数列知识点归纳及例题分析

1、数列知识点归纳及例题分析一、数列的概念：1. 归纳通项公式：注重经验的积累例 1. 归纳下列数列的通项公式：(1)0 ，-3,8 ，-15,24 ，.(2)21,211,2111,21111,.2. an 与 Sn 的关系： ana1 , (n1)SnSn 1, (n2)注意： 强调 n 1, n2 分开，注意下标；an 与 Sn 之间的互化（求通项）例 2：已知数列 an 的前 n 项和 Sn3, n1n21, n，求 an .23. 数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法（2）最大（小）项问题：单调性法；图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）2an ,

2、0an13 ，求 a2017 .例 3：已知数列 an2 满足 an 11， a12anan151,2二、等差数列与等比数列1. 等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）等差数列等比数列an1q（ q 是 常 数 ， 且 q0 ，an定义an 1 an d （ d 是常数 n1,2,3 ， ）n1,2,3， ）通 项 推广： anamn m d公式求和公式中项Aan kan k （ n, kN * , n k 0 ）公式2重 要1、等和性： amanar as性质（ m, n, r , s N * , m nr s ）推广： anam qn mGan k an k

3、（ n, k N * ,nk 0 ）1、等积性： amanaras（ m, n, r , sN * , mnrs ）2、（第二通项公式） an am(nm)d2、（第二通项公式） anam qn manaman及 dm及 qn mnam3、从等差数列中抽取等距离的项组成3、从等比数列中抽取等距离的项组成的的数列是一个等差数列。如： a1 , a4 , a7 , a10 ,（下标成等差数列）数列是一个等比数列。4、 sn , s2 n如： a1 , a4 , a7 , a10 ,（下标成等差数列）sn , s3ns2n 成等差数列4、 sn , s2 n5、 Sn 是等差数列sn , s3ns2

4、n 成等比数列。n（仅当公比 q1 且 n 为偶数时，不成1. 定义：a a 1 d ( n2) an 是立）annn1. 定义：q ( n2) an 是等比数等差数列an是列an 12. 等差中项： 2an 1an an 2等差数列等 价3. 通项公式： anknp（ k , p 为常数）条件 an 是等差数列4. 前 n 项和： SnAn 2Bn（ A, B 为常数） an 是等差数列2. 等比中项：an21an2an22 ( an0) an 是等比数列3.通项公式： anc qn （ c, q 0 且为常数） an 是等比数列4.前 n 项和： Snk qnk（ k, q 0 且为常数）

5、 an 是非常数列的等比数列联系真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。例题：例 （等差数列的判定或证明） ：已知数列an31n ， n*，数列bn满中， a1 ，an (N)4522an 1足 bn 1 ( nN*) an1(1) 求证：数列 bn 是等差数列；(2) 求数列 an 中的最大项和最小项，并说明理由1(1) 证明 an2an 1 1*1( n2，nN) ，bn an1.1n2 时， bnbn 1 an 1an1 111 1 an 112an 1 1an 11an 1 1 an 111.5数列 bn 是以 2为首项， 1 为公差的等差数列712(2) 解 由(1) 知， bn n

6、2，则 an 1 bn12n 7，2设函数 f ( x) 12x7，77易知 f ( x) 在区间 ， 2 和 2， 内为减函数当 n3 时， an 取得最小值 1；当 n4 时， an 取得最大值 3.例 5（等差数列的基本量的计算）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6 150.(1) 若 S5 5，求 S6 及 a1(2) 求 d 的取值范围15解 (1) 由题意知 S6 S5 3， a6 S6S5 8.5a110d 5，所以a1 5d 8.解得 a17，所以 S6 3，a1 7.(2) 方法一 S5 S615 0， (

7、5 a1 10d)(6 a115d) 15 0，22a1 da110d 即 291 0.因为关于a1 的一元二次方程有解，所以 81d28(10 d21) d280，解得 d 22或 d22.方法二 S5 S615 0， (5 a1 10d)(6 a115d) 15 0，9da1 10d210.故(4 a1 9d) 2 d2 8. 所以 d28.故 d 的取值范围为 d 2 2或 d2 2.例 6（前 n 项和及综合应用） (1) 在等差数列 an 中，已知 a1 20，前 n 项和为 Sn，且 S10S15，求当 n 取何值时， Sn 取得最大值，并求出它的最大值；(2) 已知数列 an 的

8、通项公式是 an 4n 25，求数列 | an| 的前 n 项和解 方法一 a1 20，S10S15，10×915× 14510×202d15× 202d， d 3.an n55651)× n3 .20 (33时，an ，a13 ，即当n12时， an， n140>0<0当 n12或13时， S 取得最大值，且最大值为 S13S12×12× 115130.× n1220235方法二同方法一求得 d 3.nnn15521255 n25 23 125S 20n2· 3 6n 6 n 6224.nN

9、* ，当 n 12 或 13 时， Sn 有最大值，且最大值为S12S13130.(2) an 4n25，an 14( n1) 25，an 1 an 4d，又 a1 4×1 25 21.所以数列 an 是以 21 为首项，以 4 为公差的递增的等差数列an n，令425<0n1250，an 14由得1；由得 n1，所以n即数列an 的前项是以为首项，公差为的等n54<646.|6214差数列，从第 7 项起以后各项构成公差为4 的等差数列，而| a7| a74×7243.设| an | 的前 n 项和为 Tn，则nn 1×4n621n2Tnnn6n 7

10、×n66364722n223nn6， 2n2 23n132 n7 .例 7 已知某等差数列共有10 项，其奇数项之和为15，偶数项之和为 30，则其公差为3例 8 等差数列 n , nS= 7n + 45, 则使得an的前 n项和分别为nb为正整数的正ab Sn , Tn ，且 Tnn -3n整数 n 的个数是3 .（先求 an/bn n=5,13,35）例 9已知数列 an中， a11，当 n 2 时，其前 n 项和 Sn 满足 an2Sn2an的通项公，则数列312Sn 1式为n1an3例 10 在数列 an2n 212ln na1 2an12)中，anln(1n，则an.， 1

11、4n例 11设 3b是 1a 和 1a 的等比中项， 则 a+3b 的最大值为2 .例 12若数列 1, 2cos, 22cos2 ,2 3cos3, 前 100 项之和为 0,则的值为（）例 13 ABC的三内角成等差数列 ,三边成等比数列 , 则三角形的形状为 _等边三角形 _三、数列求和：（1）倒序相加法如：已知函数 f ( x)4x1( xR) ，求 Smf ( 1 ) f ( 2 )Lf ( m ) _2mmm（2）错位相减法：anbn其中 an 是等差数列， bn是等比数列。（3）裂项相消法：形如 an11(11)( AnB)( AnC )C BAnAn BC（4）拆项分组法：形如

12、 anbncn ，6n5为奇数如： an2n3n ， an( n)， an( 1) n 1 n22n(n为偶数 )练习：1、数列 ，1，1，···，1的前 n 项和为（ B）11212312nA 2n1B 2nC n 2D n12nn1n 12n2、数列11,31,51,71 , 前 n 项和 Sn248163、数列 an的通项公式为 an1，则 S100 _。n1n4、设 Sn1111，且 Sn Sn 13 ，则 n 626Ln n11245、设 nN * ，关于 n 的函数 f (n)(1)n 1 n2，若 anf (n)f (n 1) ，则数列 an 前 1

13、00项的和a1 a2a3a100_答案： 100解答： anf (n)f (n1)(1) n 1n2(1) n(n1) 2( 1)n ( n 1) 2n2 ，( 1) n (2n1) ，所以 a1a2a3a100(3)5(7) 9(199) 2012 50 100 四、求数列通项式（1）公式法： an 1an2 1， 2an an1an an 1 ， an 1an等2an 1（2）累加法：形如 anan1f (n)( n2)或 anan 1f ( n) ，且 f (n) 不为常数（3）累乘法：形如 anan 1f ( n)(n2)且 f ( n) 不为常数（4）待定系数法：形如 an1kanb

14、, (k0,1, 其中 a1a ) 型（5）转换法：已知递推关系f (Sn , an )0Snana1 , (n1)Sn Sn 1, (n 2)解题思路：利用 ana1 , (n 1)SnSn 1, (n 2)变化（ 1）已知 f (Sn 1 , an 1)0 ；（ 2）已知 f (Sn , SnSn 1 )0（6）猜想归纳法（慎用）练习：考点三：数列的通项式1、在数列 an 中，前 n 项和 Sn4n 2n8，则通项公式 an _3、已知数列的前 n 项和 Sn 32n ，则 an_an5n 12n 1n24、已知数列 an， a12 ， an1an3n2，则 an3n 2n , ( nN

15、* )25、在数列 an 中， a12, an 1an lg11（ nN * ），则 an .n6、如果数列 an满足a1，an 15an an 1 (nN) ，则 an _3 an7、 an 满足 a11 ， an 1an，则 an =_13an213n8、已知数列 an的首项 a12 ，且 an 12an1，则通项公式 an2n119、若数列 an 满足 a12, an 13an 2 nN * ，则通项公式 an10、如果数列 an的前 n 项和 Sn3 an3，那么这个数列的通项公式是（D）2A an2(n2n1)B an3 2nC an3n 1D an2 3n五、数列应用题：等差数列模

16、型1、一种设备的价格为450000 元，假设维护费第一年为1000 元，以后每年增加1000 元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为。30 年2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：甲公司：第一年月工资数为1500 元，以后每年月工资比上一年月工资增加230 元；乙公司：第一年月工资数为2000 元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：（1）若该人打算连续工作 n 年，则在第 n 年的月工资收入分别是多少元？（2）若该人打算连续工作10 年，且只考虑工资收入的总量， 该人应该选择哪家公司？

17、为什么？( 精确到 1元)解：（1）设在甲公司第 n 年的工资收入为 an 元，在乙公司第 n 年的工资收入为 bn 元则 an230n1270 ， bn2000 1.05n 1（2）设工作 10 年在甲公司的总收入为S甲 ，在甲公司的总收入为 S乙由于 S甲S乙 ，所以该人应该选择甲公司.等比数列模型例 从社会效益和经济效益出发， 某地投入资金进行生态环境建设， 并以此发展旅游产业， 根据计划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上一年度减少 1 ，本年度当地旅游业收入估计为 400 万5元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加1 。4（1）设 n 年

18、内（本年度为第一年）总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an 、 bn 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（精确到整数）参考解答：2n 1（1） an800 800 11800 11800 11555（2）解不等式 bnan ，得 n 5，至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入 .六、 2017 年高考题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. (2017年新课标 )记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和若 a4a524， S648 ，则 an 的公差为（）2.( 2017 年新课标卷理 )我国古代数学名著算法

19、统宗中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9 盏3.(2017年新课标卷理 )等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0 若 a2 ,a3 , a6 成等比数列，则 an前 6 项的和为（）4. (2017年浙江卷 )已知等差数列 a 的公差为d，前 n 项和为 S ，则“d 0”是“ SS2S ”nn465的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(2017年新课标

20、 )几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是 20，接下来的两项是20 ,21 ，再接下来的三项是 20 ,21 ,22 ，依此类推 . 求满足如下条件的最小整数 N : N100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 . 那么该款软件的激活码是（）二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）6. (2017年北京卷理 ) 若等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b11, a4b48 ，a

21、2 =_.b27.(2017年江苏卷 ) 等比数列 an 的各项均为实数，其前n 项和为Sn ，已知7, S663，则S344a8 =_8.( 2017年新课标卷理 ) 等差数列 an的前 n 项和为 Sn ， a3 3 ， S4 10 ，n1则k 1 Sk9.(2017年新课标卷理 ) 设等比数列 an满足 a1a21, a1a33 ，则 a4_三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）10.( 2017年 新课 标 文 ) 已 知等 差数 列 an 前 n 项和 为 Sn， 等比 数列 bn 前 n 项 和 为Tn , a11,b11, a2 b2 2.（1）若 a3b35 ，

22、求 bn 的通项公式；（2）若 T321 ，求 S3.11.(2017年新课标文 ) 记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，已知 S22, S36.（1）求 a的通项公式；（ ）求 Sn ，并判断 Sn 1 , Sn , Sn2 是否成等差数列 。n212. ( 2017年全国卷文 ) 设数列 an满足 a1 3a2+2n1 an2n（1）求数列an的通项公式；an的前 n 项和；（ ）求数列22n113.(2017年天津卷文 ) 已知 an 为等差数列，前 n 项和为 Sn (n N * ) ， bn 是首项为 2的等比数列，且公比大于 0 ， b2 b3 12,b3a4 2a1 ,

23、S1111b4 （1）求 an 和 bn 的通项公式；（ 2）求数列 a2n bn 的前 n 项和 ( n N * ) 14.(2017年山东卷文 ) 已知 an 是各项均为正数的等比数列 , 且 a1a26, a1a2a3 .（1）求数列 an 的通项公式；（2） bn 为各项非零等差数列 , 前 n 项和 Sn , 已知 S2 n 1bnbn1, 求数列bn前 n 项和 Tnan15. (2017 年天津卷理 ) 已知 an 为等差数列，前 n 项和为 Sn (nN ) ， bn 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0 ， b2 b3 12 , b3 a42a1 ， S11 11b4 .（1）求 an 和 b