结构力学结构的极限荷载

1、第九章结构的弹性分析：结构的弹性分析： 假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。 结构的塑性分析：结构的塑性分析： 基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载-极限荷载。极限荷载。 极限荷载：极限荷载： 结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临界值时，结构的变形随荷载的增

2、加而增大。当荷载达到某一临界值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的荷载极限，称为极限荷载，记作荷载极限，称为极限荷载，记作Pu。 弹性设计时的强度条件：弹性设计时的强度条件： 塑性设计时的强度条件：塑性设计时的强度条件： max sk uwPPPk9-1 9-1 极限荷载、强度条件和计算假定极限荷载、强度条件和计算假定计算假定：计算假定： 材料为理想弹塑性材料。材料为理想弹塑性材料。 ssMMhb

3、9-2 9-2 极限弯矩、塑性铰和破坏机构极限弯矩、塑性铰和破坏机构MMhb1.1.弹性阶段弹性阶段maxsE应力与应变关系应力与应变关系 yy应变与曲率关系应变与曲率关系 Ey应力与曲率关系应力与曲率关系 AMydAEI弯矩与曲率关系弯矩与曲率关系 ssmaxs26sssbhMW弹性极限弯矩弹性极限弯矩( (屈服弯矩屈服弯矩) ) 线性关系线性关系 ssMEI26ssbhM极限弯矩弹性极限状态弹性极限状态 MMhb2.2.弹塑性阶段弹塑性阶段 中性轴附近处于弹性状态中性轴附近处于弹性状态. .处于弹性的部分称为弹性核。处于弹性的部分称为弹性核。 23() 2ssMM弯矩与曲率关系弯矩与曲率关

4、系 ss( (非线性关系非线性关系) ) sseyey32ssMM或或塑性极限状态：塑性极限状态： ssussMW塑性极限弯矩塑性极限弯矩( (简称为极限弯矩简称为极限弯矩) ) 23() 2epssespAAAMMydAydAydA24ssssAAbhMydAydAW26ssbhM截面上各点应力均达到屈服截面上各点应力均达到屈服 s24sbhW 塑性弯曲截面系数塑性弯曲截面系数 极限弯矩与外力无关极限弯矩与外力无关, ,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。 设截面上受压和受拉的面积分别为设截面上受压和受拉的面积分别为A1 和和A2，当截面上

5、无轴力作用时，当截面上无轴力作用时 120ssAA12/ 2AAA中性轴亦为等面积轴。中性轴亦为等面积轴。112212()usssMA aA aSS由此可得极限弯矩的计算方法由此可得极限弯矩的计算方法 式中式中 1212aaAA、为为、的的形形心心到到等等面面积积轴轴的的距距离离1212SSAA、为为、对对该该轴轴的的静静矩矩。ussMMW W仅与截面形式有关，称为截面形状系数。仅与截面形式有关，称为截面形状系数。对于矩形截面对于矩形截面 1.5对于其他截面形式，见教材或讲义对于其他截面形式，见教材或讲义 12sWSSMMhbsssseyeyss26ssbhM例：已知材料的屈服极限例：已知材料

6、的屈服极限 ，求图示截面的极限弯矩。，求图示截面的极限弯矩。240MPasmm80mm20100mm 20mm解解: :20.0036mA 212/ 20.0018mAAA12()usMSS66240 10(3381) 1027360 N m=27.36 kN m112212()usssMA aA aSS式中式中 1212aaAA、为为、的的形形心心到到等等面面积积轴轴的的距距离离1212SSAA、为为、对对该该轴轴的的静静矩矩。等面积轴10mmA1A210.08 0.020.02S 6320.020.090.04581 10 mS630.020.01 0.00533 10 m塑性铰32ssM

7、M1.5usMM320suusMMu 意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。称为塑性铰。意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。称为塑性铰。塑性铰与普通铰的区别：塑性铰与普通铰的区别：1.1.塑性铰可承受极限弯矩塑性铰可承受极限弯矩; ;2.2.塑性铰是单向的塑性铰是单向的; ;3.3.卸载时消失卸载时消失; ;4.4.随荷载分布而出现于不同截面。随荷载分布而出现于不同截面。若截面弯矩达到极限弯矩若截面弯矩达到极限弯矩, ,这时的曲率记作这时的曲率记作 。u破坏机构结构由于出现塑性铰而形成的机构（几何可变）称为破坏机构。结构由于出现塑性铰而形成的机构（几何可变）称为破坏机构。

8、破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。 静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。的荷载即为极限荷载。 确定塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯矩，利用平衡确定塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。条件即可求出极限荷载。例：已知屈服应力为例：已知屈服应力为 。求极限荷载。求极限荷载。223.5kN / cm ,4mslP PAl/2l/2Bmm80mm2010020解：解：极限弯矩为极限弯矩为19.646kN

9、.muM 作梁的弯矩图，梁中最大弯矩为作梁的弯矩图，梁中最大弯矩为max/ 4MPl令令 ，得，得maxuMM44/19.64619.646kN4uuPMlP l/4uuMu9-3 9-3 静定结构的极限荷载静定结构的极限荷载 若能判断出塑性铰的位置，利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。若能判断出塑性铰的位置，利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。0CM22uuPlM 也可列虚功方程也可列虚功方程2202uulPM 本例中，截面上有剪力，剪力本例中，截面上有剪力，剪力会使极限弯矩值降低，但一般会使极限弯矩值降低，但一般影响较小，可略去不计。影响较小，可略去不计。Pu/2ABuMPuCuM机动

10、法：利用虚功原理列方程求解。机动法：利用虚功原理列方程求解。4uuMPl静力法：利用平衡方程或弯静力法：利用平衡方程或弯矩图直接求出极限荷载。矩图直接求出极限荷载。4uuMPl例：已知屈服应力为例：已知屈服应力为 。求极限荷载。求极限荷载。223.5kN / cm ,4mslP PAl/2l/2Bmm80mm2010020解：解：极限弯矩为极限弯矩为19.646kM.muM 作梁的弯矩图，梁中最大弯矩为作梁的弯矩图，梁中最大弯矩为max/ 4MPl令令 ，得，得maxuMM44/19.64619.646kN4uuPMlP l/4uuMu例：求图示简支梁的极限荷载。例：求图示简支梁的极限荷载。

11、Cl/3l/3l/3D4Mu Mu P解：做梁的弹性弯矩图如图所示解：做梁的弹性弯矩图如图所示 P29Pl9Pl设设D 截面出现塑性铰，则截面出现塑性铰，则 4DuMM249uuPlM18uuMPl此时此时 29uCuuPlMMM不可能不可能 设设C 截面出现塑性铰，则截面出现塑性铰，则 CuMM9uuPlM9uuMPl此时此时 2249uDuuPlMMM可能可能 只能出现一个塑性铰，所以只能出现一个塑性铰，所以 9uuMPl讨论：讨论：2/91418DuuuMPlPlMMM/919CuuuMPlPlMMM 变截面静定梁，塑性铰不一定首先出现变截面静定梁，塑性铰不一定首先出现在荷载作用产生弯矩

12、最大的截面，而是首先在荷载作用产生弯矩最大的截面，而是首先出现在荷载作用产生弯矩与极限弯矩之比绝出现在荷载作用产生弯矩与极限弯矩之比绝对值最大的截面。对值最大的截面。超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。PAl/2l/2BCPABC16/3Pl32/5Pl3/16AuMPlMA 截面先出现塑性铰，这时截面先出现塑性铰，这时16/3uPMlABPC/ 4P l 5/32/ 4CMPlPl再增加荷载再增加荷载 令令CuMM5/ 32/ 4uMPlPl 将将P 代入，得代入，得 516/ 4323uuMM lPll2/3uPMl6

13、/uuPPPMl逐渐加载法（增量法）逐渐加载法（增量法）9-4 9-4 单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载 从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A、C。利用极限状态的。利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。平衡可直接求出极限荷载。2ABuMPuCuM0AM1()2BuulRPMl0CM242uuuBlPlMMR416()2uuuuPMMMll或列虚功方程或列虚功方程202uuulPMM6uuPMlPAl/2l/2BC 极限平衡法：无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需根据最后极极限平衡法：无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需根据最后极限状

14、态的破坏机构，应用平衡条件即可求出。限状态的破坏机构，应用平衡条件即可求出。 例例: :求图示等截面梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩为求图示等截面梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩为Mu。0AM2102BuuR xq xM0CM12uBuMRq ll21()0( )22uuuuq lMxq xMal因为因为 是最大弯矩，则是最大弯矩，则CMAlBq 解解: : 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性分析，一个在分析，一个在A 截面，设另一个在截面，设另一个在C 截面。截面。RBABuMCuMxuq0CuBQq xR0( )2uuuq lMq xbl2(2 )

15、uuMql lx2220 xlxl( 12)xl ( 21)0.4142xll211.66uuqMl将其代入将其代入(a)化简化简 两方程联立，即可求出两方程联立，即可求出qu由由(b) 例例: :求图示变截面梁的极限荷载。已知求图示变截面梁的极限荷载。已知AB 段的极限弯矩为段的极限弯矩为2Mu,BC 段为段为Mu 。这种情况不会出现。这种情况不会出现。3AuMM 解解: : 确定塑性铰的位置：确定塑性铰的位置：23AlyAl/3BCPl/3l/3D若若B、D 出现塑性铰，则出现塑性铰，则B、D 两截面的弯矩为两截面的弯矩为Mu 若若A 出现塑性铰，再加荷载时，出现塑性铰，再加荷载时，B 截

16、面弯矩减少截面弯矩减少D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于D 截面。截面。uMuM3uMABPuM2uMuPACuM2yDAC3ClyDAC02DuAuuMMyP029232ylMylMyPuuuuuMlP215列虚功方程列虚功方程 由前面例题可见由前面例题可见: :若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即可求出极限荷载可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等因同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等因素无关素无关。比例加载比例加载-作用于结构上的所有荷载

17、按同一比例增加，且不出现作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。卸载的加载方式。1P2P1q2q11PP22PP22qP11qP求极限荷载相当于求求极限荷载相当于求P的极限值。的极限值。9-5 9-5 比例加载时判定极限荷载的定理比例加载时判定极限荷载的定理 结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：1.1.单向机构条件；单向机构条件； 2.2.内力局限条件；内力局限条件； 3.3.平衡条件。平衡条件。可破坏荷载可破坏荷载-同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。可接受荷载可接受荷载-同时

18、满足内力局限条件和平衡条件的荷载。同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。PP极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。1.1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。比例加载时关于极限荷载的定理：比例加载时关于极限荷载的定理：PP2.2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。唯一性定理：极限荷载是唯一的。3.3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。minuPP4.4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。下限定理（极大定理）：极限荷载是

19、所有可接受荷载中最大的。maxuPP列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机构对应的可破坏荷载，其中最小者即是极限荷载。构对应的可破坏荷载，其中最小者即是极限荷载。定理的应用：定理的应用：穷举法：穷举法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏荷载即为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构破坏荷载即为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。继续运算。试算法：试算法：极小定理的应用极

20、小定理的应用唯一性定理的应用唯一性定理的应用例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。PAl/3l/3BCPl/3D解：解：1.1.用穷举法求解用穷举法求解共有三种可能的破坏机构共有三种可能的破坏机构（1 1）A、B 出现塑性铰出现塑性铰 322/3l/3l223033uullPPMM5uPMl（2 2）A、C 出现塑性铰出现塑性铰 23033uullPPMM4uPMl322/3l/3l2/3l（3 3）B、C 出现塑性铰出现塑性铰 203uulPMM9uPMl4uuPMl共有三种可能的破坏机构：共有三种可能的破坏机构： P+P+P+P+P+P+1

21、.1.用穷举法求解用穷举法求解解：解：例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。Al/3l/3BCl/3DPP（1 1）选）选A、B出现塑性铰形成的破坏机构出现塑性铰形成的破坏机构 223033uullPPMM5uPMl2.2.用试算法求解用试算法求解 作出相应的弯矩图作出相应的弯矩图 （2 2）选）选A、C 出现塑性铰形成的破坏机构出现塑性铰形成的破坏机构 23033uullPPMM4uPMl4uuPMlP+P+322/3l/3l解：解：例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。Al/3l/3BCl/

22、3DPP5/uMl5/uMl322/3l/3lP+P+uMuMlMu/4lMu/43/uMuMuM由弯矩图可见，由弯矩图可见，C 截面不满足内力局限性条件。截面不满足内力局限性条件。作出相应的弯矩图作出相应的弯矩图 由弯矩图可见，满足内力局限性条件。由弯矩图可见，满足内力局限性条件。 4/3uM 例例: :求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。 AlBq 解解: : 用上限定理（极小定理）计算。用上限定理（极小定理）计算。 22()ulxMqx lxl22420 xlxl0dqdx102uAuCqlMMABC;BAlxx11()CABlxx111()02uuqlMMxlxx12(22)(22)xlxlmin211.66uuMqqlABuMCuMx