专题10数列求和及其应用(教学案)-2018年高考文数二轮复习精品资料(教师版)

1、专业文档 珍贵文档 专題10数列求和及其应用(讲学案 高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的 形式“明年高考对数列求和仍是考查的重点“数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习 时应予以关注. 1 .数列求和的方法技巧 (1) 公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和. (2) 错位相减法 这种方法主要用于求数列 an bn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列. (3) 倒序相加法 这是在推导等差数列前 n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列 (反序)，当它与原数 列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易

2、于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和. (4) 裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差， 通过相加过程中的相互抵消， 最后只剩下有限项的和. (5) 分组转化求和法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比 数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并. 2 “数列的综合问题 (1) 等差数列与等比数列的综合. (2) 数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合. (3) 增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题. 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题， 首先应当

3、提高阅读文解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再 用数学运算、数学推文予以解决 【误区警示】 专业文档 珍贵文档 1 “应用错位相减法求和时，注意项的对应. 2 “正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前 n项和. 高频考点突破 考点一由递推关系求通项 例 1、（2016 高考全国卷川）（本小题满分 12 分）已知各项都为正数的数列 a（满足 ai = 1, a2- （2an+仃 1）an 2an+1= 0. （1）求 a2, a3； 求an的通项公式. 解：由题青得 02=专闵弓 由 A （2OM+I 2OJI+I=0 得 2 处 I

4、（0M+ 1、二 a（口卄 1） 因为血的各项都为正数，所叹 故伽是苜项为 1,公比为抽等比数列， 因此偽二#丫 12分分 【方法规律】求数列通项的常用方法 1 “归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法. S1, n= 1, 2 .已知 Sn与 an的关系，利用 an= 2 求 an. 3. 累加法：数列递推关系形如 an+1= an+ f（n）,其中数列f（n）前 n项和可求，这种类型的数列求通项 公式时，常用累加法（叠加法）. 4. 累乘法：数列递推关系形如 an+1 = g（n）an，其中数列g（n）前 n 项积可求，此数列求通项公式一般 采用累乘法（叠乘法）.

5、 5. 构造法：（1）递推关系形如 an+1= pan + q（p, q 为常数）可化为 an+1+ p= p an+ p（p丰丰1 的形式, 利用 an+芝是以 P 为公比的等比数列求解. （2）递推关系形如 an+1= P：np（p 为非零常数）可化为 1 = 的形式. an+ p an + 1 an p专业文档 珍贵文档 【变式探究】数列an的前 n项和为 Sn，且 ai= 3, a* = 20-1 + 3n(n 2)则该数列的通项公式为 an= 【答案】(2n + 1)3n-1 【解析】“ an = 2Sn-1 + 3，an-1 = 2Sn -2 + 3 1 (n3)两式相减得：an

6、an- 1 = 2an- 1 + 2 1，即卩 an =3an-1+ 2X3n 1，-器=a + |(n 数列刖是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，二；n= 1 + (n 1) , an= (2n + 1)3n-1. 考点二分组转化法求和 例 2、(2016 高考全国卷n )Sn为等差数列an的前 n项和，且 a1 = 1, S?= 28.记 bn= lg a“，其中x表 示不超过 x的最大整数，如0.9 = 0, lg 99 = 1. (1)求 b1, bn, b101; 求数列bn的前 1 000 项和. 解：殳%的公差为 4 抿已知有 7 + 21Q2/鮮得 d, 所臥念的通项公式为

7、 6 加=阳 1=0, 11 = 1, iigi = lgl01=2. Q, ln10, b 10 1 = 1 893. 【方法规律】 1.若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成， 则求和时可用分组转化法分别求和再相加减. 形如 an= ( 1)nf(n)类型，可采用相邻两项并项 (分组)后，再分组求和. 2 .分组求和中的分组策略 (1) 根据等差、等比数列分组. (2) 根据正号、负号分组. 【变式探究】已知 an是等差数列，bn是等比数列，且 b2= 3, b3= 9, a1= b1, = b4. (1)求an的通项公式； 设 Cn= an+ bn,求数列 Cn的前 n项和. 解: (

8、1)等比数列bn的公比 q =詈 3= 3, 所以 b1 =也=1, b4= b3q= 27. q 设等差数列an的公差为 d. 因为 a1 = b1 = 1, a14= b4= 27,因为bn= d=3f 所次 几=4 十山一 1)灯=知+ L 6n+6 E (2)由(1)知，6= 3卄3 口=珈十 1)卽 1 所以&=G + G + 6 =3xp?21+ 3x2J +. +（+ 1）X2B+1| 2 耳=3x2 x2J + 3 x2 斗 + + + 1）沁小, 两式相减得一 *=外2 乳严十 2】+巧+盯 1 一 （卄 l）x2+1 4 1-2H _ =3x 4+；- M + 1

9、煜”丄 L 1 2 = -3rt-2+1, 所以 A=3n 2+ 0, 所以 Tn Bn. 2 综上所述，当 n= 1 时，TnV 2 ； 2 当 n = 2 时，Tn= 2 ；n； 2 当 n3寸，Tn 2 ；n. 专业文档 珍贵文档 考点四裂项相消法求和 例 4、【2017 课标 3，文 17】设数列：片满足a (2n-1)0 = 2n. (1)求寻 1 的通项公式; (2)求数列 0n 的前n项和. 2n +1, 1 1 1 +严，是否存在整数 m,使对任意 n N ,不等式 T.奇恒成立？若存 S2n 在，求出 m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答(1) an 2； n N ; (

10、2) 2n -1 2n 2n 1 【解当和=1时卫i = 2 2时匚由tt i + ( 2zi 1) u tl = 2n Tffi 自1 十 + + (2“ 一 3) 一得(2“ 一 1)也1 = 2很卩们 =2(” 一 1). 2 - (H 211-1 囚脸证旳=2符合上式，所以 5 二乔+ Z). 9 9 JLgi (2). 1 (2“ - l)(2n + 1)加二 1 1 1 1 2rT+T, 1 2H + 1 【变式探究】 已知数列 2n的前 n 项和为 Sn，且满足: a1+ 1 a2+ 1 a3+1 + + +-= n, n N* an+ 1 (1)求 an. 设几=丄+丄+ Sn

11、 + 1 Sn+ 2 Sn+ 3 专业文档 珍贵文档 解：当曲=1 时，注斤=1, 卫1+ 1 + 一得-n-T=L 即条二？1 一 1(也】 十】 所以处=用一 1, “Ex： (2)在整数札使得对任意底叫使关于程的不等式 恒成立，即 由(1 却 S-尹_ W 单调递减，当 Q1 时几取得最大値 h心心1 时关于的不等式T3恒成立 【方法规律】 1 “裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适 1 1 用于一 或一 (其中an为等差数列)等形式的数列求和. 3nan+ 1 anan +2 2 “裂项相消的规律 (1)裂项系数取决于前后两项分母的差.

12、裂项相消后前、后保留的项数一样多. 【方法规律】 1 * 已知数列an的前 n项和是 Sn,且 Sn+ an= 1(n N). (1)求数列an的通项公式. 设 bn= log4(1 - Sn +1)( n N* ), Tn= 盘+ 盘+，求使舞 8 成立的最小的正整数 门的 值. 解：(1)当 n = 1 时，a1= S1, 由 S1+ !a1 =II? a1 = 3, 3 4 1 II Sn-1 + 3an-1= 1， dl+ 1 化十 1 (1 1、 5+1 n+2/ =垂- V1 + 17J Sn*2 j 专业文档 珍贵文档 当 n2时，Sn + 3an= 1, -，得伽+ - yOf

13、l 1 = 0 艮卩an扫 i、 2 1 所以血是以为苜项J抄公比的等比数列* 帥 f). 1 /IX (2)由(1 族口 l-St+i=n=aL 1 = I 二 _J _ L_ bnbn+1 n+ 1 M+2 M4-1 M+ 2 心丄+丄+斗丄 爲拭比十也宓十十&时】 _ _ 生00&；口 丄- G+l n+2j 2卄田宅 61 阿 亍孔+2=2 018 故使空曙|成立的最小的正整数的值为 2 016. m 悟 厂 1. 【2017 山东，文 19】(本小题满分 12 分)已知an是各项均为正数的等比数列 ，且 31 32 = 6,曰仓二比. (I) 求数列an通项公式； (

14、II) bn为各项非零的等差数列，其前n项和Sn,已知S2n订=00 1 ,求数列 的前n项和Tn. PnJ 【答案】(I ) SI =2n. ( n ) Tn = 5- 2n n 5. 2 【解析】 (I)设 a的公比为q,由题意知： S1 1 q =6,a!2q二a2. 又4 0, 解得：a(=2,q = 2, n 所以an =2 .卜 E+G 1 n 也 016, 专业文档 珍贵文档 (II)由題竜知：Sg川=(2 闯+ 1)1， 又+1 =恥卄 1Q+】H 0: 所以乞=加+ 1 2 + 1 Y a/和等比数列 bn/满足 ai= bi=1, a2+ a4=10, b2b4= a5.

15、(I)求可匚的通项公式; ()求和:b+a+bH +供4. 3n-1 【答案】(I)珀=2n1 ;(n)2 【解析】 (I )设等差数列an的公差为d. 因为 a2+ a4=10，所以 2a1+4d=10. 解得d=2. 所以 an=2 n- 1. (n )设等比数列的公比为 q. 2.【2017 北京，文 15】已知等差数列 则 5 = 因此 又丄 72+G + r + 2 * 2 亠于 24 所以石二 5 2吃亠1 专业文档 珍贵文档 因为 b2b4= a5，所以 b1qb 1q3=9.专业文档 珍贵文档 解得q2=3. . . 2n - 2 1 所以 2 31 bL + b3 + b5

16、+ +b2n-l=1 + 3 + 3 +弓= 从而 和an 1的等差中项 (I)设Cn -S,n N*，求证：1c 鳥是等差数列; (n)设 ai=d,Tn=E (-1)匕2,n e N*，求证： 丄 c 丄. k4 kzTk 2d 【答案】(I)详见解析(n)详见解析 【解析】 (I )证明：由题意得 b：二吓二吓小小 有 cn = -b= -ana = 2dan , 因此 Ji 一务|二加、所以q罡等差数列. (11 )证明:町=( (- -斗斗+號)+(或+町)(-&L1 +虬 丫超丫超(、+ 口斗 + -*+a、* I =站仏+%) -加 H (刀+ 1 人 2. 【2016

17、高考新课标 3 文数】已知数列 的前 n项和sn 徘， 其中0 . (I) 证明4是等比数列，并求其通项公式； (II) 若 S5 = 31 ，求“ 32 【答案】(I) an 1 ()2； (n)二-1 【解析】 _ 1 1.【2016 高考天津文数】 已知 曲曲是各项均为正数的等差数列, 公差为d，对任意的n N ,bn是an 2n 所以宕可二劳 g 灿七+1) 1- 并+1 专业文档 珍贵文档 (I)由题意得 a1 = S = 1 川 ia，故 _ 1 , a1 , at 严 0 “ 1 九专业文档 珍贵文档 由 31 = an, Si 1 =1 Qi i 得 Qi i = Qi i -

18、 Qi，即环 1( - 9 = Qi - 由 at = o, A - 0 得 an = 0，所以 Qn 1 Qn -1 1 因此Q是首项为 1 ，公比为 1 丸 的等比数列，于是 -1 n 一丄一1）- 由（I E Si -占，由 V 得 W，即（日呜， 解得- -1. 3.【2016 高考浙江文数】设数列 满足 Qnd1 7 （|）证Qi 亠2心加卜2 ）, XN*; (II) 若 an 【答案】 （I） 证明见解析；（II）证明见解析. 【解析】由务务- -警警1 得 HL 故 eN*j 所以 Ai Ji 专业文档 珍贵文档 w 均有 由科的任意性得殆 2 jr- 与式矛盾* 综上，对于任

19、意斤亡 N均有|2. 4. 【2016 年高考北京文数】(本小题 13 分) 设数列A: ai , a2 , -ON(N-).如果对小于n(2 - n-N)的每个正整数k都有 a a1，则G(A)； (3) 证明：若数列 A 满足On-anv W 1 ( n=2,3, ，则G(A)的元素个数不小于 ON - 否则存在% %已已 2有叫 2 ,取正整数叫叫 log 4 ：ai，所以N |2 口兰N 印得0 . 记 m =min t = N|2 兰i 兰 N q a aj, 则m -2，且对任意正整数 k m,ak乞ai am. 因此 m G(A)，从而 G(A) (川)当ON - Q时，结论成立

20、 以下设ON P. 由(口)知 GM20” 设 G() = 珂.砒認/叫 生 八 c 竹-记兔=1- 贝|曙 an a 对 j = 0:l- 、记 G =；上 E 苦FT； i玉 A a. a。弋- 如果 Gr *0 ,取叫二 min G. 贝 ijrfftfl 1 Ar a- a a . 从而叫 e 虫小且叫叫= =% % - - 又因为是 G(Q 中的最大元素所以乞=0 一 从而对任意乙fcN f ar f特别地，ax al： 对 f = Ql0 , n N 专业文档 珍贵文档 (I)若202,03,02 2成等差数列，求4的通项公式； 2 y2 5 4n-3n (H)设双曲线x -2=1

21、的离心率为en ，且e2 = 5 ，证明： 2 en yn_i an 3 3 . 【答案】(I) an=qn-1 ； (H)详见解析. 【解析】 1 都咸立” 所儿 数列紅是首项为 1,公比为 g 的等比数列. 从而a 冋冋 t t 由 2 如 勾吗+2 成等比数列，可得 2a =3+2,即 2gMg+Z,则(2-l)(g-2)-0? 由已知遭0,故故g-2. 所以屯-2*(neN*). (11)由(I )可知，严一 所以双曲线 T 一厶 r n 1 的离卜率比=+?=阳亍 fl/ 目 f s 4 宙q=+=解得?- 因为严】严】 严严 J J所以广认“ - * _ g 1 于罡哥 一一&am

22、p; & - - e i-q- -q = - - Z 古攵昂一逐一逐 - 4 43 3?- - 6. 【2016 高考上海文数】(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分. 若无穷数列 an 满足：只要 即=爲(卩,qN )，必有ap41 =為卅, 则称%具有性质P. (1 )若On具有性质 P，且 Q =“2 =2,印=3注=2, as az a-21,求 a3； (2) 若无穷数列bn是等差数列，无穷数列Cn是公比为正数的等比数列， 3 =1, R =C| =81, 专业文档 珍贵文档 徘=bn Cn判断a

23、n是否具有性质 P，并说明文由； (3) 设tn是无穷数列，已知an sinan(n N*)求证： 对任意耳,佝都具有性质P 的专业文档 珍贵文档 充要条件为 bn是常数列 【答案】（1） 03 =16. . （ 2） Q?不具有性质?. （3 ）见解析. 【解析】（1）因为硯=6，所以 = 6 , G -a-3 f叫二他=2 . 于杲还+牛+込=氐+ 3 + 2，又因为 G- + G + 7： = 21 ,解得0=16 册的公差为 20 ,匕的公比为 t, 3 =20w-19+35_fl . 見 *1 *1 304 硯=码=82 , f 旦匕丁 = 48，= - 、工， 3 所以碍不具有性质

24、F. （3）证氐分性： 当乞为常数列时%詁+血 对任意给定的吗,只要口厂,则由坊+曲勺=耳+ sin %，必有口却=% 充分性得证. 必要性： 用反证法证明“假设 E 不是常数列，则存在 k “:, 使得 b =b = = bk =b,而 bknt 式b. 下面证明存在满足 外1二bn sinan的，使得a（ 二二比1，但 兔2 = 0|b|，贝y f m 二m-b 0 , f m 二m-b ：0，故存在 c使得 f c =0. 取Q=C，因为 a=b+sinan（ 1 兰n兰k）,所以 Q=b+sinc=c=a!, 依此类推，得目=a2二二比i二c. 所 = l+20(rt-l)=20n-1

25、9 专业文档 珍贵文档 但a2 二bk i sinak 1 二h 1 sinc= b sine,即比 2 = a i. 所以 g,不具有性质二矛盾.专业文档 珍贵文档 必要性得证. 综上，对任意a, sn：f都具有性质 尹的充要条件为 是常数列. 7. 【2016高考新课标 2文数】Sn为等差数列 1#的前n项和，且a( = 1 -28.IE 0 =临8丨，其中 l.x丨表示不超过X的最大整数，如1.0.91=0JJg99 1=1. (I)求 h, b，匕01； (n)求数列 u 的前 1 000 项和. 【答案】(I) b=,匕1=1,匕01=2; (n) 1893. 【解析】 如=Igl0

26、1 = 2. ln10: 10?r100T 100?1 + 5. 设数列3的公差为 所tA=3tt+l. 又 7；二 5 +ca + + + 彳导 7； =3x2x22 +?x2 日+4x2*+(兀+1)冥 2 联 I、 27；=3x2x23 + 3x24+4x25- -+O7 + l)x2fHif 两式作差，得 -7；=3X2X232-24 + + 2/I*1(M+1)X2，1+2 =3 x4 十伦* _D_+1)H2 川 2-1 =-知 2 刈 所以坊=3 科 2 祕 9. 【2016 高考江苏卷】(本小题满分 16 分) 记UT2,100l对数列nN*和U的子集若T =-,定义 S =

27、0;若 T 筛2,，tj，定义 Sr at2 -+atk.例如：T=1,3,66时，Sr = a(任+珈现设 n，N*是公比为 3 的等比数列，且当T=2,4时，Sr=30. (1) 求数列、a/的通项公式； (2) 对任意正整数k 100，若T H,2-,k;，求证：耳:比十； (3) 设 C U,D U,&-SD,求证：Q 牟 D-2SD.吨 ;:駕 ,可解得 专业文档 珍贵文档 已知数列 的前n项和 Sn=3 n2+8 n , Mn / 是等差数列，且a=tn bni. (i)求数列 的通项公式； ( + i)n 卑 (n)令=(an ) n .求数列g 1的前n项和Tn. (b

28、n +2)n 【答案】(I) b 3n 1 ； (n) Tn=3n.2n2. 【解析】 I )由题青知当科王 2 时，弧=S 十 Sp = 6w + 5 , 当科=1B 寸，a1 = = 11 j 所以弧=6M+5. 设数列毎的公差为d , a. = , + i?-, 11 = 23 亠刀 由 ,叭 ，可解得=4 = 3, 色=知+玄(17 = 2 +3d 1 .业业 N 3 1 丄丄 所以 bn = 3n+l. (II)由(I )知 3 叶 1).2 (JM + 3) 又人=6+5+8 + 5 彳导 7； =3x2x22+3x23+4x24+ +(w+l)x21, 27； = 3x2x25-

29、3x24+4x25+-+(tt-l)x2, 两式作差得 -T, =3 2 22 23 2 2n 1 -(n 1) 2n 2 =3 4 4(2二1) _(n 1)2n 2 2-1 -3n 2n 2 所以 Tn =3n 2n 2 【2015 江苏高考, 11 】数列an满足 a1 = 1 ,且 an 1 - a n = n、1 的前 10 专业文档 珍贵文档 项和为 【答案】20 11 【解析】由题意得： 4 =（anan）+（an丄一寻）+ +（a2aj+d = n + n/t 申2皆=n；1） 1 1 1 1 2n 所以 an =2(n -n .严(1 - n -1n 1，So 2亠吃为偶数一

30、 20 11 【2015 高考天津，文 18】（本小题满分 13 分） 已知数列an满足 an 2 = qa n(q 为实数，且 q =1), n .二 N *, a1 =1, a? =2，且 a2 + as, as + a4, 成等差数列 （I）求q的值和an的通项公. lOg2 a2n a2n A 【答案】（I） an = 2n2，n 为奇数；（）Sn； 22, n 为偶数 【解析】（I ）由已知，有（fl3+ a）-（02 + a3） = （a4 + -（u5 + a4） J 即角一口厂色 所以= 又因为 故a3=a2=2r 由a3 = W-1 当“2 血-1（兀小）时，比二叽=2=2

31、丁 当心（応 A7*）时，a = 4 所以“/的通项公式为勺= 2 : 科为奇数, (ii)由(I)得 bn =log2a2n 一 a2nd 2n 4， 设数列 g 的前r项和为Sn，则 专业文档 珍贵文档 Sn =1 汉士 +2 汇*+3 汇家卡 ；Sn 1 2 + n 汇丄 2n 两式相减得 专业文档 珍贵文档 (1)求数列an的通项公式; 【答案】(1) Oi =2 ；( 2)10. 【解析】(1由已知生=2 陽一口 1，有弧=$厂卜】=2ait-2a1(n I), 即 = 2(1). 从而込=2 匕“碍=4 一 又因为“ +g 成等差数列，即紂+码二 2(勺+1), 所以卫 1+斗口】

32、=2(2% + 1),解得 = 2 所以，数列是首项为2,公比为 2 的等比数列. 故 = (2)由 C1)得丄二丄 陽 2 1 1 n ，得 |1 一 : 一1| :： 1 ，即 2n 1000 . 2 1000 因为 29 =512 =: 1000 0 , OI an= 4Sn 3. (I)求an 的通项公式;n 2n n _2 2 2* 2* n 2n， 整文得Sn =4 - n n 2 2n- 所以数列汇!的前n项和为 【2015 高考四川，文 16】 n 2 4 一一n 1 , n 2 - 设数列an的前n项和 Sn = 2a n - ai 且ai , a2 1, a3成等差数列.

33、(2)记数列 - 的前 n项和Tn，求得|Tn -1| an 1 d a -Id，占芒 0 ）. 假设存在码，使得，打云，讨依次构成等比数列 贝贝|_口=（一）口亠力，且（a +d = a1 a-ld 令 r = -, Jl = （l-（l+/） 且（1-）（1+盯（- a 八/ 、 . 、 ， 2 化简得 f + 2t2-2 = 0 （）# 且 r =r+l 将t2 =r+l 代入（事）式， (n)设 bn : an3n ,求数列bn 的前n项和. （ID a6 4 科十百 专业文档 珍贵文档 +1 + 2（r+1 -=芥 + 3r 匸 r+1 + 3r 二t 1 二 0：贝 ll二, 4

34、显然t = 不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立 4 2 3 4 因此不存在ai, d，使得ai , a2, 03, a4依次构成等比数列. n n k n *2 k n 13 k （3） 假设存在ai , d及正整数n, k，使得0 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列， n . n Ek, 2fn+ n4k n_Bk 2fnd2k 则 6 6 2d a! d ，且印 d a! 3d a! 2d . d 分别在两个等式的两边同除以 O2严 及aT粋），并令t=-（ - , t式0）, a（ 3 鼻 n 占k $ 2血姝 n* nBk 2fnH2k 则 1 2t 1 t ，且 1

35、t 1 3t 1 2t . 将上述两个等式两边取对数，得 n 2k l n2t = 2 n，k I nt , 且 n k In 1 t n 3k In 1 3t = 2 n 2k In 1 2t . 化简得 2k |In 1 2t -In 1 t 二 n |2ln 1 t -In 1 2t , 且3k |In 1 3t -In 1 t 二 n |3In 1 t -In 1 3t 再将这两式相除，化简得 In 1 3t In 1 2t 31 n 1 2t In 1 t = 41 n 1 3t In 1 t ）. 令 g 11=4In 1 3t In 1 t -1 n 1 3t In 1 2t -

36、31 n 1 2t In 1 t ,专业文档 珍贵文档 2 (l+3f)；ln(l+3f)-3(l-2rfln(l+2f) + 3(l-ryin(l + f| 令卩(f)二(l_3r)2ln(H)-3(l + 2r ln(l + 2/)+3(l+ri； ln(l+r), 则财=6(L+3)ki(L+引)_2(l+2rlfl(l+2f)+(l+)lii(l+S. 令 (r) = 0(),则(r) = 6|_31n(l+3r)-41n(l + 2;)+ln(14-r). 由容(o) =卩(o) =当(o)=眄(o) = o,对 W f 1 、 知輕，巒(f), p(r), g()在 f 亍 0和(

37、0 厂丈 1 上均单调 故劭只有唯一零点 20,即方程()只有唯一解 20,故假设不成立. 所以不存在口“ d 及正整数心使得歼，口广，口严铁口:碎依次构成等比数列 【2015 高考浙江，文 20】已知数列玄1满足ai = 1且an 1= an - a3 4 ( n. N*) 2 (1 )证明：1 兰-兰 2 ( n N*)； an* (2 )设数列 W 的前颐和为Sn，证明由兰半命(-N*) 【答案】(1 )详见解析；(2 )详见解析 21 【解析】(1 )由题意得，耳卅可=an - 0，即an卡兰an， anE，由an=(1_an)an 2 3 得 an=(1-an)(1-an_2)(1-

38、a1)a1 - 0，由 0：an 得， 4 (l+f)(l+2)(1+3r) 令吐二塚()，则促二 12 11+f )(1 ) 11 + 3f) 0 1 1 -an 1,2，即 1 an 2 ； an书 (2 )由题意得 2 _ an 一 an an 2 专业文档 珍贵文档 Sn =a1 _an+ ，由 丄= -O和 1 _a 2得, an an an an 出 1 1 1 1 * “ n 2n，因此 乞an1岂 (n N )，由得 an+ a1 2(n+1) n + 2 S1, 12 4心 【解析】（1）因为+ 3 所儿 2O1 = 3 + 3=3. 当n 时,2_L = 3l+3; 此时，

39、2%=2 耳公】=歹一旷、即碍=玳 1 w = L 所儿务二仁“ I 3 旳珂 （II 因为码 A 二 1 隅心，所以知=2 3 当心 I 时，乞二严 1 跆“二（科-1）尸 所臥 当1 时 1 Tn f b2 b3 亠亠bn = 132 3H n -1 31 3 所以 3Tn =1 1 30 2 3尸口 n -1 32亠 两式相减，得 13 6n 3 6 2 3n 所以T J3 6n 3 12 4 3n 经检验, n =1 时也适合， 综上可得：Tn 13 6n 3 = - T - n 12 4 3n 2Tn =： 3 332_ n _1 31 1 n 2 1-3 3 1 -3 -n-1 3

40、1* Xn是曲线yx221在点（1,2）处的切线与 x 轴交点的横坐 专业文档 珍贵文档 【2015 高考安徽，文 18】设 n N专业文档 珍贵文档 2 2 n -1,2可得 a2 -a p，a3 -a?二 P = a2 =1 P，S3 二 P P 1,因为 a1,2a2,3a3成等差数列，所以 4 a 2 二 a 3 a3 * 4(1+p) = 1+3(p2+p+1 戶 3p2_p=0n p=2或0, 3 当p =0时，数列an为常数数列不符合数列是递增数列，所以p. 32 2 2 (n)记 Tn - X1X3 X?n 1，证明 Tn 1 4n 【答案】(I) Xn二0 ； () n十1

41、.1 Tn 4n (I)求数列Xn的通项公式; 【解析】 (1 )解：y1 = (x + l) =(2+2).1,曲旳亠 1 在点2)处的切线斜率为 22 从而切线方程为片 2 心+ 2 如).令严 0,解得切线空轴交点、的横坐标-占=活 (II)证：由题设和 I 中的计算结果知 1 2M_1 - r- 2 刃 T* -对塘战= 2 、r “4 2 1.2 (2w 1)* 当科王 2 时，因为=(-r=. 2n 2n) Qn-l 丹_1)亠一 1 _ 斗幵 2 4w _ 1 W 1 2 n-1 1 X 天一 XX - = . 2 3 n 综上可得对任意的均有厶二丄一 4/7 所決 7； 4)

42、1.【2014 高考湖南文第 20 题】已知数列aj满足印=1,寻出-an (1)若乞门为递增数列，且a!, 2a2,3 a3成等差数列，求P的值； 若p =!,且a?n/是递增数列，a2n是递减数列，求数列 的通项公式 2 【答案】 1 3an =4321为奇数或a di为偶数 n =4 _ 33 2n4 【解析】 (1)因为数列 曲为递增数列，所以an 1 an _ 0 则 an 1 an = pn 二 an41 an = pn，分别令 专业文档 珍贵文档 由题可得an 1 an = 丄=2n丄，*2n .2 - &2n 1 = 2n 1，因为 *2n十是递增数列且 a . a :

43、a2n匚是递减数列 ，所以 a2n * 32 n 1 且 82 n 平 W a2n 则有 二 a?n 1 a? n 芝 a? n 申一a?n _|2，因为 - 02n-2 rl n 如 7解住呷 当亦（U时， 溥鳥,由单调性可亀 G(O 3) 2 1 . （3 ）由题得，3%曲乞3务，且数列內4； a k成等差数列，at = 1 , 1 ；1 (n -1)d 1 nd 31 (n 1)d，二 1)2, (nk-1), d(2 n- 3)一-2 所以 n =1 时，2 乞 d 冬 2 , 2 乞 n k -1 时，d - 2 ，所以 d ：一2 _ 2 3 2n+1 2k-1 3 ._ 2 d

44、- ,2 2k 1 2n 1 = 1000 , Sk 二 d k2 (印 一 d)k = d k2 (1 - d)k 二 1000 2 2 2 2 .2000 -2k _2 ,2，解得，k 32,1999 , k N k -k 2k-1 1 “d=2000 -2k k -k “ k的最大值为 1999，此时公差为 d = - - . 1999 【考点定位】解不等式（组）、数列的单调性、分类讨论、等差（比）数列的前 r项和. 7.【2014 高考上海文科第 8 题】设无穷等比数列an 的公比为 q，若a lim.（a3 a ），则 q=_ . 【答案】（1） 3, 6 ; （2） 1,2 ； （

45、3 ） k的最大值为 1999，此时公差为d = 3 1999 【解析】 -x6 3 农 6 -93 1.3 2）由题得，丁亍兔盂3 碍，且数列碍是等比数列，坷=1, 叫-扣。,.如 4 q aYg _ 3) 5 Q n 二当=1 时=5+1 鲨鈿对刃恒成立，满足题意. 3 专业文档 珍贵文档 【答案】 土逅 2 项和Tn . 2-n_2 【答案】(1)Sh 二 n(n-3)； (2)人二 【解析】( 1)鸟=2丐=2工6役4 2?6d =2?7d,d =2，所以 Sr = -2 科 + H07 - 1) = - 3) 将fg求导得fr(x) = 2 ln2,所以子二严在(碍上 J 处的切线为

46、 一工=221 In ；令$ = 0 得一鸟=(2丸丸 In 2)x(xa3).x = aa Ln2 所tkd=2l =1._aH =nI 傢= 2”所以牛 廿一.Udn F 1 2 3 旳一 甘刖旳项和町=寸+卡+去 +歹丁十、 Jn 两边乘以 2 得：-专+” A. 【考点定位】等差数列与等比数列 9 .【2014 高考天津第 19 题】已知q和 n均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M = 0,1,2 ,q- 1, + Xnqn-1,Xj ? M ,i 1,2, ,n: a 【解析】由题意叫計知1_; 2 a1 1 -q ，:叭 0,q 1, -1 +J5 二q 二 2 【考点定位】

47、无穷递缩等比数列的和 8.【2014 高考四川第 16 题】设等差数列an 的公差为d， 点(an,)在函数 f (x) = 2x的图象上 (1) 若a = _2，点(a8, 4b7)在函数f (x)的图象上，求数列 an的前n项和S (2) 若a1 =1 ,函,求数列 ln 2 的前n 2n 1 1 -得:2Tn_T! 1 久二-；，所以八1厂2 集合 Ahl x x = x1 + x2q + 专业文档 珍贵文档 (I)当q=2, n = 3时，用列举法表示集合 A ; ()设 s,t?A, s= ai+ sbq+ + anqn-1, t = + b2q + +dqn-1，其中 ai , b

48、i ? M , i 1,2, , n .证明：若 an bn，则 s t. 【答案】( (1 ) A= 0,1, 2,3,4,5, 6,7 ; ( 2 )详见解析 【解析】( (1 )当 q = 2 , n = 3 时，M = 0,1 , A= x|x=为 + x?2 X3孜2 , x M , i = 1,2,3,可得， =0,1.2,33,5.6,7. (2由应=珂+角 g - 口曲.t = 込 g - $ $左左2 *碍=玄 wAf , f = 1. 2T tt7M及 込 丈 br oj 彳导 s t = ：,】一】一q )+1 a _h 1 g _ 5._- =+ 工 q 冬(裁一 1) + 1)孕 + . ,I 1 . 一彳 一 1 旷-gi -一 7- = -1 0 .注 01c5040J3n5 时,H-L 叱4氏二 2=（小） 1 1 1 fl i）由（ 1）知，Cn葛花药書n+1丿 nn1 n1 n2 n1 n-2 nn1 551 2门 _ 2卅 2门卅 0