高考数学导数的综合应用课件

1、第四节导数的综合应用(全国卷5年12考)获取更多免费资料以及获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号真题演练请关注公众号：安博志愿规划：安博志愿规划考点一利用导数求函数的零点或方程根的问题考点一利用导数求函数的零点或方程根的问题【典例典例】(2019(2019濮阳模拟濮阳模拟) )已知函数已知函数f(x)=ef(x)=e2x2x+ae+aex x- -(a+2)x.(a+2)x.(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性. .(2)(2)是否存在实数是否存在实数a,a,使得使得f(x)f(x)有三个相异零点有三个相异零点? ?若存在若存在, ,求出求出a a的值的值; ;若不存在若不

2、存在, ,说明理由说明理由. .【解析解析】(1)(1)由题可知由题可知f(x)=2ef(x)=2e2x2x+ae+aex x-(a+2)=(e-(a+2)=(ex x-1)(2e-1)(2ex x+a+2).+a+2).当当a+20,a+20,即即a-2a-2时时, ,令令f(x)=0f(x)=0得得x=0,x=0,易知易知f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上单调递减上单调递减, ,在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增. .当当a-2a0,0,即即a-4a-4时时,f(x),f(x)在在(-,0), (-,0), 上单调递增上单调递增, ,在在 上单调递减上单调递减; ;当当a

3、=-4a=-4时时,f(x)=2(e,f(x)=2(ex x-1)-1)2 20,f(x)0,f(x)在在r r上单调递增上单调递增; ;当当a(-4,-2)a(-4,-2)时时,f(x),f(x)在在 (0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,在在 上单调递减上单调递减. .2aln()22aln()2（,）2a0,ln()2（）2a,ln() ,2（）2aln(),02（）(2)(2)不存在不存在. .理由如下理由如下: :假设假设f(x)f(x)有三个相异零点有三个相异零点. .由由(1)(1)的讨论的讨论, ,一定有一定有a(-,-4)(-4,-2)a(-,-4)(-4,-2)且且

4、f(x)f(x)的极大值的极大值大于大于0,0,极小值小于极小值小于0.0.已知取得极大值和极小值时已知取得极大值和极小值时x=0 x=0或或x= ,x= ,注意到注意到此时恒有此时恒有2aln()2f(0)=a+1-2+1=-10,f(0)=a+1-2+1=-10f 0，又又f =f = a(-4,-2),a(-4,-2),故存在故存在a a使得使得2-a-4 0,2-a-4 . .2aln()2（）2aln()2（）a22a2a4ln42（） ，2aln2（）2aln2（）2a4令令t= (0,1),t= (0,1),即存在即存在t(0,1)t(0,1)满足满足ln t1+ .ln t1+

5、 .令令g(t)=ln t-1- ,g(t)= g(t)=ln t-1- ,g(t)= 从而从而g(t)g(t)在在(0,1)(0,1)上单调递增上单调递增, ,所以所以g(t)g(1)= ,g(t)1+ ,ln t1+ ,与假设矛盾与假设矛盾, ,从而不存在从而不存在a a使得使得f(x)f(x)有三个相异零点有三个相异零点. .2a2t2t2112t0t22t ，32t2【规律方法规律方法】利用导数研究函数零点或方程根的方法利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)(1)通过最值通过最值( (极值极值) )判断零点个数的方法判断零点个数的方法. .借助导数研究函数的单调性、极值后借助导数研究

6、函数的单调性、极值后, ,通过极值的正负通过极值的正负, ,函数单调性判断函数图象走势函数单调性判断函数图象走势, ,从而判断零点个数或者从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围通过零点个数求参数范围. .(2)(2)数形结合法求解零点数形结合法求解零点. .对于方程解的个数对于方程解的个数( (或函数零点个数或函数零点个数) )问题问题, ,可利用函数可利用函数的值域或最值的值域或最值, ,结合函数的单调性结合函数的单调性, ,画出草图数形结合画出草图数形结合确定其中参数的范围确定其中参数的范围. .(3)(3)构造函数法研究函数零点构造函数法研究函数零点. .根据条件构造某个函数根据条件

7、构造某个函数, ,利用导数确定函数的单调区利用导数确定函数的单调区间及极值点间及极值点, ,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与的极值以及区间端点的函数值与0 0的关系的关系, ,从而求解从而求解. .解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化线交点相互转化, ,突出导数的工具作用突出导数的工具作用, ,体现转化与化体现转化与化归的思想方法归的思想方法. .【对点训练对点训练】(2018(2018信阳模拟信阳模拟) )已知函数已知函数f(x)=4xf(x)=4x2 2+

8、+ -a, g(x)=f(x)+b,-a, g(x)=f(x)+b,其中其中a,ba,b为常数为常数. .(1)(1)若若x=1x=1是函数是函数y=xf(x)y=xf(x)的一个极值点的一个极值点, ,求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程处的切线方程. .(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)有有2 2个零点个零点,f(g(x),f(g(x)有有6 6个零点个零点, ,求求a+ba+b的的取值范围取值范围. .1x【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)=4xf(x)=4x2 2+ -a,+ -a,则则y=xf(x)=4xy=xf(x)=4x

9、3 3+1-ax+1-ax的导数为的导数为y=12xy=12x2 2-a,-a,由题意可得由题意可得12-a=0,12-a=0,解得解得a=12,a=12,即有即有f(x)=4xf(x)=4x2 2+ -12,+ -12,f(x)=8x- ,f(x)=8x- ,可得曲线在点可得曲线在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线斜率为处的切线斜率为7,7,切点为切点为(1,-7),(1,-7),1x1x21x即有曲线即有曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为y+7=7(x-1),y+7=7(x-1),即为即为y=7x-14.y=7x-14.(2)(

10、2)由由f(x)=4xf(x)=4x2 2+ -a,+ -a,导数导数f(x)=8x- ,f(x)=8x- ,当当x x 时时, , f(x)0,f(x)f(x)0,f(x)在在 上单调递增上单调递增; ;当当x0 x0或或0 x 0 x 时时, ,f(x)0,f(x)f(x)0,-1-b0,且且 -b0,-b0,即即b-1b-1且且b ,b ,可得可得b-1,b-1,即有即有a+b2.a+b2.则则a+ba+b的取值范围是的取值范围是(-,2).(-,2).121212考点二利用导数求解生活中的优化问题考点二利用导数求解生活中的优化问题【典例典例】(2018(2018盐城模拟盐城模拟) )有

11、一矩形硬纸板材料有一矩形硬纸板材料( (厚度厚度忽略不计忽略不计),),一边一边abab长为长为6 6分米分米, ,另一边足够长另一边足够长. .现从中截现从中截取矩形取矩形abcd(abcd(如图甲所示如图甲所示),),再剪去图中阴影部分再剪去图中阴影部分, ,用剩用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒( (如图乙所示如图乙所示, ,重叠部分忽略不计重叠部分忽略不计),),其中其中oemfoemf是以是以o o为圆为圆心、心、eof=120eof=120的扇形的扇形, ,且弧且弧 分别与边分别与边bc,adbc,ad相切于点相切于点m

12、,n.m,n.(1)(1)当当bebe长为长为1 1分米时分米时, ,求折卷成的包装盒的容积求折卷成的包装盒的容积. .(2)(2)当当bebe的长是多少分米时的长是多少分米时, ,折卷成的包装盒的容积最折卷成的包装盒的容积最大大? ?efgh，【解析解析】(1)(1)在题图甲中在题图甲中, ,连接连接momo交交efef于点于点t t设设oe=of=om=r,oe=of=om=r,在在rtrtoetoet中中, ,因为因为eot= eof=60eot= eof=60, ,所以所以ot= ,ot= ,则则mt=om-ot= .mt=om-ot= .从而从而be=mt= ,be=mt= ,即即r

13、=2be=2.r=2be=2.12r2r2r2故所得柱体的底面积故所得柱体的底面积s=ss=s扇形扇形oefoef-s-soefoef= r= r2 2- r- r2 2sin 120sin 120= = 又所得柱体的高又所得柱体的高eg=4,eg=4,所以所以v=sv=seg= -4 .eg= -4 .答答: :当当bebe长为长为1 1分米时分米时, ,折卷成的包装盒的容积为折卷成的包装盒的容积为 立方分米立方分米. .131243.31633164 33(2)(2)设设be=x,be=x,则则r=2x,r=2x,所以所得柱体的底面积所以所得柱体的底面积s=ss=s扇形扇形oefoef-s

14、-soefoef= = r r2 2- r- r2 2sin 120sin 120= x= x2 2, ,又所得柱体的高又所得柱体的高eg=6-2x,eg=6-2x,所以所以v=sv=seg= (-xeg= (-x3 3+3x+3x2 2),),其中其中0 x3.0 x3.令令f(x)=-xf(x)=-x3 3+3x+3x2 2,0 x3,0 x0,h0,且且r0r0可得可得0r5 ,0r0,v(r)0,故故v(r)v(r)在在(0,5)(0,5)上为增函数上为增函数; ;55当当r(5,5 )r(5,5 )时时,v(r)0,v(r)0,故故v(r)v(r)在在(5,5 )(5,5 )上为减上

15、为减函数函数. .由此可知由此可知,v(r),v(r)在在r=5r=5处取得最大值处取得最大值, ,此时此时h=8,h=8,即当即当r=5,h=8r=5,h=8时时, ,该蓄水池的体积最大该蓄水池的体积最大. .33考点三利用导数求解不等式的有关问题考点三利用导数求解不等式的有关问题【明考点明考点知考法知考法】利用导数研究不等式是高考常考内容利用导数研究不等式是高考常考内容, ,主要考查利主要考查利用导数证明不等式问题及函数在某个区间恒成立问题用导数证明不等式问题及函数在某个区间恒成立问题, ,题目以解答题形式呈现题目以解答题形式呈现, ,属难题属难题. .命题角度命题角度1 1证明不等式证明

16、不等式【典例典例】已知函数已知函数f(x)=(x+1)ef(x)=(x+1)eaxax(a0),(a0),且且x= x= 是它是它的极值点的极值点. .(1)(1)求求a a的值的值. .(2)(2)求求f(x)f(x)在在t-1,t+1t-1,t+1上的最大值上的最大值. .(3)(3)设设g(x)=f(x)+2x+3xln x,g(x)=f(x)+2x+3xln x,证明证明: :对任意对任意x x1 1,x,x2 2(0,1),(0,1),都有都有|g(x|g(x1 1)-g(x)-g(x2 2)| +1.)| +1.2a323ee【解析解析】(1)f(x)=(x+1)e(1)f(x)=

17、(x+1)eaxax(a0)(a0)的导数的导数f(x)=ef(x)=eaxax+a(x+1)e+a(x+1)eaxax=(ax+a+1)e=(ax+a+1)eaxax, ,因为因为x= x= 是是f(x)f(x)的一个极值点的一个极值点, ,所以所以f =(a+3)ef =(a+3)e2 2=0,=0,所以所以a=-3.a=-3.2a2( )a(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)=(x+1)ef(x)=(x+1)e-3x-3x,f(x)=(-3x-2)e,f(x)=(-3x-2)e-3x-3x, ,易知易知f(x)f(x)在在 上递增上递增, ,在在 上递减上递减, ,当当t+1- ,t

18、+1- ,即即t- t- 时时,f(x),f(x)在在t-1,t+1t-1,t+1上递增上递增, , f(x) f(x)maxmax=f(t+1)=(t+2)e=f(t+1)=(t+2)e-3(t+1)-3(t+1); ;2(,)3 2(,)32353当当t-1- ,t-1- ,即即t t 时时,f(x),f(x)在在t-1,t+1t-1,t+1上递减上递减, , f(x)f(x)maxmax=f(t-1)=te=f(t-1)=te-3(t-1)-3(t-1); ;当当t-1- t+1,t-1- t+1,即即- t - t0,0,可知可知m m1 1(x)(x)在在(0,1)(0,1)上是增函

19、数上是增函数, ,所以所以m m1 1(x)m(x)m1 1(0)=0,(0)=0,即即m m1 1(x)(x)在在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数, ,所以所以1m1m1 1(x)2+ .(x)0,(x)0,得得x ;x ;由由m m2 2(x)0,(x)0,得得0 x ,0 x ,32e1e1e所以所以m m2 2(x)(x)在在 上单调递减上单调递减, ,在在 上单调递增上单调递增, ,所以所以- m- m2 2(x)0,(x)0,从而从而1- m1- m1 1(x)+m(x)+m2 2(x)2+ .(x)2+ .所以所以, ,对任意对任意x x1 1,x,x2 2(0,1),(

20、0,1),|g(x|g(x1 1)-g(x)-g(x2 2)| )|1,t1,则则x-1x-1时时,f(x)0,f(x),f(x)-1,x-1时时, ,f(x)0,f(x)f(x)0,f(x)递增递增, ,若若t1,t1,则则x-1x0,f(x),f(x)0,f(x)递增递增,x-1,x-1时时, ,f(x)0,f(x)f(x)1t1时时,f(x),f(x)在在(-,-1)(-,-1)上递减上递减, ,在在(-1,+)(-1,+)上递增上递增, ,t1t0,h(x)0,h(x)在在0,+)0,+)上递增上递增, ,所以所以h(x)h(0)=0,h(x)h(0)=0,故故h(x)h(x)在在0,

21、+)0,+)上递增上递增, ,故故h(x)h(0)=0,h(x)h(0)=0,显然不成立显然不成立, ,所以所以t1,t1,则则h(x)=eh(x)=ex x (t-1), (t-1),令令h(x)=0,h(x)=0,则则x=- ,x=- ,2t1(x)t12t1t1当当- 0- 0即即t t 或或t1t1时时, ,若若t ,t ,则则h(x)h(x)在在0,+)0,+)上为非正数上为非正数,h(x),h(x)递减递减, ,故有故有h(x)h(0)=0,h(x)h(x)h(0)=0,h(x)在在0,+)0,+)上递减上递减, ,所以所以h(x)h(0)=0h(x)h(0)=0成立成立, ,若若

22、t1,t1,则则h(x)h(x)在在0,+)0,+)上为正上为正,h(x),h(x)递增递增, ,2t1t11212故有故有h(x)h(0)=0,h(x)h(0)=0,故故h(x)h(x)在在0,+)0,+)上递增上递增, ,故故h(x)h(0)=0,h(x)h(0)=0,不成立不成立, ,- 0- 0即即 t1t0).-x(a0).(1)(1)如图如图, ,设直线设直线x=- ,y=-xx=- ,y=-x将坐标平面分成将坐标平面分成,四个区域四个区域( (不含边界不含边界),),若函数若函数y=f(x)y=f(x)的图象恰好位于的图象恰好位于其中一个区域内其中一个区域内, ,判断其所在的区域

23、并求对应的判断其所在的区域并求对应的a a的取的取值范围值范围. .12(2)(2)当当a a 时时, ,求证求证: :x x1 1,x,x2 2(0,+)(0,+)且且x x1 1xx2 2, ,有有f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2) .) .1212xx2f()2【解析解析】(1)(1)因为函数的定义域为因为函数的定义域为 , ,且当且当x=0 x=0时时,f(0)=-a0,f(0)=-a0,又直线又直线y=-xy=-x恰好过原点恰好过原点, ,所以函数所以函数y=f(x)y=f(x)的图象应位于区域的图象应位于区域内内, ,于是于是f(x)-x,f(x)-x,即即(2x+1)

24、ln(2x+1)-a(2x+1)(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2 2-x-x,-x0,2x+10,所以所以a a 令令h(x)= h(x)= 所以所以h(x)= h(x)= 令令h(x)=0,h(x)=0,得得x= ,x= ,因为因为x- ,x- ,所以所以x x 时时,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)单调单调递增递增, ,ln 2x12x1，ln 2x12x1，222ln 2x12x1，e 12121 e 1(,)22x x 时时,h(x)0,h(x),h(x) .a .e 1(,)2e 11()2e，1e(2)(2)因为因为f(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+

25、1)+1,f(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1,设设u(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1,u(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1,则则u(x)= -8a,u(x)= -8a,因为因为x0 x0时时, , 时时,8a4,8a4,所以所以u(x)= -8a0,u(x)= -8a0 x0时时f(x)f(x)为单调递减函数为单调递减函数, ,不妨设不妨设x x2 2xx1 10,0,令令g(x)=f(x)+f(xg(x)=f(x)+f(x1 1)-2f (xx)-2f (xx1 1),),可得可得g(xg(x1 1)=0,)=0,g(x)=f(x)-f , g(

26、x)=f(x)-f , 因为因为x x 且且f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是单调递减函数上是单调递减函数, ,12xx()212xx()212xx2所以所以g(x)0,g(x)xxx1 1,g(x),g(x)为单调递减函数为单调递减函数, ,所以所以g(xg(x2 2)g(x)g(x1 1)=0,)=0,即即f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2)2f .)2f .12xx()2【状元笔记状元笔记】存在存在xa,b,f(x)axa,b,f(x)a成立成立f(x)f(x)maxmaxa.a.存在存在xa,b,f(x)axa,b,f(x)a成立成立f(x)f(x)minmina.

27、a.存在存在x x1 1a,b. a,b. 对任意对任意x x2 2a,bf(xa,bf(x1 1)g(x)g(x2 2) )成立成立f(x)f(x)minming(x)g(x)minmin. .【对点练对点练找规律找规律】1.(20181.(2018郑州模拟郑州模拟) )设函数设函数f(x)=axf(x)=ax2 2-(x+1)ln x,-(x+1)ln x,曲线曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的斜率为处的斜率为0.0.(1)(1)求求a a的值的值. .(2)(2)求证求证: :当当0 x20 x.,f(x) x.12【解析解析】(1)f(x)=2ax-l

28、n x-1- ,(1)f(x)=2ax-ln x-1- ,由题意可得由题意可得:f(1)=2a-2=0,:f(1)=2a-2=0,所以所以a=1.a=1. 1x(2)(2)只需证只需证:x- -ln x ,:x- -ln x ,令令g(x)=x-ln x,g(x)=x-ln x,h(x)= + ,h(x)= + ,由由g(x)=1- =0g(x)=1- =0解得解得:x=1,:x=1,所以所以g(x)g(x)在在(0,1)(0,1)上递减上递减, ,在在(1,2(1,2上递增上递增, ,故故g(x)g(x)minmin=g(1)=1,=g(1)=1,ln xx12ln xx121x由由h(x)

29、= h(x)= 可知可知:h(x):h(x)在在(0,2(0,2上递增上递增, ,故故h(x)h(x)maxmax=h(2)= 1=g(x)=h(2)= 1=g(x)minmin, ,故故h(x)g(x),h(x) x.f(x) x.21 ln xx1 ln 22122.(20182.(2018洛阳模拟洛阳模拟) )已知函数已知函数f(x)=ln x-ax(ar).f(x)=ln x-ax(ar).(1)(1)若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)与直线与直线x-y-1-ln 2=0 x-y-1-ln 2=0相切相切, ,求实数求实数a a的的值值. .(2)(2)若不等式若不等式(x+1)f(

30、x)ln x- (x+1)f(x)ln x- 在定义域内恒成立在定义域内恒成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .xe【解析解析】(1)(1)根据题意根据题意, ,由由f(x)=ln x-ax,f(x)=ln x-ax,得得f(x)= -a,f(x)= -a,设切点横坐标为设切点横坐标为x x0 0, ,依题意得依题意得 解得解得 , ,即实数即实数a a的值为的值为1.1.1x00001a1,xx1 ln 2ln xax , 01x2a1，(2)(2)由在由在(x+1)f(x)=(x+1)(ln x-ax)ln x- (x+1)f(x)=(x+1)(ln x-ax)ln x-

31、定义域定义域内恒成立内恒成立, ,得得a a 在定义域内恒成立在定义域内恒成立, ,令令g(x)= (x0),g(x)= (x0),则则g(x)= g(x)= xeln x1x1e x1ln x1x1e x12111ln xexx1，再令再令h(x)=1- -ln x,h(x)=1- -ln x,则则h(x)=- 0,h(x)=- 0,h(x)0,从而从而g(x)0,g(x)g(x)0,g(x)在在x(0,e)x(0,e)上递增上递增; ;11ex211()xx当当x(e,+)x(e,+)时时,h(x)0,h(x)0,从而从而g(x)0,g(x)g(x)0,g(x)在在x(e,+)x(e,+)

32、递减递减, ,所以所以g(x)g(x)在在x=ex=e处取得最大值处取得最大值g(e)= g(e)= 所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是 ln e11e 1e e 1e，1 ,).e数学能力系列数学能力系列77数形结合在零点问题中的应用数形结合在零点问题中的应用【能力诠释能力诠释】在运用数形结合思想分析和解决问题时在运用数形结合思想分析和解决问题时, ,要注意三点要注意三点: :第一要彻底明白一些概念和运算的几何意第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征义以及曲线的代数特征, , 对数学题目中的条件和结论对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义既分析

33、其几何意义又分析其代数意义; ;第二是恰当设参、第二是恰当设参、合理用参合理用参, ,建立关系建立关系, ,由数思形由数思形, ,以形想数以形想数, ,做好数形转做好数形转化化; ;第三是正确确定参数的取值范围第三是正确确定参数的取值范围. .在解答导数问题在解答导数问题中中, ,主要存在两类问题主要存在两类问题, ,一是一是“有图考图有图考图”, ,二是二是 “ “无无图考图图考图”. .【典例典例】已知已知f(x)= (xr),f(x)= (xr),若关于若关于x x的方程的方程f f2 2(x)-mf(x)+m-1=0(x)-mf(x)+m-1=0恰好有恰好有4 4个不相等的实数根个不相

34、等的实数根, ,则实则实数数m m的取值范围为的取值范围为( () )a. (2,e)a. (2,e) b. b. c. c. d.d. xxe1(2)e，1(1)e，1(1,1)e1(e)e，【解析解析】选选c.c.依题意依题意, ,由由f f2 2(x)-mf(x)(x)-mf(x)+m-1=0,+m-1=0,得得f(x)=1f(x)=1或或f(x)=m-1.f(x)=m-1.当当x0 x0时时, ,f(x)=-xef(x)=-xe-x-x,f(x)=(x-1)e,f(x)=(x-1)e-x-x0,0 x0时时,f(x)=xe,f(x)=xe-x-x,f(x)=-(x-1)e,f(x)=-(x-1)e-x-x, ,若若0 x1,0 x0,f(x)f(x)0,f(x)是增函数是增函数; ;若若x1,