圆锥曲线的常规题型及解题技巧(补充篇)

1、圆锥曲线的常规题型及解题技巧（补充篇）一、知识点储备1、与直线相关的重要内容倾斜角与斜率点到直线的距离 夹角公式：2、圆锥曲线方程及性质(1)椭圆的方程的形式（三种形式） 标准方程： 距离式方程： 参数方程：(2)双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 距离式方程：(3)三种圆锥曲线的通径： .(4)焦点三角形面积公式： （其中）(5)记住焦半径公式：，可简记为“左加右减，上加下减”.；.二、例题详解例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D

2、的轨迹方程.例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围.例3、已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标.例4、已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.例5、设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.例6、椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？

3、若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点（1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，当内切圆的面积最大时，求内心的坐标；例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（2）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m0），交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB

4、与x轴始终围成一个等腰三角形.例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.（1）若当点P的坐标为时,求双曲线的方程；（2）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲

5、线的渐近线方程.参考答案例1、解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)，则有两式作差有 F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入得直线BC的方程为（2）由ABAC得 设直线BC方程为，得， 代入式得，解得或直线过定点（0，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。例2、解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称， 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得， 设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的

6、坐标和代入双曲线方程得 ， 由式得 ， 将式代入式，整理得 ，故 由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由题设得，解得 所以双曲线的离心率的取值范围为 例3、解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .例4、解：设，则由可得：，解之得： （1）设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化简得： (3)与联立，消去得：在（

7、2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 故知点Q的轨迹方程为： （）.例5、解1：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以 ，解得 .结合得. 综上，.例6、解（1）如图建系，设椭圆方程为,则又即 ， 故椭圆方程为 （2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则设，故，于是设直线为 ，由得， 又得 即 由韦达定理得 解得或（舍） 经检验

8、符合条件例7、解（1）设椭圆方程为，将、代入椭圆E的方程，得解得.椭圆的方程 （2），设边上的高为 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为 设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6所以， 所以的最大值为所以内切圆圆心的坐标为.例8、（1）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 设 则 由线段中点的横坐标是， 得，解得，符合题意。所以直线的方程为 ，或 . （2）解：假设在轴上存在点，使为常数.当直线与轴不垂直时，由（）知 所以 将代入，整理得 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 综上，在轴上存在定点，使为常数

9、.例9、解：（1）设椭圆方程为则 椭圆方程为（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又KOM= 由直线l与椭圆交于A、B两个不同点， （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可设 则由而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.例10、解：（1）原点到直线AB：的距离. 故所求双曲线方程为 （2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则 即故所求k=±.例11、解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：， 椭圆的标准方程为（2）设联立得，则又因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即. 解得：，且均满足当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为例12、解：（1）(法一)由题意知, , （1分）解得 . 由双曲线定义得: , 所求双曲线