万有引力定律及应用

1、第4讲万有引力定律及应用过好双基关回扣却蟆训味基此建苣、开普勒三定律的内容、公式定律开普勒第f律（轨道定律）内容所有行星绕太阳运动的轨道都是椭电_太阳处在椭圆的一个焦点上图示或公式乙上乙k 一T开普勒第二定律（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等O开普勒第二定律（周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a3口/ 口，k, k是一个与行星无关的常量【自测1】（2021 全国卷出）14于行星运动的规律，以下说法符合史实的是（）A.开普勒在牛顿定律的根底上，导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的根底上，总结出了行星运动的规

2、律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B解析开普勒在天文观测数据的根底上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律二、万有引力定律1 .内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量mi和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.2 .表达式mim2" CF=Gr, G 为引力常量， G= 6.67 XT 01N m 2/kg 23 .适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远大于物体

3、本身的大小时，物体可视为质点(2)质量分布均匀的球体可视为质点， r是两球心间的距离4 .天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供(2)根本公式：G喳 ma=r2【自测21我国发射的“天宫一号和“神舟八号在对接前，“天宫一号的运行轨道高度为350 km, “神舟八号”的运行轨道高度为343，那么()A. “天宫一号比“神舟八号速度大B. “天宫一号'比“神舟八号周期长C. “天宫一号比“神舟八号角速度大D. “天宫一号比“神舟八号加速度大答案 B解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律Mmv22兀顾和

4、匀速圆周运动知识得 G-rr = my=mr02= mr 2=mai,解得v=/ , T='B正确.GM GM、下,a=r厂，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项三、宇宙速度1 .第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度,其数值为km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地碘近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是人造卫星的最大环绕速度.(4)第一宇宙速度的计算方法.Mmv2GM由 G-RT=mR得 v= 丁;上v八由mg= mR得v = yj史2 .第二宇宙速度km/s.使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为

5、3 .第三宇宙速度使物体挣脱型叫力束缚的最小发射速度，其数值为km/s.自测3】教材P48第3题，金星外表的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度 是多大？答案 8.9 m/s2 7.3 km/sGMm解析 根据星体外表忽略自转影响，重力等于万有引力知mg= r2一 g金M金R4 2故=L . （k）2g地 M地R v 金 km/s 7.3 km/s.金星外表的自由落体加速度g金=9地X 0.82卜）2 m/s 2y 8.9 m/s22GMm mv由万有引力充当向心力知 一R=-R-得V=GM研透命题点曲珊考纲知百造 分折案被命摩卓命题点一开普勒三定律的理解和应用*砒考点 自主悟透1 .行

6、星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.2 .开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动a3 .开普勒第三定律干=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.【仞1（多项选择）（2021 全国卷 ）19图1,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点,Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T。，假设只考虑海王星和太阳之间的相互作用，那么海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中（）融王星=一用/Jr工阳7°Iy图1T0A.从P到M所用的时间等于 4B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大C.从P到Q阶段，速率逐渐变小D

7、.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案 CD解析 由行星运动的对称性可知， 从P经M到Q点的时间为1T。，根据开普勒第二定律可知，1从P到M运动的速率大于从 M到Q运动的速率，可知从 P到M所用的时间小于-To,选项 4A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项 B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M至ij N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项 D正确.【变式1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（）A.太阳位于木星运行轨道的中心C.火星与木星公转周期之比的平

8、方等于它们轨道半长轴之比的立方D.一样时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案 C解析 由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误根据开普勒第三定律（周期定律）知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在一样的时间内扫过的面积相等，不同行星【变式2】（多项选择）如图月球绕地球运行周期分别为在一样时间内扫过白面积不相等，D错误.设卫星、2所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆T卫、T月，地球自转周

9、期为 T地，那么（）人.丁卫丁月B.T卫丁月C.T卫丁地图2D.T卫=丁地答案 ACr卫、r同和r月，图3解析设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为 因月同卫，由开普勒第三定律 ，=k,可知，T月T同丁卫，又同步卫星的周期 丁同=丁 地，故有丁月丁地丁卫，选项A、C正确.变式3 如图3所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点以下说法中正确的选项是(A.卫星在A点的角速度大于 B点的角速度B.卫星在A点的加速度小于 B点的加速度C.卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加D.卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大答案 B解析 由开普勒第二定律知

10、，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在e远地点转过的角度较小，由g彳知，卫星在A点的角速度小于 B点的角速度，选项 A错误;mM设卫星的质量为 m,地球的质量为 M,卫星的轨道半径为 r,由万有引力定律得 G-=ma,GM解得a=：7，由此可知，r越大，加速度越小，故卫星在 A点的加速度小于 B点的加速度，选项B正确；卫星由 A运动到B的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项 C错误；卫星由A运动到B的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项 D错误.命题点二万有引力定律的理解3*能力考点 师生共研1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力 F表现为两个效果：一是重力m

11、g,二是提供物体随地球自转的向心力F向.(1)在赤道上:MmG=mg1+ m w2R.(2)在两极上:MmG-RT = mg0.(3)在一般位置：万有引力 GMR?等于重力mg与向心力F向的矢量和.越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近GMm似等于重力，即 r2 = mg.2.星球上空的重力加速度g'星球上空距离星体中心GmM= R+h处的重力加速度为g' ,mg'得g'=GMR+h 2.g R+h 2所以 g-= r2一3.万有引力的“两点理解和“两个推论(1)两点理解两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力 地

12、球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力(2)两个推论推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即汇=0.r的同推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为M' m心球体(M')对其的万有引力，即 F=Gr2】如图4所示，有人设想通过“打穿地球从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，那么从隧道口抛下一物体，物体的加速度A. 一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大答案 D解析设地球的平均密度为P,物体在隧道内部离地心的距离为 r,那么物体 m所受的万有4 .3 一p二方 m3

13、4F 4引力F= G - /=-tGo mr此处的重力加速度 a=_="iGip j应选项 D正确.r23 ym 3 y【例3】由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2021年中国十大科技进展新闻，于20217 000米分别排在第一、第二.假设地球半径为R,把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙下潜深度为d, “天宫一号轨道距离地面高度为h,“蛟龙号所在处与“天宫一号所在处的年1月19日揭晓，“神九载人飞船与“天宫一号成功对接和“蛟龙号下潜突破加速度之比为（）R-dR- d 2A.B.-2R+ h R+ h 2R-dR+ hR-d R+ h答案 C解析令地球的密度为那么在地球外表，重力

14、和地球的万有引力大小相等，有:Mg=G星4由于地球的质量为：M= P- -tR3,所以重力加速度的表达式可写成:3GMtGp R.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部,受到地球的万有引力即为半径等于（R d）的球体在其外表产生的万有引力，故“蛟龙号的重力加速度4g' =-tG p(R d),所以有g'R-d.根据万有引力提供向心力GRMmRZT-2= ma，“天宫一号GM 的加速度为a=,R-dR+ h 2R3，故C正确，A、B、D错误.号飞船于 2021年10月17日发射，对接“天宫二号.假设飞船质量为m,距地面高度为 h,地球质量为 M

15、,半径为R,引力常量为 G,那么飞船所在处的重力加速度大小为（）GMGMGMmA.0 B. R+h 2 3R3 R2 R+h 2答案 B命题点三天体质量和密度的估算,-熊力考点师生共研天体质量和密度常用的估算方法使用方法量利用公式表达式备注质 量 的 计 算利用运行天体r、TMm4 2G-p- = mr4哥3M m-2 Gl只能得到中心天体的质量r、vMmv2r2m rrv2 m=k Gv、TMmv2G r2 -mrMm4 2G 产mryv3TM= 27G利用天体外表重力加速度g、RGMm mg=-R2-gR2M =方 G密度的计算利用运行天体r、T、RMm4 2G 产一mry74M = p

16、, - tR333tT3L GT2R33兀当r= R时尸G12利用近地卫星只需测出其运行周期利用大体外表重力加速度g、RGMm mg= R24M = p tR33_ 3g尸 4tGR4】假设地球可视为质量均匀分布的球体.地球外表重力加速度在两极的大小为田，在赤道的大小为g,地球自转的周期为 T,引力常量为 G.地球的密度为（）3 g g0 g3 7g03 Tt3 goA. GT2goB.GT2 go-gCG? D.GT答案 B解析 物体在地球的两极时，mgo= G-T,物体在赤道上时，mg+ m（）2R= G-T,又 M434=3不3,联立以上三式解得地球的密度尸gt?_g _ g-,应选项B

17、正确，选项A、C、D错误.【变式51观察“嫦娥三号在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为I,该弧长对应的圆心角为 q弧度），如图5所示.引力常量为G, “嫦娥三号'的环月轨道可近似看成是 圆轨道，由此可推导月球的质量为（）啤三亢二二）i3eiD.GT2解析“嫦娥三号在环月轨道上运动的线速度为:v = -,角速度为 3=,；根据线速度和角v l速度的关系式：v= 3可得其轨道半径r=飞 3 U“嫦娥三号做匀速圆周运动，万有引力GMml3提供向心力， 一r2=mcov,解得 M=g£3,应选 B.【变式61据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球

18、的 a倍，质量是地球的b倍.近地卫星绕地球运行的周期约为T,引力常量为G那么该行星的平均密度为()3 兀 33 7b3 7a人守 B.彳 C.aGT2 D.bGT3M地P地- 4 r3 ,联乂行答案 C解析 万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力:3兀喔 M星V地b3 7b地=孑.而一=-,因而 星=二；滔.GI融 V星M地 aaGl命题点四 卫星运行参量的分析考点自主悟透卫星运行参量相关方程结论线速度vMmv2/GMG 了=mv = -r越大，v、g a越小，T越大角速度3Gm2r?庆疆周期TGj=m 2r?T=2、/r2T7 GM向心加速度aGMma? a=¥ rr【例5 （多项

19、选择）“天舟一号货运飞船于2021年4月20日在文昌航天发射中心成功发射380 km的圆轨道上飞行,升空.与“天宫二号空间实验室对接前，“天舟一号在距地面约那么其（）A.角速度小于地球自转角速度B.线速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自转周期D.向心加速度小于地面的重力加速度答案 BCD解析 根据万有引力提供向心力得，G2=m（R+ h）w= m= m（R+ h）7 = ma,解R十hR十hTGMR+h2,由题意可知,“天舟一号的离地高度小于同步卫星的离地高度，那么“天舟一号的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号的周期小于地球的自转周期，选项错误，C正确；由第一宇宙

20、速度为GM运可知,GM选项b正确；由地面的重力加速度 g=-RT可知,“天舟一号'的线速度小于第一宇宙速度，“天舟一号的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确.【变式7（2021 全国卷出）2021年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道）运行.与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的（）A.周期变大B.速率变大C.动能变大D.向心加速度变大答案 C【变式8（2021 河北石家庄二模）2021年10月19日凌晨，神舟H一号飞船与天宫二号对接 成功，运行周期为 T,地球半径为 R,对接体距地面的高

21、度为 kR,地球外表的重力加速度为g,引力常量为 G,以下说法正确的选项是 （）A.对接后，飞船的线速度大小为图62jkRTB.对接后，飞船的加速度大小为C.地球的密度为3兀 1 + kGT2D.对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接答案 B解析 对接前，飞船通过自身加速使轨道半径变大从而靠近天宫二号实现对接，D错误.对接后，飞船的轨道半径为 kR+ R,线速度大小 v=zr, A 错误.由22= ma及Ik 十 1 RgGM = gRhla= -B 正确.由1 + kGMm2 71c4。k=m Y 2(k+ 1)R及M=P-3&得地球的密3兀 1+k 3度尸不三,

22、C错误.GI课时作业限时训事 急理范/双基巩固练1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，以下说法正确的选项是（）A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B.开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进展了 “月地检验D.卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值答案 D2.关于环绕地球运行的卫星，以下说法正确的选项是（）A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有一样的周期B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有一样的速率C.在赤道上

23、空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合答案 B解析 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有一样的周期，故 A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有一样的速率，B正确；根据万有引力提供GMm 4 2向心力，列出等式 R+h 2=mp（R+h）,其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度，由于同步卫星的周期必须与地球自转周期一样，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值，故 C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重 合，故D错误.3 .组成星球的物质

24、靠引力吸引在一起随星球自转如果某质量分布均匀的星球自转周期为T,万有引力常量为 G,为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是（）4 33 22兀 兀A.GP b，GP cGP D.Gt2答案 BMm 4 kM解析 根据万有引力提供向心力有：G-RT=m?R,根据密度公式有：P= 1，联立可得密R333兀度为中,GIB正确.4.（2021 河南洛阳模拟）北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道.其中，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为（）B.C.答案解析D 322开普勒第三定律同样适用于卫星与行星间的

25、运动关系，当轨道为圆轨道时，公式中的33 3r同r中同3 2a为半径 r,那么有 不=得= 一T同T中T中25.（多项选择）2021年中俄联合实施探测火星方案，由中国负责研制的“萤火一号火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯一土壤火星探测器一起由俄罗斯“天顶运载火箭发射前往火星1火星的质量约为地球质量的-火星的半径约为地球半径的913.以下关于火星探测器的说法中正确的选项是（）A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可B.发射速度只有到达第三宇宙速度才可以C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的答案 CD解析 根据三个宇宙速度的意义，可知选项

26、A、B错误，选项C正确；M火=v火 那么一v地IGM火RTGM地飞也/丁=号，选项D正确.6 .过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“peg b的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4天，轨道1半径约为地球绕太阳运动半径的,该中心恒星与太阳的质量比约为（）A. B.1 C.5 D.10 10答案 BMm 4 24 乔解析 根据万有引力提供向心力，有Gp = mr,可得M = 乔，所以恒星质量与太阳质量之比为£ =詈| =（力争”1，应选项B正确.综合提升综7 .（2021 广东中山质检）长期以来“卡戎星（Cha

27、ron）''被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转 轨道半径1= 19 600 km,公转周期Ti=,天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的 公转轨道半径2= 48 000 km,那么它的公转周期 T2最接近于（）A.15 天 B.25 天 C.35 天 D.45 天 答案 B3. 33122解析根据开普勒第三定律得不=T2,所以丁2=官"25天，选项B正确，选项A、C、D错误.8 .卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为，运动周期为T,地球半径为 R,引力常量为G,以下说法中正确的选项是2tRA.卫星的线速度大小为v=-4t?R3B.地球的质量为 M=巾丁2 Gl

28、C.地球的平均密度为尸2GlD.地球外表重力加速度大小为4/3尸而答案 D9.地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道那么是一个非常扁的椭圆,他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍B.2052 年解析根据开普勒第三定律声k,可得可,且r彗=18r地，得T彗= 5442T地，又T地该彗星被命名为哈雷彗星,并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实,哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球（）A.2042 年C.2062 年D.2072 年答案 C=1年，所以T彗=54必 年76年，应选 C.10.（2021 北京理综）17用引力常量 G和以下某一组数据，不能计算出地千质量的是（）A.地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案 DGM地m解析 不考虑地球的自转，地球外表物体受到的万有引力等于重力，即R2 =mg,彳# M地gR2GM 地 m卫v22R=,所以根据A中给出的条件可求出地球的质量；根据 一丁 = m卫R和T=,得M地vT 一一 GM 地 m月4 淄4 分=7二，所以根据 B中给出的条件可求出地球的质重；根据2 = m月；2r,得M地=7；,2 7Gr1GlGM太m地4 2