数学必修4_第二章_平面向量知识点

1、数学必修 4 第二章 平面向量知识点2.1 平面向量的实际背景及基本概念1. 向量：既有大小又有方向的量。2. 向量的模：向量的大小即向量的模 （长度），如 AB, a 的模分别记作 | AB | 和 | a |。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。3. 几类特殊向量(1) 零向量：长度为 0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行，零向量a 0 a 。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，0故在有关向量平行 （共线）的问题中务必看清楚是否有 “非零向量 ”这个条件。（注意与 0 的区别）(2)单位向量：模为1 个单位长度的向量，向量a0 为单位向量|a0

2、| 1 。将一个aea向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：| a |(3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反 的非零向量 ,称为平行向量 .记作 a b 。规定： 0 与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量 )，平行向量总可以平移到同一直线上， 故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。（ 4）相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量， 叫做 a

3、的相反向量。 记作a 。关于相反向量有 ： 零向量的相反向量仍是零向量，(a) = a ；a( a)0 ； 若 a 、 b 是互为相反向量，则a =b , b =a , a +b =0 。（ 5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为 a b 。相等向量经过平移后总可以重合。2.2 平面向量的线性运算1. 向量加法（ 1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设ABa, BCb ，则 a +b = ABBC =AC。规定：0aa0a ；（ 2）向量加法的法则“三角形法则”与“平行四边形法则”用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。三角形法则

4、的特点是 “首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR ，但这时必须“首尾相连” 。（ 3）向量加法的运算律：交换律： abba结合律： (ab)ca( ac)2. 法向量的减（ ）定义：若a x b 则向量 x 叫做 a 与 b 的差，记为 b a 。求两个向量1差的运算，叫做向量的减法。（ 2）向量减法的法则“三角形法则”与“平行四边形法则” 三角形法则：当 a, b 有共同起点时， ab 表示为从减向量

5、 b 的终点指向被减向量 a 的终点的向量。 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所CabbAaB示的对角线。设ABa, ACb 则 a - b = ABACCB .3. 实数与向量的积（ 1）定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度与方向规定如下：aa ；当 0时，向相反；当a 的方向与0 时，aa 的方向相同；当0 ，方向是任意的。0 时，a 的方向与a 的方（ 2） 数乘向量的运算律(a)()a； ()aaa ；(ab)ab 。2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平

6、面内的任一向量a ，有且只有一对实数 1， 2 使 a = 1 e1 + 2 e2 .注意： (1)我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；2.向量的夹角 :已知两个非零向量a 、b ，作 OAa ，OBb ，则 AOB ，叫向量 a 、b 的夹角，当=0 °， a 、 b 同向，当=180 °， a 、 b 反向，当=90 °， a 与 b 垂直，记作 a b 。3. 平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内

7、的任一向量a 可表示成 axi坐标，记作yj ，由于 a 与数对 (x,y)是一一对应的，因此把(x,y)a =(x,y) ，其中 x 叫作 a 的横坐标， y 叫做作纵坐标。叫做向量a 的规定： i (1,0)， j (0,1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关 , 只与其相对位置有关4. 平面向量的坐标运算：若 a( x1, y1), b( x2 , y2 ) ，则 abx1x2 , y1y2 ；若 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则 ABx2x1, y2y1 ；若 a =(x,y) ，则a =(x,

8、y) ；若 a( x1, y1), b( x2 , y2 ) ，则 a / bx1 y2x2 y10 ； abx1 x2y1 y2若 a( x1, y1), b( x2 , y2 ) ， 则 abx1x2 , y1y2附：向量的表示方法 ：1几何表示法： 用带箭头的有向线段表示， 如 AB ，注意起点在前，终点在后；4. 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；5. 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a x,

9、 y 叫做向量 a 的坐标表示。如果 向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。运算向量形式坐标形式： ax1 , y1 ；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。<2>三角形加法法则：首尾相连。bx2 , y2abx1x2 , y1y2记： ABBCAC减法起点相同的两个向量的差， （箭头a bx1x2 , y1 y2指向被减向量）记： OAOBBAABACCB数乘a 是一个向量， a| | a |ax1,y1方向：0 时，与 a 同向；0 时，与 a 反向；0 时，a 0数量积ab| a |b |cosa b x1 x2y1 y2运 算 性

10、交换 律： a bb a ； 结 合律 ： a bc a b c ； 质a00 a a 。加法：CababCC减法：2.4 平面向量的数量积（ 1）平面向量的数量积的定义 向量 a, b ，的夹角：已知两个非零向量 a,b ，过 O点作 OAa ，OBb,则AOB=（001800）叫做向量 a, b ，的夹角。 当且仅当两个非零向量a,b 同方向时， =00，当且仅当 a, b 反方向时 =1800，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 a与b 垂直；如果 a,b 的夹角为 900 则称 a与b 垂直，记作 a b 。 a与b 的数量积：两个非零向量 a, b ，它们的夹角为 ，

11、则 ab osc叫做称 a与b的 数 量 积 （ 或 内 积）， 记 作 a b ， 即a b =a b cos ，规定 0 a =0非零向bP bPa量 与当且仅当时， 0，这时ooa b=90abaa b =0。 b 在 a 方向上的投影： OP b cos (a bR（注意 OP 是射影）所以， a b)a的几何意义： a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。（ 2）（ 3） 平面向量数量积的性质设 a, b 是两个非零向量，e 是单位向量，于是有：e aa ea cos；a ba b0 ；当 a与b 同向时 ， a bab ；当 a与b 反向时，a bab ，特 别

12、地，2a aa2a 。 cosa b ； a b a ba b(3) 平面向量数量积的运算律 交 换 律 成 立 ： a bb a对实数的结合律成立：aba babR分配律成立：abca cb ccab特别注意：（ 1）结合律不成立：ab c a b c ；（ 2）消去律不成立a bac不能得到 b c（3） a b =0不能得到 a =0 或 b =02222但是乘法公式成立：a b a b a b a b；a2a22a b b2a22b2a bb（ 4）平面向量数量积的坐标表示若a1,y1b2,y2) 则a b 1 212=(x),=(x=x x +y y若 a=(x,y),则|a | 2

13、 = a . a =x2+y2, ax2y2若 A(x 1 ,y 1),B(x 2 ,y 2), 则 ABx2x12y2y12若a1,y1b=(x22x1 x2y1 y20 （注意与 a / b 时条件区别，=(x),y ) 则 a ba / bx1 y2x2 y10 ）若a11),b22) 则 cosx1 x2y1 y2=(x,y=(x ,y222y22x1y1x22.5 平面向量应用列举1、 线段的定比分点（ 1）定义：设 P1,P2 是直线 L 上的两点，点P 是 L 上不同于 P1,P2 的任意一点，则存在一个实数，使 p1 ppp2 ，叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比。当点 P 在线段 P1P2 上时，0；当点 P在线段 P1 P2 或 P1 P2 的延长线上时， <0（ 2）定比分点的坐标形式x1x2x1y2,其中 P1(x1,y1), P2 (x2,y2), P (x,y)，向量形式呢？y1y1（ 3）中点坐标公式x1x2当=1 时，分点 P 为线段 P1 P2的中点，即有x2，向量形式呢