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文档简介

1、.1. 你要在雨中从一处沿直线走到另一处,雨速是常数,方向不变。你是否走得越快,淋雨量越少呢?2. 假设在一所大学中,一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的 1/10,若在充分长的时间内,一位普通教授大约借出多少年本书?3. 一人早上 6:00 从山脚 A 上山,晚 18:00 到山顶 B;第二天,早6:00 从 B 下山,晚 18:00 到 A 。问是否有一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点?4. 如何将一个不规则的蛋糕 I 平均分成两部分?5. 兄妹二人沿某街分别在离家 3 公里与 2 公里处同向散步回家,家中的狗一直在二人之间来回奔跑。 已

2、知哥哥的速度为 3 公里 /小时,妹妹的速度为 2 公里 /小时,狗的速度为 5 公里 /小时。分析半小时后,狗在何处?6. 甲乙两人约定中午 12:00 至 13:00 在市中心某地见面,并事先约定先到者在那等待 10 分钟,若另一个人十分钟内没有到达,先到者将离去。用图解法计算,甲乙两人见面的可能性有多大?7. 设有 n 个人参加某一宴会,已知没有人认识所有的人,证明:至少存在两人他们认识的人一样多。8. 一角度为 60 度的圆锥形漏斗装着 10 厘米高的水(如右图),其下端小孔的10cm面积为 0.5 平方厘米,求这些水流完需要多少时间?9. 假设在一个刹车交叉口,所有车辆都是由东驶上一

3、个1/100 的斜;.Q/Lq/x10.坡,计算这种情下的刹车距离。如果汽车由西驶来,刹车距离又是多少?10.水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料,如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。1解:把人体简化为长方柱,表面积之比为前:侧 :顶=1:a:b,选坐标系将人的速度表示为( v,0,0),即人沿 x 周方向走, v>0,而设语雨速为( x,y,z),行走距离为 L,则淋雨量 Q 的表达式为:Q= Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v记 q=a|x|+b|z|,则q xL(1 ),v xvQ(v)=q

4、 xL(+1),v>xv在 qx和 q<x 两种情形下作图Q/Lq>xq<x1q/xxv0xv2.解:由于教授每天借一本书,即一周借七本书,而图书馆平均每周;.收回书的 1/10,设教授已借出书的册数是时间t 的函数小 x(t)的函数,则它应满足(时间t 以周为单位)X(0)=0其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为 0。-t/1t=701-e10解该线性方程初始问题得 X(t)由于当 t时,其极限值为 70,故在充分长的时间内,一位普通教授大约已借出70本书。3.解:我们从山脚 A 点为始点记路程,设从 A 到B 路程函数为 f(t),即 t 时刻走的距离为 f(

5、t);同样设从B 点到 A 点的路程为函数g(t)。由题意有f(8)=0,f(18)=|AB|,g(8)=|AB|,g(18)=0;令 h(t)= (ft)-g(t),则有 h(8)= f(8) -(g8)=- |AB|<0, h(6)=f(6) - g(6)=AB|>0又注意 f(t),g(t)都是时刻 t 的连续函数,因此 h(t)也是时刻 t 的连续函数,由连续函数的介质定理,一定存在某时刻t。使 h(t。)=0,即 f(t。)=g(t。)所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。4.解:设 I 为平面上任一封闭曲线,p 为平面上一点(不妨设p 在 I内),则存在已

6、过点p 的直线,将 I 所围的面积二等分,如下图;.lS2pS1a0设 l 为过点 p 的一条直线,若 S1= S1,则得证,否则设 S1 >S2,l 与 x 轴夹角为 a,让 l 逆时针绕 p 旋转 S2 ,S2,则 S1,S2 随 a 的变化连续的变化,记其面积为 S1a),S2(a),则记 S1(a)= S1, S2(a)= S2,f(a+)<0, 且 f (a)连续,由连续函数的介值定理知,在(0,)存在使f ()=0,a=对应的直线即为所求。5解:哥哥与妹妹的速度分别为3 公里 / 小时及 2 公里 / 小时,因此一小时后,哥哥与妹妹都已到家,而狗一直在二者之间,因此狗已

7、到家。6解:设甲乙两人分别在12 点 x 分及 y 分等可能到达到达约定地点,显然 0x60,0 y60,若两人相遇则有 |x-y|10,这是一个几何概率问题,其中样本空间为A=(x,y)| x60,0 y60它构成了空间直角标系中的正方形,相遇空间为;.y60ag1006010xG=(x,y), |x-y|10其图形见上图阴影部分,Sa,Sg 分别表示正方形、阴影部分的面积,从而相遇的概率为P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)0.3067. 证明:设第 i 个人认识的人为 s( i ),则 s(i ) N-1设没有两个人认识的人一样多,则s(1),s(2),

8、互不相等,则 s(i )取遍集合 0 、1、2 N-1 中的一个值,即至少存在某两个人 k1,k2 使 s(k1)=N-1,s(k2)=0,而对第 ki 个人,由于(ki )=N-I ,故他必然认识第k2 人,故 s(k)至少为 1,与 s(k2)=0 矛盾,得证。8解:由水力学定律可知Q=dv/dt=0.62S2gh ,其中 0.62 为流量系数 S 为空口横截面, g 为重力加速度, h 为从从空口到水面的高度,故有 dv=0.312gh dt ,另一方面,在 t 时间内,水面由h 降至 h+dh(dh<0), 则仅有;.dv=- r*r*dh=- /3*h*h*dh,所以有0.31

9、 2gh dt=- /3*h*h*dh ,再由 h(0)=10, 联立求得其解为t=( /3)*(2/5)*1/(0.31(2.510-2.5h,当水流完时,2gh=0解得 t=2 /(15*0.31 2g )*2.5109解:设 t=0 时为开始刹车的时刻, x(t )为从 t=0到 t 时刻所幸的距离,由刹车时所受的制动力为-uW 100-W* 1,其中 W为车重,故 x(t )满100* 1001100 * 100 1足 w *d (dt/dt )/dt=-uW 错误!未定义书签。 -W* 1g100 * 100 1又由 x(0)=0,dx/dt|t=0=v。解得 x(t )=-1/2 ( 100ug100* 1001+ g100 * 1001 ) t2 +v。*t故制动时间为t b=v。/( 100ug100* 100+ g 100 * 100 1)1因此刹车距离为b。 /(100ug+g100 * 1001)x(t )=1/2* v100 * 1001同 理 可 得 汽 车 由 西 驶 来 时 , 刹 车 距 离 为1/2*v 。/( 100ug+ g 100* 100 1 )100* 1

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