高等数学课件：8-4多元复合函数的求导法则

1、2021-12-151第四节第四节 复合函数的求导法则复合函数的求导法则一一 问题的提出问题的提出二二 链式法则链式法则三三 全微分形式不变性全微分形式不变性四四 小结与思考判断题小结与思考判断题(Chain Rule)2021-12-152一一 问题的提出问题的提出我们知道，如果函数我们知道，如果函数可可导导，在在点点ttgx)( .)()(dtdxdxdydtdyttgfyxxfy 可可导导，且且有有在在点点可可导导，则则复复合合函函数数在在对对应应点点函函数数这一法则称为一元复合函数的链式求导法则。这一法则称为一元复合函数的链式求导法则。现在，我们要将这一法则推广到多元复合函数现在，我们

2、要将这一法则推广到多元复合函数。2021-12-153证证),()(tttu 则则);()(tttv 定理定理 1 1 如果函数如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t 可导， 函数可导， 函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获得增量获得增量设设tt 二二 链式法则链式法则(Chain Rule)1、复合函数的中间变量为一元函数的情形、复合函数的中间变量为一元函数的情形2021-12-15

3、4由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 2021-12-155.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 推论推论1：中间变量多于两个定理仍成立：中间变量多于两个定理仍成立.dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz此公式中的导数此公式中的导数 称为称为dtdz2021-12-1562、中间变量不是一元函数而是多元函数的情形、中间变量不是一元函数而是多元函数的情形).,()

4、,(yxyxfz 定理定理 2 2 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导导数存在，且可用下列公式计算数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . 2021-12-157uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 2021-12-158 设设),(yxu 、),(yxv 、

5、),(yxww 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，复复合合函函数数),(),(),(yxwyxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz . zwvuyx推论推论22021-12-1593 中间变量既有一元函数又有多元函数的情形中间变量既有一元函数又有多元函数的情形定定理理 3 如如果果),(yxu 在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，)(yv 可可导导，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续

6、续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数)(),(yyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xuuzxz ， yuuzyz . 2021-12-1510),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别特殊地特殊地2

7、021-12-1511例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 2021-12-1512例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 2021-12-1513 例例 3 3 设设),(xyzz

8、yxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 2021-12-1514 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 2021-12-1515 设函数设函数),(vu

9、fz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、三、全微分形式不变性三、全微分形式不变性2021-12-1516dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 2021-12-1517例例 4 4 已知已知02 zxyeze，求，求xz 和和yz .

10、解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe2021-12-1518例例5。转转化化成成极极坐坐标标下下的的形形式式试试将将表表达达式式是是连连续续可可导导的的二二元元函函数数设设22 ),( yuxuyxfusin,cosryrx 间间的的关关系系为为解解：直直角角坐坐标标与与极极坐坐标标),sin,cos(),(rrfyxfu 作复合，作复合，则则2021-12-1519 cossinsincosryurxuyyuxxuuxuxuryyurxxuru方程组得方程组得视作未知量，解此线性视作未知量，解此线性将将yuxu , ruruyururuxucossinsincos所以所以222221 urru