最新中山大学信息光学习题课后答案--习题234章作业

1、习题 22.1把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。(1)f ( x)rect( x2n)(2) g( x)tri( x 2n)nn2.2 证明下列傅里叶变换关系式：(1)F rect( x)rect( y)sinc()sinc( ) ;(2) F (x) ( y) sinc 2 ( )sinc2 ( ) ;(3)F 1(,);(4)11Fsgn( x)sgn( y);ii(5)F n(sin nx ) ;(6)F e (x2 y 2 ) / a2。2.3求 x 和 xf (2 x) 的傅里叶变换。2.4求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。H ()t r i (1)t

2、r i (G ()r e c t (/ 3 )r e c2.5证明下列傅里叶变换定理：(1)1在所在f ( x, y) 连续的点上FF f (x, y)FF1f ( x, y)f (x,y) ；(2) F f ( x, y)h( x, y) F f (x, y)* F ( g( x, y) 。2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：(1)若 f r (r )(rr0 ) ，则 B fr (r )2r0J0 (2 r0) ;(2)若 ar1时 f r ( r )1，而在其他地方为零，则B fr ( r )J1(2 ) aJ1(2 a );(3)若 B fr(r )F ( ) ，则 B f r

3、(r )1;a2a(4)Be2 e 2r2.7 设 g(r ,) 在极坐标中可分离变量。证明若f (r , )fr (r )eim，则：F f (r , )( i) m eim H m f r ( r )其中 H m 为 m 阶汉克尔变换： H m fr(r )2 rf r ( r )Jm (2 r)d r 。而 ( , ) 空间频率中的极坐0标。 (提示： eia sin xkJk (a)eikx)2.8 计算下列各式的一维卷积。(1)x1* (2 x3)(2)rectx3rect22* ( x 4)* ( x 1)(3)rect x1*comb(x)(4)sinrect( x)x222.9

4、试用卷积定理计算下列各式。(1)sinc( x)*sinc( x)(2)Fsinc( x)sinc(2 x)2.10 用宽度为 a 的狭缝，对平面上强度分布f ( x)2cos(2 0 x)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a ，光栅常数为d ，缝数为 N 。2.12 计算下面函数的相关。(1)rectx1 rect x 1(2) tri2x 1 tri 2 x 1222.13应用傅里叶定理求下面积分。(1)2(2)sinc 2 (x)sin( x)dxe xcos(2ax)dx2.14求函数 f ( x)rect

5、( x) 和 f ( x)tri( x) 的一阶和二阶导数。2.15试求下图所示函数的一维自相关。2.16试计算函数f ( x) rect( x 3) 的一阶矩。2.17证明实函数f ( x, y) 的自相关是实的偶函数，即： Rff ( x, y) R ff ( x, y) 。2.18求下列广义函数的傅里叶变换。(1)step( x)(2)sgn( x)(3)sin(2 0 x)2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。(1)H ( x)tri( x1)tri( x1)(2)G (x)rect( x / 3)rect( x)2.20 表达式p( x, y)g( x,

6、y)*combxcombyXY定义了一个周期函数，它在x 方向上的周期为X ，它在 y 方向上的周期为Y 。(a) 证明 p 的傅里叶变换可以写为：P(,)GnmnmX,X,nmYY其中 G 是 g 的傅里叶变换。(b)当 g( x, y)xrect 2y时，画出函数p( x, y) 的图形，并求出对应的傅里叶变换rect 2YXP(, ) 。习题 33.1设在一线性系统上加一个正弦输入：g( x, y)cos2 ( xy) ，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。3.2证明零阶贝塞尔函数2J0 (2 0 r ) 是任何具有圆对

7、称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征值是什么？3.3傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：(a) 这个系统是线性的吗？(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？3.4某一成像系统的输入是复数值的物场分布U o ( x, y) ，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布 U i (x, y) 。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间|Bx ，|By 之外恒等于零。 证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效” 物体 U o (x, y) ，

8、它与真实物体U o 产生完全一样的像U i ，并且等产供效物体的场分布可写成：U o (x, y)U 0 ( , )sinc(n 2BX )sinc(m 2BY )d dxn , ymnm2BX2BY3.5 定义：xy11f (x, y)dxdy ,F ( ,)d df (0,0)F (0,0)分别为原函数f ( x, y) 及其频谱函数F (,) 的“等效面积”和“等效带宽”，试证明：xy1上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。3.6 已知线性不变系统的输入为：f ( x)comb( x) 。系统的传递函数为rect(/ b) 。当 b1

9、和 b3 时，求系统的输出g( x) ，并画出函数及其频谱。3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为：h( x)7sinc(7 x)用频率域方法对下列的每一个输入fi ( x) ，求其输出gi ( x) (必要时，可取合理近似)：(1)f1 ( x)cos 4x(2)f2 (x)cos(4x)rect( x / 75)(3)f3 ( x)1cos(8x)rect( x / 75)(4)f4 ( x)comb( x)*rect(2 x)3.8给定正实常数0 和实常数 a 和 b ，求证：1(1) 若 | b |，则2 01(2) 若 | b |，则2 01sinc( x / b)*cos(20 x

10、)cos(2 0 x)| b |1sinc( x / b)*cos(20 x)0| b |(3)若 | b | a |，则 sinc( x / b)*sinc(x/ a) | b | sinc( x/ a)(4)若 | b | a | ，则 sinc( x / b)*sinc2( x / a) | b |sinc2 (x / a)213.9若限带函数f ( x) 的傅里叶变换在带宽w 之外恒为零， (1) 如果 | a |，证明：w1 s i n cx( a /f) *x( f ) x()(2) 如果 | a |1 ，上面的等式还成立吗？| a |w3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的

11、矩形波：g ( x)1 comb( x / 3)rect( x /100) *rect( x)3若系统脉冲响应：h( x)rect( x1) 。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波g ( x)1 comb( x / 2)rect( x / 50)* tri( x)2对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1) H ( ) rect(/ 2)(2)H ()rect( / 4)rect( / 2)3.12若对函数： h(x)asinc 2 ( ax)抽样，求允许的最大抽样间隔。3.13证明在频率平面上一个半径为B

12、的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定理：g ( x, y)gn, m2J12 B( xn / 2B)2( ym / 2B)2 nm2B2B42B( xn / 2B) 2( ym / 2B) 2习 题 44.1 尺寸为 ab 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) t( x0 , y0 ) circ( x02y02 )(2) t ( x0 , y0 )1,ax02y0210,其它4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：t (x0 )

13、abcos(2x0 / d)式中， d 为光栅的周期， ab0 。观察平面与光栅相距z 。当 z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。2d 2zrd 2zrd 2(1) z zr(2) z(3)z2244.4 参看下图，用向 P 点会聚的单色球面波照明孔径。 P 点位于孔径后面距离为 z 的观察平面上，坐标为 (0, b) 。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以 P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。4.5方向余弦为 cos,cos，振幅为 A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。观察平面位于夫琅禾费区，也孔径相距为 z

14、 。求衍射图样的强度分布。4.6环形孔径的外径为 2a ，内径为 2 a (01) 。其透射率可以表示为：1,a r0at (r0 )其他0,用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为 z 的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为a ，中心距离为 d (d a) 。采用 z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y 方向截面图。4.8 参看下图，边长为2a 的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在( ,) 点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z 的观

15、察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出xy0 时，孔径频谱在x 方向上的截面图。4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a ，长度为 b ，中心相距 d 。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为 z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定 b4a 及 d1.5a ，画出沿 x 和 y 方向上强度分布的截面图。4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即：t (x0 )step(x0 )采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为 z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布。画出沿 x 方向的振幅分布曲线。4.11下图所示为宽度为a的单狭缝，

16、它的两半部分之间通过相位介质引入位相差。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿 x 方向的截面图。4.12线光栅的缝宽为 a ，光栅常数为 d ，光栅整体孔径是边长 L 的正方形。试对下述条件，分别确定 a 和 d 之间的关系：(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：z 的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强t ( x , y )00c o mbx ( a/ 0) c o ym b b(0/)cxo m b a( 0a 0 . 1) /y0) b c o m b (/)采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为度分布。画出沿 x 方向的截面图。4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为 n ，齿宽为 a ，齿形角为 ，光栅的整体孔径为边长为 L 的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，