动，形成相对角位移移 ，杆的轴线弯成一曲，杆的轴线弯成一

3、曲线，产生一挠度线，产生一挠度 。 w梁的弯曲平面（即弯曲前与弯曲后梁轴线所确定的平面）与载荷平面（即梁上载荷所在平面）重合（或平行）的这种弯曲，称为平面弯曲。通过梁轴线和截面对称轴的平面，称为纵向对称面纵向对称面。当梁上载荷（含支座反力）位于纵向对称面内时，将发生平面弯曲。最基本常见的弯曲问题最基本常见的弯曲问题对称弯曲对称弯曲对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，对称弯曲时梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合，因而一定是因而一定是平面弯曲平面弯曲。梁变形后的轴线与外梁变形后的轴线与外力在同一平面内力在同一平面内FA AF1F2 B对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB 特定条件

4、下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在平面也特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属于会跟外力所在平面相重合，因而也属于平面弯曲平面弯曲。1 1、梁不具有纵对称面；、梁不具有纵对称面；2 2、梁有纵对称面，但外力没有作用在纵、梁有纵对称面，但外力没有作用在纵对称面内，从而变形后轴线所在平面与对称面内，从而变形后轴线所在平面与梁的纵对称面不一致。梁的纵对称面不一致。非对称弯曲非对称弯曲yzFzyFx梁及其计算简图梁及其计算简图梁上最常见的载荷类型:集中力P、集中力偶M0和均布载荷qAqCBD载荷类型载荷类型外力偶外力偶外力外力集中力集中力P分布力分布力

5、q均布力均布力q(x)=C线性分布力线性分布力q(x)=ax+b其它分布力其它分布力q(x)集中力偶集中力偶Mo分布力偶分布力偶mo线性分布力偶线性分布力偶mo均布力偶均布力偶mo=C其它分布力偶其它分布力偶mo梁的计算简图三种类型的梁共同点和不同点是什么？yxxQMMQ4-2 梁的内力和内力图梁的内力和内力图由于梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡状态。 剪力和弯矩均为梁横截面上的内力，它们可以通过梁的局部平衡来确定。 一、梁的内力一、梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩使梁段产生使梁段产生顺时针顺时针方向转动趋势方向转动趋势的剪力的剪力Q规定规定为正值为正值，反之为负，反之为负使梁段产

6、生使梁段产生凹口向上凹口向上的弯曲变形的弯曲变形的的弯矩弯矩M为正值为正值，反之为负，反之为负Q（）（）QMM（）（）左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定例例 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为 0yF 0AM032aFFaaFB)(2FFBFFFAB)(3 FFAxyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA截面截面11 0yF 01CM01aFM) (1顺顺FaMFF1S截面截面22 0yF02CM02aFM) (2顺顺FaM02SFFFAF

7、FFFA22SM1FS1F C111FAFS2F C222xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFAM2截面截面3303aFaFMA) (3逆逆FaMFFFB24S截面截面4404aFMB) (24顺顺FaM03SFFFAFFFFA23S33C3M3F FS3FAFS4M44C4FB4xyAF Baa2a11224433Me =3FaFBFA内力内力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1 1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。分离体的静力平衡方程来确定。剪力值剪

8、力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和的力矩代数和 xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F2 2、截面左侧梁段、截面左侧梁段 向上的外力向上的外力正剪力正剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶正弯矩正弯矩 截面右侧梁段截面右侧梁段 向上的外力向上的外力负剪力负剪力正弯矩正弯矩 顺时针外力偶顺时针外力偶负弯矩负弯矩内力内力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa xAF B11224433Me =3FaFA=

9、3FFB =-2F3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力集中力大小；大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶集中力偶矩大小。矩大小。内力内力11223344FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F二、二、 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图剪力图和弯矩图弯矩图。

10、 画剪力图和弯矩图的基本方法有三种：1剪力、弯矩方程法；2微分关系法；3叠加法。 ，确定各段Q、M 分布规律，以此列出各段的根据内力方程，确定Q 、M 的变化图形，以此作出。外力规律发生变化截面集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。例4.1 如图所示简支梁上作用有集中力P，求梁的剪力方程和、弯矩方程并作剪力图和弯矩图，指出最大剪力和弯矩。解：由静力平衡方程，求得梁两端处支反力 )(lPbRA)(lPaRB分段求梁上x处截面内力 ARxQ)(lPbax 0 ,lPabMmax（在C截面） PRxQA)(PlPblxa,xRxMA)(lPbxax 0 ,)()(axPxRxMA)

11、(axPlPbxlxa,lPaQmax（ab时在BC段） 例例4.2 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解解：1. 求支座反力qlRA83qlRB812. 建立剪力方程和弯矩方程AC段：qxqlxQ83)(1)20(lx 212183)(qxqlxxM)20(lx CB段：qlxQ81)(2)2(lxl)2(lxl)(81)41(2183)(2xlqllxqlqlxxMQM3求控制截面内力，绘图lx83qlQA83右qlQC81左qlQB81左0)(1xQ0AM2161qlMC0BM211289)83(qllM控制截面 A（右）C（左）B（左）剪力弯矩例

12、例4.4 梁的受力如图a示，作梁的内力图。解解：（1）求支座反力 kNRA10kNRB5（2）建立剪力方程和弯矩方程 CA段： kNPxQ3)(1)6 . 00( xPxxM)(1)6 . 00( xAD段： kNRPxQA7)(2)2 . 16 . 0( x)6 . 0()(2xRPxxMA)2 . 16 . 0( xDB段： )2 . 1()(3xqRPxQA)4 . 22 . 1 ( x23)2 . 1(21)6 . 0()(xqmxRPxxMA（3）求控制截面的内力值，绘内力图9 . 1x3右CQ7右AQ7左DQ5左BQ0)(xQE0CM8 . 1AM4 . 2左DM2 . 1右DM0

13、BM25. 1EM控制截面C（右）A（右）D（左）B（左）剪力（kN）弯 矩（kNm）从梁上受分布载荷的段内截取dx微段，其受力如图b所示。 根据平衡条件 02)()()()()(0)()()()(2dxxqdxxQxMxdMxMxdQQxdxxqxQ0y0om和略去其中的高阶微量后得到 )()(xqdxxdQ)()(xQdxxdM可进一步得出 )()(22xqdxxMd三、弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系及其应用三、弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系及其应用规定分布载荷以向上为正规定分布载荷以向上为正不失一般性，略去下标，写成此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。 根据上述方程，由载荷

14、变化规律，即可推知内力Q、M 的变化规律。或： dxxQMMdxxqQQBAABBAAB)()(xqdxxdQ)()(xQdxxdM)()(22xqdxxMd1当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当Q0时，弯矩图为下降斜直线；Q0时，弯矩图为上升斜直线。2当梁上某段q=常数时，该段剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。若q0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线（凸孤）；若q0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线（凹孤）。 剪力和弯矩图的规律性剪力和弯矩图的规律性3在集中

15、力作用处（包括支承处），剪力图将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上突变（沿x正向），反之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。4. 在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向下突变（沿x正向），反之则向上突变，但剪力图在该处无变化。 载荷q(x)=0q(x)=C0q(x)=C0载荷图例剪力图弯矩图增减凹凸减直平增直减凸增凸减凹增凹+ +dxxdMxdxxMddxxdQxq)()(Q , )()()(22对于无集中外力作用的某个梁段对于无集中外力作用的某个梁段AB，可写成积分形式，可写成积分形

16、式 dxxqQQdxxqxdQBAABBABA dxxQMMdxxQxdMBAABBABA CADBmkNq20kNmm20m1m1m1RARB例4.5：外伸梁，受力如图，试画剪力图和弯矩图。解：1. 求支座反力 kNRaRmqamBBA15022, 022015MkNmOxQKNxo1015515 kNRRRqayABA350, 0控制截面 C A-A+D-D+B剪力kN0 -2015151515弯矩kNm 01010-5150例4.6：外伸梁，受力如图，试画剪力图和弯矩图。CA DBmkNq101kNmm60m2m1m3m3EmkNq202RARB解：1. 求支座反力 kNRRmBBA35

17、06203214601210,0 kNRRRyABA25020321210,0CA DBmkNq101kNmm60m2m1m3m3EmkNq202RARB2.作剪力图Q/knox20530kNdxxqQQACCA20102)(BAAAQkNRQQ52520kNRQQBBB3035502032130)(EBBEdxxqQQRA=25kN RB=35kNCA段：AB段：BE段：CA DBmkNq101kNmm60m2m1m3m3EmkNq202RARBQ/knox2053003033260)(EBBEdxxQMM2.作弯矩图RA=25kN RB=35kN0CMACCAmkNdxxQMM202022

18、1)(DAADmkNdxxQMM155120)(mkNMMMDD4560150BDDBmkNdxxQMM603545)(CA段：AD段：DB段：BE段：M/knmxo20154560例4.7 简支梁AB受力如图，试作该梁的剪力图和弯矩图。yxaaapapACBDRARB解：1. 支座反力 3203, 0PRaRpapamBBA 30,0PRRPRyABAyxaaapapACBDRARBxxxP32P3QxPa/32Pa/32. 剪力图、弯矩图 ,32)(:,32)(:,3)(:constPxQDBconstPxQCDconstPxQAC. 0,3;32,2:;3,2;3,:;3,; 0, 0:

19、MaxPaMaxDBPaMaxPaMaxCDPaMaxMxACMxoPa/3例4.8 简支梁AB受力如图，试作该梁的剪力图和弯矩图。yxaaqa2ACBqRARBxx解：1. 支座反力 qaRqaqaaRmAAB432121, 022 qaRaqaqaaRmbBA412321, 022. 剪力图、弯矩图 .,2,:;43:4143qaQaxqaQaxCBconstqaxQACyxaaqa2ACBqRARBxxQx3qa/4qa/4xxaaxaxqqaaxqqaqaxdxddxxdM470221432143)(22axxaqaxqa43:4:43.0,2,:;,0,0:241243MaxqaMa

20、xCBqaMaxMxAC .,2,:;43:4143qaQaxqaQaxCBconstqaxQAC2474732104743qaMaaqqaQaaM3qa2/4qa2/4qa2/32xx=7a/4Qx3qa/4qa/4xxa. 0,2,:;, 0, 0:241243MaxqaMaxCBqaMaxMxAC例4.9 复合静定梁，试作剪力图和弯矩图。 特点:中间铰不能传递弯矩，只能传递力的作用。求解时先由中间铰处拆开，化为两个单跨梁。 RC由AC跨的平衡条件求得。qaRqaRCA81,831. 支座反力qaRqaRCA81,83a/2ACBqa/2aDxxxBAqccRCRA解：axqxqadxdM

21、83, 083得22max1289)83(218383qaaqaqaM2. 剪力图和弯矩图OQ3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/183a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcARCRAAD段的弯矩图为一条二次抛物线，作图时须求出弯矩的极值和所在截面的位置，才能大致绘出其图形。例例1：图示是一简支梁的剪：图示是一简支梁的剪力图与弯矩图，试根据此图力图与弯矩图，试根据此图求出与其相应的荷载图。求出与其相应的荷载图。2m2m20kn20kn20kn20knm1020203020knq20knmqmkNm2020knmkNm20例例2：图示是一梁的剪力：图示是一梁的剪力图，

22、假设无集中力偶作用，图，假设无集中力偶作用，试根据此图求出与其相应试根据此图求出与其相应的荷载图和弯矩图。的荷载图和弯矩图。1m 1m2m2mQ50KN5050mkNq25qkN5010050Mknm5050四、按叠加原理作弯矩图四、按叠加原理作弯矩图叠加原理：叠加原理：由几个外力共同作用时引起的某一参数（内力、应力或位移），就等于每个外力单独作用时引起的该参数值的代数和。当梁在荷载作用下的变形为微小变形微小变形时，其跨长的改变可略去不计，因而在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按其原原始尺寸进行计算始尺寸进行计算，而所得到的结果均与梁上荷载成线性关系线性关系。当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷

23、载所引起的梁的支反力、剪力和弯矩将不受其他荷载的影响。由于弯矩可以叠加，故表达弯矩沿梁长度变化情况的弯矩图也可以按叠加原理作出。叠加法作弯矩图lABqFlABFAlBqFqLF+qLFL1/2qL21/2qL2+FLACBFlm41F2l2lCABF2l2lACFlm41l+Fl41-Fl41+-Fl81Fl41kN6mkN2m2m2m2kN6ACDBmkN2m2m2m2+6-4+44-思考：对称性与反对称性思考：对称性与反对称性Bl/2FA AFBCl/2F xMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA AFBCMe l/2FslxMe MxMe/2Me/2 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对

24、称，结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称剪力图为反对称 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称剪力图为正对称结论：结论：立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。 面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量量轴力、剪力和弯矩。轴力、剪力和弯矩。无关无关NN无关无关FQFQ有关有关NNQQ刚架内力图刚架内力图的画法刚架内力图的画法(1) (1) 无需建立坐标系；无需建立坐标系；(2)

25、(2) 控制面、平衡微分方程；控制面、平衡微分方程；(3) (3) 弯矩的数值标在受拉边，轴力、弯矩的数值标在受拉边，轴力、 剪力画在里侧和外侧均可，但需剪力画在里侧和外侧均可，但需 标出正负号；标出正负号；(4) (4) 注意节点处的平衡关系。注意节点处的平衡关系。 节点处的平衡关系节点处的平衡关系NQQNNQNQMMMM刚架受力如图所示。试绘出刚架的内力图。F=2KN ，q=2KN/m，l=a=4m。例4.10 图图图2图 2 - 1 3解：解：1.分段列出内力方程对CA段距右端为x1的截面 01NxF FxF1S )0(111axFxxM对BA段距B端为x2的截面FxF2N 22Sqxx

26、F)0(212222lxqxFaxM2. 作内力图由内力方程绘出内力图NFSF 图和 图可以画在杆轴的任一侧，一般正值画在刚架外侧，并标明正负号。弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。2)(kNFN82)(kNFs2488)(kNmM平面曲杆平面曲杆面内受力时的内力面内受力时的内力轴力、剪力、弯矩轴力、剪力、弯矩弯矩的符号约定弯矩的符号约定使杆的曲率增加（即外使杆的曲率增加（即外侧受拉）为正侧受拉）为正作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。AOBmmRjF 例例 一端固定的四分之一圆环，半径为一端固定的四分之一圆环，半径为R，在自由端，在自由端B受轴线平面内

27、的集中荷载受轴线平面内的集中荷载F作用如图，试作出其内作用如图，试作出其内力图。力图。AOBmmRjF CFOjhzFN(jFS(jM (j解：取分离体如图写解：取分离体如图写出其任意横截面出其任意横截面m-m上的内力方程：上的内力方程： /20sinNjjjFF /20cosSjjjFF /20sinjjjFRM根据内力方程绘出内力图，如图所示。根据内力方程绘出内力图，如图所示。 jjsinNFF jjcosSFF jjsinFRMAOBmmRjF BAFFN图FRABM图AF BFS图C2rrABF图示杆ABC由直杆和半圆组成，试作该杆的内力图。AB:FrM2FFN0SFBC: cos1

28、FrM cosFFN sinFFSFr2Fr)(kNmM)(kNFsF)(kNFNFFozydAyzcyzAyAzzdASydAS形心形心AyAzzdASydASAzAASzAyAASyiiyiizozydAyzcyz静矩是对坐标轴而言的，同一图形对不同的坐标轴有不同的静矩。因此静矩的数值可正、可负、或为零。2. 若平面图形对某一轴的静矩为零，即若0, 00, 0zoryzASoryASyz即该轴必通过图形的形心。反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零yozdAyzcyzdAyzIAyz称为平面图形对 y、z 的 惯性积。惯性积是对坐标轴而言的，因此惯性积的数值可正、可负、或为零。若坐

29、标轴y 或z 轴中有一个是图形的对称轴，则平面图形对这对轴的惯性积为零。oyzdA dAZZyy如图：z坐标是图形的对称轴，故图形的z 坐标相同，而y 坐标数值相同而符号相反，故惯性积IYZ为零。.,22yAzAIdAzIdAy简单截面的惯性矩简单截面的惯性矩hozybydy矩形截面矩形截面12332232222bhzbdAbzdAzIhhAyhh12332232222hbybdAbydAyIhhAzhhoyzdAyzd圆形截面32422222dIIdAzdAydAzydAIyzAAAAP极惯性矩极惯性矩644dIIzyoydDZ圆环截面2422164642DdDIIIPyzDdoyzdAyz

30、cyczcbycazc 同一截面图形对于平行的两对坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同。当其中一对轴是图形的形心轴时，它们之间有比较简单的关系。AaIAaaSIdAadAzadAzdAazdAzIcccyyyAAcAcAcAy22222222同理：同理：abAIIAbIIccczyyzzz2任意形状的截面对任一轴的惯性矩或惯性积等于该截面对与该轴平行的形心轴之惯性矩加上该截面面积与二轴间距离平方成正比。AaIAaaSIdAadAzadAzdAazdAzIcccyyyAAcAcAcAy22222222oyzdAyzcyczcbycazcZz2zcz1yc1cc26cm2cm6 cm2 cmy1y2a2

31、a1yc例：求对T字型形心轴YC和ZC的的惯性矩cmAAyAyAAyAyiic32662126562212211则则a12cm，a22cm。42323136528421212262121262cmICZ4334043612261262cmICy 2221212211AaIIAaIIZZZZCC4-4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力. 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件dAdN横截面上只有与正应力有关的法向内力元素dAdQ才能合成为弯矩；只有与剪应力有关的切向内力元素才能合成为剪力。 一、纯弯曲时梁的应力一、纯弯曲时梁的应力纯弯曲纯弯曲：横截面上弯矩为常量，而切力为零。PPPaaaPPA

32、BCD横力弯曲横力弯曲：横截面上既有弯矩，又有切力。与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要综合考虑几何变形几何变形、物理物理和静力静力三方面的关系。AABBaabb（1）弯曲变形现象）弯曲变形现象纵向线弯曲成弧线并有伸缩，只有一层纤维不发生伸缩。II 纵向纤维间无正应力假设（单向拉压假设单向拉压假设）设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。（2）弯曲的基本假设）弯曲的基本假设梁弯曲变形后，其横截面仍保持为一平面，并仍与变形后梁的轴线垂直，只是转了一个角度。（3）中性层、中性轴）中性层、中性轴由连续性假设，存在着一层既不伸长，也不缩短的纵向纤维层，称为中性层中性

33、层。 中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴。梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋转。微段dx为研究对象，取坐标系如图。dxyz O为曲率中心， 为中心层的曲率半径，夹角为 ，考察任一纵向线 的应变。 dbbdoooobb2121dybbydddybbbbbbllyconst,横截面上任一点处的线应变横截面上任一点处的线应变 与该点到中心层的距离与该点到中心层的距离y成正比。成正比。 doyo1o2基于：基于： 单向拉压假设；单向拉压假设； 拉压材料弹性常数相等。则有拉压材料弹性常数相等。则有 yconstyEEP,? 横截面上各点的正应力横截面上各点的正应力 与该点到中心轴的距离与该点到中心轴的距

34、离y 正比。正比。ymaxyzxyzyxzdA；，00dANxA；，00AyydAzMM；，MdAyMMAZZ0；，000 xMzy自然满足自然满足ymax 0, 0, 000zZAAASESEydAEdAadANx；，即横截面对中性轴Z 的静矩为零。由平面图形的几何性质可知，只有Z轴通过截面形心时，才有SZ0，因此中性轴必通过横截面形心。中性轴必通过横截面形心。分析讨论分析讨论1. 中性轴位置中性轴位置yzyxzdAyE0yzAAAyIEdAyzEydAEzdAzM0,0yzIE即要求横截面对y、z 轴的惯性积为零。显然在平面弯曲的条件下此条件自然满足。注意到 y 轴是横截面的对称轴，且z

35、轴通过形心，这一对轴称之为 形心主轴形心主轴 。2. 平面弯曲条件平面弯曲条件 此即保证梁为平面弯曲的条件。此即保证梁为平面弯曲的条件。yE3. 曲率确定曲率确定；MdAyEdAEydAyMAAAZ22,2zAIdAy令,1zEIM中性层曲率，也即梁弯中性层曲率，也即梁弯曲变形的基本公式。曲变形的基本公式。.,1,zEI称之为梁的抗弯刚度。zEIyE4. 弯曲正应力弯曲正应力zzzIMyEIMEyyEyEEIM,1梁横截面上任一点处的弯曲正应力计算公式。式中：M：横截面上弯矩；y： 横截面上所求一点至中性轴的距离；IZ：横截面对中性轴Z 的惯性矩。符号判断：以中性轴为界，靠凸边一侧受拉，靠凹边

36、一侧受压。ZYymaxMM5. 梁截面上最大正应力梁截面上最大正应力梁截面上最大正应力发生于离中性轴最远处，即ZZZZWMWMyIMIMymaxmaxmaxmaxmaxyIWZZ称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量zIMy6. 弯曲正应力公式的适用范围弯曲正应力公式的适用范围 公式适用于横截面具有对称轴的任何截面形状的梁（载荷作用于该对称面内）。2. 在横力弯曲横力弯曲时，梁横截面上既有正应力，又有切应力作用。此时梁的平面假设和单向拉压假设均不再成立平面假设和单向拉压假设均不再成立。但当梁跨长与截面高度之比 lh5时时（工程实际中的梁远大于5），切应力的存在对梁的正应力的分布影响极微，可忽略，因此

37、可可以足够精确地推广应用以足够精确地推广应用到横力弯曲（剪切弯曲）情况。3. 公式适合于直梁，但可近似地用于小曲率（ ）梁。2.00hp4. ，即公式仅适用于弹性范围。例例 图所示机器支架受到载荷图所示机器支架受到载荷P=35kN作用，试求截面作用，试求截面AA处的最大正应力。处的最大正应力。 解：解：1)内力分析内力分析M=350.4=14kNm2：横截面的几何特性：横截面的几何特性a)形心的位置形心的位置mmy5 .4225502251005 .122550250251001b) b) 对中性轴的惯性矩对中性轴的惯性矩46461064. 51064. 5mmmIzAbIIzcz2平行移轴公

38、式3)应力计算应力计算MPaWMzt1051027.13101453max.1MPaWMzc1431081. 9101453max2(右侧边缘右侧边缘)(左侧边缘左侧边缘)c) c) 两个抗弯截面模量两个抗弯截面模量 35362353611081. 9105 .571064. 51027.13105 .421064. 511myIWmyIWzzzzmmy5 .4225502251005 .12255025025100146461064. 51064. 5mmmIz例例 由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec = 2Et；M

39、z = 600Nm。试求:1梁内最大拉、压正应力；2中性轴的位置。 ChttCC解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 Ec = 2Et， 沿截面高度直线的斜率不同 中性轴不过截面形心。ChttCC02121tmaxtcmaxcbhbhccctmaxtmaxchhhhhtcmaxtmaxcmaxttmaxccmaxtmaxc22hhEEcctccc22hhhhhhhh1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc0 xFChttCCctd2dctttAAzAEyAyEM)2(d2dctttctIIEAyyAyyEAA)246 (3323233c3tctbhbhbhII)2(1cttIIEM

40、zmm6 .58)22(mm4 .41)12(tchhhhcctccttcccmaxc222hIIMhIIMEEhEzzMPa69. 810)246(310050104 .4160021233tctttmaxt2hIIMhEzMPa15. 6)246(1031005010100)22(6001233ChttCC纯弯曲理论在横力弯曲中的推广纯弯曲理论在横力弯曲中的推广 梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横弯曲横弯曲（剪切弯曲）（剪切弯曲）。根据弯曲正应力公式的推导过程，讨论其使用条件和范围：5/hllh1、只适用于材料在线弹性范围只适用于材料在线弹性范围； 2、梁在横弯曲作用下，其横

41、截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁， ， 为梁长， 为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，公式仍然适用。2 . 0/0h03、只适用平面弯曲情况只适用平面弯曲情况，不适用于非平面弯曲情况。即要求外力满足平面弯曲的加力条件：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。4、公式是根据等截面直梁导出的，对于缓慢变化的变截面缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁曲率很小的曲梁

42、（ ， 为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。4-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁受横力弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有剪应力 。需要指出的是，对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。但一般情况下，剪应力对梁的一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正在承认正应力公式仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布应力公式仍然适用的基础上，假定剪应

43、力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 矩形截面梁的弯曲剪应力矩形截面梁的弯曲剪应力儒拉夫斯基假设儒拉夫斯基假设 1、横截面上各点处的切应力均与侧边平行2、沿截面宽度是均匀分布的zyFsbyyz2h2hFaadA1yAxdx112212aayyMdMM yaa12dxb微元体的平衡zIMy1NF2NFyaa12dxbbISFzzs*0*1*2bdxFFyNN*1*1ANdAF*1AzdAIMy*1AzdAyIMbyyz2h2hdA1yA*2*2ANdAF*1AzdAIydMMbdxdAyIdMyAz*1zSdxdMbISzzy*

44、矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力)4(222*1yhbydASAz整个图形对整个图形对Z轴的惯性矩轴的惯性矩3121bhIz矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力图示阴影部分对图示阴影部分对Z轴的静面矩轴的静面矩上、下边缘下边缘切切应力为应力为0切应力沿矩形高度呈抛物线分布切应力沿矩形高度呈抛物线分布中性层切应力最大中性层切应力最大讨论讨论AFS5.1maxbISFzzs*max分析分析(1)(1)弯曲正应力和剪应力弯曲正应力和剪应力任意截面上任意截面上危险截面上危险截面上312bhMyIMyz)4(222*yhIQbIQSZzz2maxmaxmax6bhMWMzAQbISQ

45、zz23max*maxmaxmax底部微元体示出x方向受力，求剪应力的过程 顶部微元体示出y方向受力，求纵向截面挤压应力的过程分析（分析（2）纵向层间挤压应力）纵向层间挤压应力分析分析(3)ZxIMy)3141121(2)(323yyhhIxqZy)4(222yhIQZxyzEIMyE)4(222yhGIQGz任意截面的应力任意截面的应变A 截面点的位置 a b c d *x 75 -75 0 37.5 *xy 0 0 7.5 5.625 正则化应力 *y 1 0 0.5 0.844 *x 75 -75 0 37.5 正则化应变 *xy 0 0 18.75 14.1 为了便于比较，将应力和应变

46、进行正则化 即各项应力除以q/b各项应变除以q/(bE)分析分析(3)1、横力弯曲梁中的、横力弯曲梁中的剪切变形相对较小，剪切变形相对较小，横力弯曲梁中平面假横力弯曲梁中平面假设近似成立设近似成立 2、横力弯曲梁中纵、横力弯曲梁中纵向纤维间挤压正应力向纤维间挤压正应力相对较小，纵向纤维相对较小，纵向纤维间相互无挤压近似成间相互无挤压近似成立立F2l2lhb4maxFLM62bhWZZWMmaxmax2614bhFL223bhFL2maxFFsAFs23maxbhF223bhF43maxmaxbhFbhFL43232hL25hL10maxmax细长等值梁分析分析(4) 薄壁截面弯曲剪应力薄壁截面

47、弯曲剪应力 以工字形截面梁为例以工字形截面梁为例1. 腹板上的切应力dISFzz*S22*22222 222yhdhbyyhdyhhbSz其中分析分析(4) 薄壁截面弯曲剪应力薄壁截面弯曲剪应力翼缘横截面上平行于剪力的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它各处平行于剪力的切应力不可能大。分析表明，横截面上的切应力(9597)由腹板承担，而翼缘仅承担了(35) ，且翼缘上的切应力情况又比较复杂。为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力。dISFZzs*dIFZS22020242442yhdhhb88820202maxdhbhbhdIFZS8

48、8202minbhbhdIFZShdxA*自由边11*1NF*2NF但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力构成的合力。hhhIFhIFISFzzzz2 22SS*S1切应力流(4) 薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图所示：1. 由于d r0，故认为切应力t 的大小和方向沿壁厚d 无变化；2. 由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等

49、定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；3. 根据与y轴的对称关系可知：(a) 横截面上与y轴相交的各点处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与y轴对称。 AFrFrrFISFzzSS0S3020S*max2222分析分析(5) 圆截面弯曲剪应力圆截面弯曲剪应力假设：1、沿宽度kk上各点处的切应力均汇交于O 点；2、各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等。AFdFddddFdISFzz344346432421S2S42S*Smax弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件maxmaxzWM式中式中为材料在单向受力时的许用应力。为材料在单向受力时的许用应力。许用拉应力许用拉应力t与

50、许用压应力与许用压应力c不相同时不相同时maxttmaxcc弯曲剪应力强度条件弯曲剪应力强度条件 max*maxmaxbISFzzS梁的强度计算梁的强度计算最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态。最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；为了起吊重量为F300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保

51、证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？ 吊车kN200吊车kN150BAC辅助梁xFl1.确定F加在辅助梁的位置FAFB 0AM0 xlFlFB 0BM0lFxFAlFxFAlxlFFPB解：令:kNlxlFFB150kNlFxFA200mx667. 2mx2667. 22 x 667. 2200maxlAMkNm6 .266 2150maxBMkNm300 zWBMmaxmax 33max10875. 1cmBMWZ2.确定工字钢型号吊车kN200吊车kN150BAC辅助梁xFlFAFB100875. 186. 1875. 18 . 0铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心

52、轴的惯性矩Iz=403107m4，铸铁抗拉强度t=50MPa，抗压强度c=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。m1m2ABmkNq12m3kNF25CD2475.12mkN 200301706113930z解：作梁的弯矩图可见，截面B或C都是危险截面2475.12mkN B截面 tMPa3 .36733max10403101391024BcMPa8 .82733max1040310611024BC截面733max10403101391075.12C44tMPa如果如果T T截面倒置会如何截面倒置会如何?200301706113930z该梁强度满足根据弯曲正应力的强度条件： maxmaxzWMmaxzWMM或由上两式可以看出，提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑三方面考虑：减小最大弯矩减小最大弯矩、提高抗弯截面系数提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能提高材料的力学性能。 1减小最大弯矩：合理布置载荷和支座 2提高抗弯截面系数：（1）采用合理的截面形状 ； （2）