三角网条件平差计算

1、§3-4三角网条件平差计算2学时三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未 知点的坐标、边的长度及方位角等。三角网按条件平差计算时，首要的问题是列 出条件方程。因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的 组成规律是十分重要的。三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有 测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非 自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一 条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数

2、学理论，以这两个已知点为起算 数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。 如果三 角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。 无 论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。一、网中条件方程的个数三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。 如图 3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的 四个数据，如两

3、个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边 的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。 有了 必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位， 就可以计算三角网中未知点的坐标。要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数 n、判定必要观测 数t,从而确定了多余观测数：r = n - t由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数， 也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数to1.网中有2个或2个以上已知点的情况三角网中有2个或2个以上已知三角点，就一定具备了 4个必要起算数据。 无论是测角

4、网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未 知点的坐标，需要观测两个观测值(2个角，或者1条边和1个角，或者2条边)。 也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有 p个未知点， 必要观测数应等于未知点个数的两倍。t = 2 p(3-4-1)(1)测角网图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p = 6。如果三角网中 观测量全部是角度时。总观测值个数：n = 23必要观测数：t = 2 p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n - t = 11(2)测边网在图3-9中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：总观测值个数：n = 14必要观

5、测数：t = 2 p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r=n - t = 2(3)边角同测网在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：总观测值个数：n = 37必要观测数：t = 2 p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n - t = 252.网中已知点少于2个的情况有些情况下，三角网中已知点可能少于 2个，只有1个已知点、1个已知边 和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有 1个已知边。但是，不管 怎样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。如果没有已知点，可 以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1

6、个方向的方位 角为某一假定值。这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。(1)测角网三角网中共有p个三角点、1个已知方位角(也可以没有)、1个已知点(也 可以没有已知点)和1个已知边长S (或者也是观测得到的)，并观测了所有的 角度。如果已知点和已知方位角都没有，就要进行必要的假设。则在进行条件平 差时，必要观测数为：t = 2 ( p - 2)(3-4-2)如图3-10所示，三角网中观测了所有角度值(如果没有已知边时，也观测1 条边长作为起算数据)。网中三角点个数：p = 6角度观测值个数：n = 12必要观测数：t = 2 ( p - 2) = 8则多余观测数，即条件平差条件方程

7、个数：r=n - t = 4(2)测边网或边角同测网若三角网中，共有p个三角点和1个已知点(或者也是假定的)，并对所有的边长，或者角度和边长进行了观测，观测值总个数为n0在进行条件平差时，由于要加上必须的起算边长，则必要观测(边或者边和角)的个数为t = 2 ( p 2)+1(3-4-3)如图3-10所示，网中三角点个数：p = 6如果是测边网，则总观测值个数：n = 9必要观测数：t = 2 ( p - 2) +1=9多余观测数，即条件平差条件方程个数：r=n - t = 0如果是边角同测网，则总观测值个数：n = 21必要观测数：t = 2 ( p - 2) +1=9多余观测数，即条件平差

8、条件方程个数：r = n - t = 12以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和条 件平差方程数的确定方法，还有很多情况没有涉及到。在实际平差计算中，应针 对不同情况进行具体分析。二、条件方程的形式三角网中的条件方程主要有以下几种形式：1 .图形条件方程图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。在三角网中，一 般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角的平差值的和应为180?,如图3-12中的三角形ABP,其内角平差值的和应满足下 述关系：L?1 L?2 L?3 1800(3-4-4)此即为三角形内角和条件方程。由于三角形是组成三角

9、网的最基本的几何图 形，因此，通常称三角形内角和条件为 图形条件。因此图形条件也是三角网的最 基本、最常见的条件方程形式。与(3-4-4)式相对应的改正数条件方程为v1 v2 v3 w 0(3-4-5)w (L1 L2 L3 180 )(3-4-6)2 .水平条件方程水平条件，又称圆周条件，这种条件方程一般见于中点多边形中。如图3-12所示，在中点P上设观测站时，周围的五个角度都要观测。这五个观测值的平 差值之和应等于360?,即公1?61?91?12虱 3600(3-4-7)相应的改正数条件方程为v3v6v9v12v15 w 0(3-4-8)w (L3 L6 L9 L12 L15 360 )

10、(3-4-9)3 .极条件方程极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中。先看中点多边形的情况。如图3-12所示，中心P点为顶点，有五条边，从其中任一条边开 始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与推 算值的长度相等。在图3-12所示的三角网中，我们应用正弦定理，以BP边为起算边，依次推算AP、EP、DP、CP,最后回到起算边BP、，得到下式整理得(3-4-10)sin Lisin gsin gsin £0sinM3 singsingsin gsin?sin?(3-4-10)式即为平差值的极条件方程。为得到其改正数条件方程形式，可 用泰勒级数对

11、上式左边展开并取至一次项：化简，即得极条件的改正数条件方程：ctgLiVi ctgL2V2 ctgL4V4 ctgL5V5 ctgL7V7 ctgLsVs(3-4-11)ctgLioVio ctgLnVn ctgL13V13 ctgL14V14 w 0sinL2 sin L5 sinL8sin L11sinL14w 12 58U竺(3-4-12)sinL1 sin L4 sinL7sin L10sinL13在大地四边形中的极条件方程与中点多边形稍有不同。如图3-11所示，可以取D点为极点，以BD为起始边，依次推算AD、CD再回到BD边。仿照中 点多边形的极条件方程，由正弦定理，得大地四边形的极

12、条件平差值方程 整理得sinL2 sinL4sin(L7L8)1 0(3-4-13)sin I?1sin(l?3£)sinl?7相应的改正数条件方程ctgLiVi ctgL2 V2 ctg(L3 L4W3 (ctgL4 ctg(L3 L4)v4(3-4-14)(ctg(L7 L8) ctgL7)v7 ctg (L7 LsM w 0(3-4-15)sinL1sin(L3L4) sin L7w 1 sin L2 sin L4 sin(L7 Ls)4 .方位角条件方程前面讨论的三种条件方程在三角网中比较常见。 如果三角网中的起始数据有 了变化，起算数据不相邻，或者已知数据有冗余，还会增加一

13、些限制条件，产生 其它类型的条件方程，如方位角条件方程、边长条件方程、坐标条件方程等。这 些类型的条件方程常见于非自由三角网中。如图3-13所示，为一个非自由三角网，有 4个已知点、2个未知点和12个 角度观测值。必要观测个数t = 2%=4,多余观测数r = n -t = 12 - 4 = 8,即共 有8个条件方程，其中图形条件方程有 4个，没有极条件，也没有水平角条件， 那么另4个是什么类型的呢由于三角网中有 4个已知点，每个已知点有2个坐标 值，共计8个已知数据，超过了 4个必要起算数据，从而产生4个冗余的已知数 据。这4个多余的已知数据必然会导致4个矛盾，进而产生4个条件方程。方位角条

14、件，严格地说是方位角附合条件，是指从一个已知方位角出发，推 算至另一个已知方位角后，所得推算值应与原已知值相等。如从4个已知点可以反算出AB和EF两边的边长值和方位角值，这些值也 可看作是已知值，作为起算数据用。设AB边的方位角Tab , EF边的已知方位角为Tef。如果从AB向EF推算， 推算路线如图中所示，设EF方位角的推算值的最或然值为TEf ,近似值为Tef。 则方位角附合条件方程为TEf Tef 0(3-4-16)其中代入(3-4-16)后，整理得其相应的改正数条件方程v3 v6 v9 v12 wT 0(3-4-17)其中Wt( L3 L6 L9 L12 Tab Tef 3 180

15、)(3-4-18)5 .边长条件方程边长条件，严格地说是边长附合条件，是指从一个已知边长出发，推算至另一个 已知边长后，所得推算值应与原已知值相等。图3-13三角网中，设AB边的已知长度为Sab, EF边的已知长度为Sef 0如 果沿图中所示的推算路线，从AB向EF推算，得EF边长推算值的最或然值为§ef, 近似值为Sef 0则边长附合条件方程为(3-4-20)取至一次项，整理后得其改正ctgLiVictgL2V2 ctgL4V4ctgL5V5ctgL7V7ctgL10V10 ctgLnVnwS0ctgL8 V88 8 (3-4-21)WsSEF sin L2 sin L5 sin

16、L8 sin L11SAB sin L1 sin L4 sin L7 sin L10(3-4-22)其中 将上式代入（3-4-19）式，并将边长条件整理为Sab sin L1 sin 2 sin l?7 sin g0SEF sin l?2 sin & sin & sin E仿照极条件式，将上式左边用泰勒级数展开, 数条件方程：?EYe6 .坐标条件方程坐标条件方程，是指从一个已知点出发，推算至另一个已知点后，所得推算值应与该点的已知坐标值相等。图3-13三角网中，设B点的已知坐标为（砧，b） , E点的已知坐标为（Xe ,Ye） o如果沿图中所示的路线，从 B-C-E进行推算，

17、得E点坐标推算值的最或然值为（？E,y?E）,近似值为（XE ,yE）o则坐标条件方程为XE(3-4-23)(3-4-24)XB?BC?CE XB SBC COSTBcSCE COSTAE(3-4-25)其中Sbc- sin l2SAB -sin L?2(3-4-26)Sce- sin L1 sin L?4 sin l?7 sin 以 sin L?2 sin l?5 sin 图 sin E1(3-4-27)TBc Tab 也 180(3-4-28)TCeTabL6 l?9 E02 180(3-4-29)将上述(3-4-26) (3-4-29)式代入(3-4-25)式，然后用泰勒级数展开,取至一

18、次项，整理后得：(XEXb )(ctgLiVi ctgL2V2) (XeXc)(ctgL4 V4 ctgL 5V5)(Xe(yEctgL11Vl1)(3-4-30)(yEyC )( v10)(Xe Xe )1000206.265(Xe Xe)(3-4-31)Xc)(ctgL7V7 ctgL8V8) (Xe Xc )(ctgL12V12yB)( V3) (yE yc)( V6) (yE yc)( V9)Wx0为不使闭合差项Wx过大，影响平差结果的精度，在计算坐标条件方程时，可以考虑x、y以公里(km)为单位，而wx中的坐标差项以米(m)为单位。即yc)(ctgL4V4 ctgL5 V5)同理可写

19、出横坐标改正数条件方程(Ye(XE(Ye yB)(ctgLM ctgL2V2) (Ye(3-4-32)(3-4-33)Yc)(ctgL7V7 ctgL8V8) (Ye Yc )(ctgL12V侵 ctgLnVn)XB)(V3)(XEXC)(V6)(XEXC)( V9)(XEXC )( V10)Wy 0其中Wy206.265( Ye Ye)坐标附合条件方程，尤其是改正数条件方程，形式上虽然比较复杂，但也非常具有规律性。这一点，请同学们结合图 3-13认真地分析，看能否总结出其概括形式。以上八种条件方程及其改正数条件方程的类型和形式，基本上涵盖了测角型 三角网条件方程的基本形式。需要说明的是，三角

20、网布设形式极其多样，条件方 程的形式也较为繁杂，但关键是要掌握其基本形式，并能融会贯通灵活运用。三、例题如图3-14是一个三角网，A、B、E、F是已知点，C、D是待定点，等精度 观测了所有内角值，已知数据和观测数据如表 3-4所示。试列出用条件平差法时 的改正数条件方程。表3-4已知坐标(m)已知方位角已知边长(m)BTab = 32?20 ' 14.9 sab= 2501.118ETef =Sef = 2582.529355?53' 42.6 角度观测值例=46?21 ' 56.1q=74?59 ' 41.4份=58?38' 17.2 , =62?21 '42.4 仿=67?39 '43.6 仿=49?58 '38.9 例=58?03 ' 46.6衿 53?15 ' 16.1份=68?40 ' 54.3，1务=91?43 ' 54.0 力二47?21 ' 49.9主=40?54 ' 08.1 解：这是一个非自由测角三角网。观测值总数 n = 12必要观测数 t = 4多余观测