结构稳定理论与设计-3

1、结构稳定理论与设计结构稳定理论与设计东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院舒赣平舒赣平 教授教授研究生课程研究生课程结构稳定理论与设计结构稳定理论与设计第第3 3章章 梁（受弯构件）的弯扭失稳梁（受弯构件）的弯扭失稳概概 述述 受弯构件在荷受弯构件在荷载作用下的工作大载作用下的工作大体经历两个阶段：体经历两个阶段：（1）仅平面弯曲仅平面弯曲变形；变形；（2）同时出现侧同时出现侧向变位和扭转。向变位和扭转。同压杆一样，受弯构件的整体稳定分析也有两种方法：同压杆一样，受弯构件的整体稳定分析也有两种方法：（1）按理想单向受弯构件研究平衡分枝（第按理想单向受弯构件研究平衡分枝（第1类稳定问题）类稳定

2、问题）；（2）考虑各种缺陷因素及材料非线形按双向受弯构件研究其考虑各种缺陷因素及材料非线形按双向受弯构件研究其极限承载力（第极限承载力（第2类稳定问题）类稳定问题）。 1.1.平衡分枝稳定时的荷载平衡分枝稳定时的荷载挠度曲线挠度曲线2.2.考虑几何非线性和材料非线性时的荷载考虑几何非线性和材料非线性时的荷载挠度曲线挠度曲线 当考虑初始缺陷（初弯曲、初扭转、残余应力等）及当考虑初始缺陷（初弯曲、初扭转、残余应力等）及材料非线形时，材料非线形时，不论构件的长短，均有类似的荷载不论构件的长短，均有类似的荷载挠度挠度曲线，一开始加载即产生弯扭变形并处于双向弯曲的受力曲线，一开始加载即产生弯扭变形并处于

3、双向弯曲的受力状态。因此其整体稳定承载力须状态。因此其整体稳定承载力须按弹塑性阶段的双向受弯按弹塑性阶段的双向受弯构件分析。构件分析。3.1 3.1 纯弯构件的弹性弯扭屈曲纯弯构件的弹性弯扭屈曲220d2Ayxy xyAyI极回转半径平方极回转半径平方2200/xyiIIAy3.1 3.1 纯弯构件的弹性弯扭屈曲纯弯构件的弹性弯扭屈曲xxMvEI xyMuEI uMMRGIEIxxyk 2)(（4） 由（由（2）式解出）式解出u并代入（并代入（4）得：）得： （5） 令：令： 得：得： （6）0)2 uMRMGIEIxxyk0)2(2 yxxykEIMRMGIEI021 kkEIRGIMkkx

4、y21EIEIMkyx222220drARxyAKPiR考虑参与应力影响参数考虑参与应力影响参数Wagner效应系数效应系数（6）式的通解为：）式的通解为： 式中式中 、 （7） （1）两端简支梁）两端简支梁 由边界条件由边界条件 和和 可得：可得： 0; 00; 00uuz)cos()sin()cosh()sinh(24231211zCzCzCzC2422111kkk2422112kkk042CC0422221CC 0; 00; 0uulz0)cos()sin()cosh()sinh(24231211lClClClC0)cos()sin()cosh()sinh(242223221221112

5、1lClClClC0)cos()sin()cos()sin(010)cosh()sinh()cosh()sinh(01022222222221211211121llllllll0)sin()sinh()(2122221ll0)sinh(1l0)sin(2l01nl 2lznCsin3lznEInlMCuyxsin2223222221lEIRGIIIlEIMkyyyycr若不考虑残余应力，此式与工程设计原理梁的若不考虑残余应力，此式与工程设计原理梁的整体稳定整体稳定临界弯矩临界弯矩相同！相同！（2）两端固定梁）两端固定梁 由边界条件由边界条件 和和 可得：可得：符合上式的变形函数是：符合上式的变

6、形函数是： 和和临界弯矩：临界弯矩： 0; 00; 00uuz0; 00; 0uulz)2cos1 (1lznCu)2cos1 (2lznC2222241)5 . 0(lEIRGIIIlEIMkyyyycr（3）悬臂杆件）悬臂杆件 固定端固定端 自由端自由端 边界条件：边界条件： 边界条件：边界条件： 符合上式的变形函数是：符合上式的变形函数是： 和和 临界弯矩：临界弯矩： （4）杆件具有其他约束条件）杆件具有其他约束条件 引进计算长度系数引进计算长度系数 y、 ，可得临界弯矩的通式：，可得临界弯矩的通式：0; 00; 00uuz 00ulz)2cos1 (1lznCu)2cos1 (2lzn

7、C2222241)2(lEIRGIIIlEIMkyyyycr2222221)(lEIRGIIIlEIMkyyyyycr规律？规律？（5）受等端弯矩作用的双轴对称截面杆件）受等端弯矩作用的双轴对称截面杆件 对对H形、箱形等双轴对称截面，因截面不对称常数形、箱形等双轴对称截面，因截面不对称常数 y=0，得临界弯矩：得临界弯矩：或或对两端简支杆对两端简支杆：222221)(lEIRGIIIlEIMkyyycrkyycrGIlEIEIlM22)(kycrGIlEIEIlM22221lGIEIGIEIlkky3.2 3.2 不相等端弯矩作用的弹性受弯构件不相等端弯矩作用的弹性受弯构件图示图示两端简支双轴

8、对称两端简支双轴对称截面受弯构件，任意截面处截面受弯构件，任意截面处的弯矩的弯矩Mx为：为：式中式中代入绕代入绕y轴的弯曲屈曲及绕轴的弯曲屈曲及绕z轴的扭转屈曲轴的扭转屈曲平衡微分方程：平衡微分方程：lzMMMAxAxx)1 (AxBxMM0)1 (2)1 ( lMlzMMuEIAxAxAxy0)1 ()( ulzMMRGIEIAxAxk221lGIEIGIEIlMkkybcr23 . 005. 175. 11bAxBxbMM4 . 06 . 04 . 06 . 01235. 065. 0MMb1.1.两端简支跨中受集中力两端简支跨中受集中力 图示跨中图示跨中受集中荷载作用受集中荷载作用的的两

9、端简支双轴对称两端简支双轴对称截面受弯构截面受弯构件，荷载通过截面的件，荷载通过截面的剪力中剪力中心心且作用点至剪心的距离为且作用点至剪心的距离为 by，构件任意截面处的弯矩，构件任意截面处的弯矩Mx为：为：代入绕代入绕y轴的弯曲屈曲及轴的弯曲屈曲及绕绕z轴的扭转屈曲平衡微分方轴的扭转屈曲平衡微分方程：程：zPMyx21021 yyyPzPuEI021)( uzPRGIEIyk3.3 3.3 横向荷载作用的弹性受弯构件横向荷载作用的弹性受弯构件上述微分方程适用于上述微分方程适用于z l/2，边界条件除利用，边界条件除利用z=0处外，还处外，还可利用跨中处，即：可利用跨中处，即： 以上第以上第3

10、式为跨中扭矩的边界条件，是由跨中截面的侧向式为跨中扭矩的边界条件，是由跨中截面的侧向位移位移u0和扭转角和扭转角 0引起。方程仍需用引起。方程仍需用数值法或能量法数值法或能量法求解，解求解，解得的临界弯矩可表达为下列近似公式：得的临界弯矩可表达为下列近似公式： 当荷载作用在截面形心上时，当荷载作用在截面形心上时，by=0， 临界弯矩修正系数：临界弯矩修正系数： )(2/; 00; 02/00yyybuPEIuEIulz221lGIEIGIEIlMkkybcr自由端受集中荷载作自由端受集中荷载作用的悬臂梁，当建立起绕用的悬臂梁，当建立起绕y轴的弯曲屈曲及绕轴的弯曲屈曲及绕z轴的轴的扭转屈曲平衡微

11、分方程后，扭转屈曲平衡微分方程后，亦只能用数值方法或能量亦只能用数值方法或能量法求解，解得的临界弯矩法求解，解得的临界弯矩计算公式为：计算公式为：22)2(12lGIEIGIEIlMkkybcr在其他横向荷载作用下，当在其他横向荷载作用下，当同时考虑荷载作用形式、荷载同时考虑荷载作用形式、荷载作用点的位置、端部约束条件及截面不对称影响等诸多因素作用点的位置、端部约束条件及截面不对称影响等诸多因素时，受弯构件的临界弯矩可统一表达为下列近似公式的形式：时，受弯构件的临界弯矩可统一表达为下列近似公式的形式：式中式中 1 临界弯矩修正系数，取决于荷载作用形式；临界弯矩修正系数，取决于荷载作用形式； 2

12、 荷载作用点位置影响系数；荷载作用点位置影响系数； a 荷载作用点距剪心的距离，剪心之下为正；荷载作用点距剪心的距离，剪心之下为正； 3单轴对称截面修正系数，取决于横向荷载形式；单轴对称截面修正系数，取决于横向荷载形式； 截面不对称系数。截面不对称系数。)1)(2223232221lEIRGIIIaalEIMkyyyycr022)(21ydAyxyIAxy3.4 3.4 受弯构件的弹塑性弯扭屈曲受弯构件的弹塑性弯扭屈曲 如果梁的侧向弯曲长细比不是很大，梁在失稳时如果梁的侧向弯曲长细比不是很大，梁在失稳时截面应力截面应力超出弹性范围，会发生弹塑性弯扭失稳。超出弹性范围，会发生弹塑性弯扭失稳。 对

13、焊接组合的截面梁，在焊缝近旁处的残余应力有时高达对焊接组合的截面梁，在焊缝近旁处的残余应力有时高达材料的屈服强度，当梁一开始受载时，截面就会出现局部范围材料的屈服强度，当梁一开始受载时，截面就会出现局部范围的屈服，特别是受压翼缘局部进入塑性对梁整体稳定会产生不的屈服，特别是受压翼缘局部进入塑性对梁整体稳定会产生不容忽视的影响。容忽视的影响。求解梁弹塑性弯扭失稳问题，可以采取一个典求解梁弹塑性弯扭失稳问题，可以采取一个典型的截面和典型的残余应力分布模式，考虑几何缺陷，用数值型的截面和典型的残余应力分布模式，考虑几何缺陷，用数值方法得到梁的临界弯矩。方法得到梁的临界弯矩。 xtxMvEI )(xt

14、yMuEI )(uMMRGIEIxxytkt 2)()()1)(2223232221lIERIGIIaalIEMtktyyyytcr3.4 3.4 受弯构件的弹塑性弯扭屈曲受弯构件的弹塑性弯扭屈曲弹塑性阶段取不同模量值时对临界弯矩的影响弹塑性阶段取不同模量值时对临界弯矩的影响Mp为最大弯为最大弯矩截面全截矩截面全截面屈服形成面屈服形成塑性铰时的塑性铰时的极限弯矩。极限弯矩。当为跨中集中荷载作当为跨中集中荷载作用时，由于截面上的应力用时，由于截面上的应力分布沿梁长变化，使截面分布沿梁长变化，使截面上剪力中心的位置偏移量上剪力中心的位置偏移量不相等。不相等。若考虑剪力中心若考虑剪力中心轴的偏移，上

15、述公式不能轴的偏移，上述公式不能继续沿用！继续沿用！ 有文献建议可在平衡有文献建议可在平衡微分方程中引入剪力中心微分方程中引入剪力中心轴与上翼缘的夹角值，或轴与上翼缘的夹角值，或借用楔形梁的弹性弯扭屈借用楔形梁的弹性弯扭屈曲微分方程。曲微分方程。剪剪力力中中心心位位置置改改变变对对临临界界弯弯矩矩的的影影响响残余应力对临界弯矩的影响残余应力对临界弯矩的影响横向荷载初始偏心对临界弯矩的影响横向荷载初始偏心对临界弯矩的影响3.5 3.5 梁的弯扭失稳理论在设计中的应梁的弯扭失稳理论在设计中的应用用回顾与分析回顾与分析 纯弯受力状态纯弯受力状态2222(1)ykcryEIIGI lMlIEIOhSx

16、yyh21y0b21bniikbtI131324yI hI自由扭转惯性矩自由扭转惯性矩约束扭转惯性矩约束扭转惯性矩3.5 3.5 梁的弯扭失稳理论在设计中的应梁的弯扭失稳理论在设计中的应用用回顾与分析回顾与分析 单轴对称截面与一般受力状态单轴对称截面与一般受力状态2222(1)ykcryEIIGI lMlIEIOhSxyyh21y0b21b对比？对比？2221232322()(1)ytcryEIIGI lMcc ac bc ac blIEI)1)(2223232221lEIRGIIIaalEIMkyyyycr3.5 3.5 梁的弯扭失稳理论在设计中的应梁的弯扭失稳理论在设计中的应用用回顾与分析

17、回顾与分析 单轴对称截面与一般受力状态单轴对称截面与一般受力状态OhSxyyh21y0b21b2221232322()(1)ytcryEIIGI lMcc ac bc ac blIEIS1c2c3ca35. 11c55. 02c40. 03c13. 11c46. 02cb53. 03c00. 11c00. 02c00. 13c3.5 3.5 梁的弯扭失稳理论在设计中的应梁的弯扭失稳理论在设计中的应用用回顾与分析回顾与分析 整体稳定的影响因素整体稳定的影响因素OhSxyyh21y0b21b2221232322()(1)ytcryEIIGI lMcc ac bc ac blIEI 与荷载类型有关与

18、荷载类型有关 纯弯受力状态纯弯受力状态 跨中集中荷载受力状态跨中集中荷载受力状态 与荷载的作用位置有关与荷载的作用位置有关Mdudzdzdudzdv( a )( c )( b )( d )与梁的刚度与梁的刚度( (截面形式截面形式) )有关有关 梁的侧向刚度梁的侧向刚度 , ,显著显著! ! 梁的抗扭刚度梁的抗扭刚度 和抗翘曲刚度和抗翘曲刚度yEItGIEI与受压翼缘的自由长度与受压翼缘的自由长度 有关有关1l1lcrM3.5 3.5 梁的弯扭失稳理论在设计中的应梁的弯扭失稳理论在设计中的应用用回顾与分析回顾与分析 单轴对称截面与一般受力状态单轴对称截面与一般受力状态OhSxyyh21y0b2

19、1b 无论跨中有无侧向支承，在支座处均应采无论跨中有无侧向支承，在支座处均应采取构造措施以防止梁端截面的扭转！取构造措施以防止梁端截面的扭转！夹支！夹支！3.5 3.5 梁的弯扭失稳理论在设计中的应梁的弯扭失稳理论在设计中的应用用 钢结构设计中，为了保证梁不发生弯扭失稳，要求钢结构设计中，为了保证梁不发生弯扭失稳，要求梁的最大压应力不应大于对应临界弯矩梁的最大压应力不应大于对应临界弯矩 的临界压的临界压应力应力 。 fWMxbx式中：式中：Mx为绕强轴作用的最大弯矩；为绕强轴作用的最大弯矩； Wx为按受压纤维确定的梁毛截面的抵抗矩为按受压纤维确定的梁毛截面的抵抗矩 为梁的整体稳定系数。为梁的整体稳定系数。 bfffWMbyyycrRcrxxcrMcrcrcrbxyyMW ff3.5 3.5 梁的