数列中的恒成立问题(教师版)

1、精品文档数列中的恒成立问题【常用方法和策略】：数列中的恒成立问题历来是高考的热点，其形式多样，变化众多，综合性强，属于能力题，主要考查学生思维的灵活性与创造性数列中等式恒成立问题通常采用赋值法和待定系数法，利用关于 n 的方程有无数个解确定参数的值，也可采用观察、归纳猜想再证明的思想；与不等式有关的数列恒成立问题，常常使用分离参数法、利用函数性质法等，转化为研究数列的最值问题【课前预习】：1.已知数列 an是无穷等差数列，a1 1，公差 d0 ，若对任意正整数n，前 n 项的和与前3n 项的和之比为同一个常数，则数列an的通项公式是 _.Snn(n 1)d3n(3n1)dSnt 为常数，则【解

2、析】由已知得，n2， S3n 3n2，设S3n9tddd 2dn2 d 9tdn6t3td 对nN * 恒成立，所以，由于 d 0 ，解得12 d6t3tdt9故 an 2n 1设是等差数列a的前 n项和， 若数列a满足 anSnAn 2BnC 且A0，则12.SnnB CnA的最小值为【解析】根据 anSnAn2BnC 及等差数列的性质，可设n2n1S =An +Dn，则 a =（ B D）n+C，则有 a =B D+C， 由 等 差 数 列 的 求 和 公 式 可 得 Sn= n(a1 an )= BD n2+ BD2C n=An2+Dn ， 则 有222BD2A，消去参数 D 并整理可得

3、 BC=3A，故 1 +B C= 1 +3A213A =23 ，当且仅当 1B2CDDAAAA2=3A，即 A=3 时等号成立33. 记数列an的前 n 项和为 Sn ，若不等式 an2Sn2ma12 对任意等差数列an 及任意正整数n 都成n2立，则实数m的最大值为 _【解析】设数列n 的公差是d，则ana1 (n 1)d ， Sn n1aan 121， dR， n N* 恒成立a1d m 12对任意的a2a 若 a1 0，上式显然恒成立；（ n1） d 21（ n 1） d 211 m对任意的 若 a 0，则a12a1n（ n 1） d. 由题意 a1 (n 1)d 2 2a1，d R，n

4、 N* 恒成立 令 （n 1） d2a1。1 欢迎下载精品文档22t 恒成立而 (1 2t)2(1 t)22 25t 3 21 t ，则 (1 2t) (1 t)m对任意的实数 5t 6t5 ，53221所以 t 5时 (1 2t) (1 t)取最小值，所以m5.1综上所述， m的最大值为 5.【典型例题】：例题1设数列an 满足 an1= 2ann 21 4 n（ 1）若 a13 ，求证：存在f2a nf ( n) 是等比数列，并求( n)= an +bn+c（ a， b， c 为常数），使数列 出数列 n 的通项公式；a（ 2）若 an是一个等差数列 bn 的前 n 项和，求首项a1 的值

5、与数列 bn 的通项公式【解析】 (1) 证明：设数列 af() 的公比为q，则： a + (1)=q(a+( ),nn+1n而 an 1f n 1 2a nn 22b n 1c4n 1 a n 12ann 2 4n1 an 22 na a bn b c2ana 1 n 22a 4b n1 a b cq anfnqan qan2qbnqc q2q2由等式恒成立得qaa1，解得a1qb2a4b2bqc1abcc0 存在 f( n)=n2f ( n) 成公比为2 的等比数列2n，数列 a n又 a1+f(1)=3+12=2，所以 an +f (n)=2 2n 1=2n所以 an=2nf(n)= 2

6、nn 2+2n . （8 分）(2) an 是一个等差数列 bn 的前 n 项和，可设 anAn 2Bn ，则 :an 1A n1 2B n1An22A B n A B 又 a= 2 an2n12An22Bnn24n12 A 1 n22B4 n 1 n 1n4A2 A1A1由此得2AB2B4 ，解得所以 ann 22n ，所以 a11 B2AB1所以当 n2 时， bnanan1n 22nn1 22 n 132n 当 n1时， b1a11满足上式故bn3 2n . （ 16分）例题 2 已知数列an，其前 n 项和为 Sn 。2 欢迎下载精品文档（ 1）若 an是公差为 d ( d0) 的等差

7、数列，且Snn也是公差为 d 的等差数列，求数列an的通项公式；（ 2）若数列an对任意 m， nN* ，且 m n ，都有 2Sm nam anaman ，求证：mnmn数列 an是等差数列【解析】（ 1）设 bnSnn ，则 bn2Snn ，当 n2S1n =a11 ，(b1d )2S22 2a1d 2 ， 1，2 ，3 时， b1(b12S333a13d3 ，a1 ，得 (b1d )222d )联立消去2b1d(b12d )23b123d 3得： b122b1 dd 20 ，则 b1 d ，将代入解出d 1（ d =0 舍去），2分2从而解得 a13 ，所以 an1 n5 .4分424此

8、时， bnSnn1 n 对于任意正整数n 满足题意 .6分2（ 2）因为对任意m,n*mn2Smnmnaman ， N ，都有m naamn在中取 mn1 ， 2S2n 1an1anan1an2an 1 ， 8 分2n11同理 2S2n1an2an 1an 2an14an 22an1 ，10 分2n133由知， 2an14an232an 1, 即 2an23an 1an10 ，即 an 2 an2an 11an2an ) ，12 分(an 112中令 n1 ， a3a12a20，从而 an 2an2an 10，即 an2an 1an 1an ，14分所以，数列an成等差数列 .16分例题 3

9、已知数列 an 满足 a1 a( a 0， a N* ) ， a1 a2 an pan 1 0( p 0， p 1，n N* ) (1) 求数列 an 的通项公式 an；(2) 若对每一个正整数 k，若将 ak 1，ak 2 ，ak 3 按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为dk. 求p的值及对应的数列 k d记 S 为数列 d 的前 k 项和，问是否存在a，使得 S 30 对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最kkk大值；若不存在，请说明理由。3 欢迎下载精品文档an 1【解析】 (1)因为 a1 a2 an pan1 0，所以 n 2 时， a1 a2 an 1 p

10、an 0，两式相减，得an 1p1app( n2) ，故数列 an 从第二项起是公比为p的等比数列，又当n 1 时， a1 pa2 0，解得 a2p，an 1 ，从而 an a p 1 n 2n 2 .pp(2) 由 (1) 得 ak 1a p 1 k 1pp， 1ka p 1k 1aa p p p， a p p，k 2k 3若 ak 1为等差中项，则2ak1 a a，k 2k3p 1p 11即 p 1 或 p 2，解得 p 3；此时 ak 1 3a( 2) k 1 ，ak 2 3a( 2) k，所以 dk | ak 1 ak 2| 9a·2k 1，若 ak 2 为等差中项，则 2a

11、k2 ak 1 ak 3，p 1即p 1，此时无解；若 ak 3 为等差中项，则2ak3 ak 1 ak 2， 1 112即 pp 1 或 pp ，解得 p ，23此时 ak 13a 1 k 1k 33a 1 k1，22， a 229a1 k 1所以 dk | ak 1 ak 3| 8 ·2，1k 12综上所述， p 3， dk 9a·2或 p 3，k9a1 k 1.d 8 ·21k当 p 3时， Sk 9a(21) 10则由 Sk 30，得 ak，32110当 k 3 时， 3 2k 1 1，所以必定有 a 1，所以不存在这样的最大正整数29a1 k当 p 3时

12、， Sk 41 2，。4 欢迎下载精品文档k404040k则由 S 30，得 a1k，因为1 k 3 ，所以 a 13满足 S30恒成立； 但当 a 14 时，31 2312存在k 5，使得a40即k 30，1kS312所以此时满足题意的最大正整数a 13.例题 4已知数列an 为等差数列，a12， an的前 n 和为 Sn ，数列 bn为等比数列，且a1b1a2b2a3b3anbn (n1) 2n24 对任意的 n N 恒成立（ 1）求数列an、 bn的通项公式；（ 2）是否存在非零整数，使不等式(11 )(11 )(11 )cos an 11对一切 nN 都成a1a2an2an1立？若存在

13、，求出的值；若不存在，说明理由（ 3）各项均为正整数的无穷等差数列cn，满足 c39a1007 ，且存在正整数k，使 c1, c39 , ck 成等比数列，若数列 cn的公差为 d，求 d 的所有可能取值之和法 2：因为 a1b1a2 b2a3b3anbn(n1) 2n 24对任意的nN 恒成立则 a1b1a2b2a3b3an-1bn -1(n2) 2n 14 （ n2 ） 。5 欢迎下载精品文档得 an bnn2n 1 (n 2) ，又 a1b14 ，也符合上式，所以an bnn 2n 1 (n N )由于 an为等差数列，令anknb ，则 bnn 2n 1，knb因为 bn为等比数列，则

14、bn2n k (n1)bq （为常数），bn 1(n1)(knb)即 (qk 2k) n2(bqkq2b2k) n qb0 对于nN * 恒成立，qk2k0bqkq2b2k0 ，所以 q2, b0qb0又 a12，所以 k2 ，故 an2n, bn 2n （）由annan 1n1，得coscos(n1)(1)，22设bn1，则不等式等价于(1)n 1b1 )(11 )1 )n(1(1an1a1a2an bn0，且bn12 n11 ， bn 1bn ，数列 bn 单调递增bn2n12n3假设存在这样的实数，使得不等式 ( 1)n 1bn 对一切 nN 都成立，则当 n 为奇数时，得(bn )minb123；3 当 n