求值域的10种方法(共12页)

1、求函数值域的十 种方法一一直直接接法法 （观观察察法法） ：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1求函数的值域。1yx【解析】，函数的值域为。0 x 11x 1yx1,)【练习】1求下列函数的值域：；32( 11)yxx xxf42)(；，。1xxy4112 xy2 , 1 , 0 , 1x【参考答案】；。 1,52,)(,1)(1,)4 1,0,3二二配配方方法法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。2( )( )( )F xafxbf xc例 2求函数（）的值域。242yxx 1,1x 【解析】。2242(2)6yxxx

2、，。11x 321x 21(2)9x23(2)65x 35y 函数（）的值域为。242yxx 1,1x 3,5例 3求函数的值域。)4, 0(422xxxy【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得)0)(4)(2xfxxxf)4, 0(4)2()(2xxxf，从而得出：。4, 0)(xf0,2y说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。0)(xf例 4若，试求的最大值。, 42yx0, 0yxyxlglg【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最( , )P x y42y

3、xxyyxlglglg大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得：(4,0)(0,2)，y=1 时，取最2(0,4),(0,2),lglglglg (42 )lg 2(1)2xyxyxyyyy而yxlglg大值。2lg【练习】2求下列函数的最大值、最小值与值域：；142xxy4 , 3, 142xxxy 1 , 0, 142xxxy；，；。5 , 0, 142xxxy5xxxy4224 ,41x6223yxx【参考答案】； 3,) 2,1 2,1 3,65736,460,2三三反反函函数数法法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有

4、一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5求函数的值域。12xxy分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。x反解得，故函数的值域为。12xxyyyx2(,2)(2,)【练习】1求函数的值域。2332xyx2求函数，的值域。axbycxd0,dcxc 【参考答案】1；。22(, )( ,)33(,)(,)aacc四四分分离离 变变量量法法：适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例 6：求函数的值域。125xyx解：，177(25)112222525225xxyx

5、xx ，函数的值域为。72025x12y 125xyx1 |2y y 适用类型 2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常)(xfky为k数)的形式。例 7：求函数的值域。122xxxxy分析与解分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有xx 2 。22221 111xxxxyxxxx 21113()24x 不妨令：从而。)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf,43)(xf注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母.所以故。0)(xf)(xf4( )0,3g x1 ,31y另解另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出 的值域，进而可得

6、到222111xxtxxxx t的值域。y【练习】1求函数的值域。132222xxxxy【参考答案】110(2,3五五、换换元元法法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元三角换元。例 8：求函数的值域。212yxx解：令（），则，。12tx0t 212tx22151()24yttt 当，即时，无最小值。函数的值域为。12t 38x max54y212yxx5(, 4例 9：求函数的值域。221 (1

7、)yxx解：因，即。21 (1)0 x2(1)1x故可令，。1cos,0, x 1cossincos11cosy21)4sin(2，4544,02sin()12402sin() 1 124 故所求函数的值域为。21 , 0例 10.求函数的值域。34221xxyxx解：原函数可变形为：222121211xxyxx 可令 X=，则有tan222221sin2 ,cos11xxxx11sin2cos2sin424y 当时，28kmax14y当时，28kmin14y 而此时有意义。tan故所求函数的值域为41,41 例 11. 求函数，的值域。(sin1)(cos1)yxx,12 2x 解：(sin

8、1)(cos1)yxxsincossincos1xxxx令，则sincosxxt21sin cos(1)2xxt2211(1)1(1)22yttt 由sincos2sin()4txxx且,12 2x 可得：222t 当时，当时，2t max322y22t 3242y 故所求函数的值域为。32 3,2422 例 12. 求函数的值域。245yxx解：由，可得250 x|5x 故可令5cos,0, x 5cos45sin10sin()44y05444当时，4max410y当时，min45y故所求函数的值域为：45,410六六、判判别别式式法法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式x

9、( , )0F x y ，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此0 21112222a xb xcya xb xc1a2a方法求解。例 13：求函数的值域。2231xxyxx解：由变形得，2231xxyxx2(1)(1)30yxyxy当时，此方程无解；1y 当时，1y xR2(1)4(1)(3)0yyy 解得，又，1113y1y 1113y函数的值域为2231xxyxx11 |13yy七七、函函数数的的单单调调性性法法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 14：求函数的值域。12yxx解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，x12

10、xx1 2xx函数在定义域上是增函数。12yxx1(, 2，1111 2222y 函数的值域为。12yxx1(, 2例 15. 求函数的值域。11yxx 解：原函数可化为：1x1x2y令，显然在上为无上界的增函数1, 121xyxy21y,y, 1 所以在上也为无上界的增函数21yyy, 1 所以当 x=1 时，有最小值，原函数有最大值21yyy2222显然，故原函数的值域为0y 2, 0(适用类型 2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减原理：同增异减）例 16：求函数的值域。)4(log221xxy分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故

11、可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）2( )4 ( ( )0)t xxx t x 2( )(2)4( )0,4)t xxt x 所以（知：。), 2y八八、利利用用有有界界性性：一般用于三角函数型，即利用等。 1 , 1cos,1 , 1sinxx例 17：求函数的值域。cossin3xyx解：由原函数式可得：，可化为：sincos3yxxy21sin ()3yx xy即23sin ()1yx xyxRsin () 1,1x x 即23111yy 解得：2244y故函数的值域为22,44注：该题还可以使用数形结合法。，利用直线的斜率解题。coscos0sin3sin3xxyxx例 18

12、：求函数的值域。1 212xxy解：由解得，1 212xxy121xyy，20 x101yy11y 函数的值域为。1 212xxy( 1,1)y 九、图像法（数形 结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 19：求函数的值域。|3|5|yxx解： ，22|3|5|822xyxxx(3)( 35)(5)xxx 的图像如图所示，|3|5|yxx由图像知：函数的值域为|3|5|yxx8,) 例 20. 求函数的值域。22(2)(8)yxx解：原函数可化简得：|2|8|yxx上式可以看成数轴上点

13、P（x）到定点 A（2），间的距离之和。( 8)B 由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，|2|8| | 10yxxAB当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，|2|8| | 10yxxAB85-3oyx故所求函数的值域为：10, 例 21. 求函数的值域。2261345yxxxx解：原函数可变形为：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx上式可看成 x 轴上的点到两定点的距离之和，( ,0)P x(3,2),( 2, 1)AB 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，22min|(32)(2 1)43yAB故所求函数的值域为 43,例 22. 求函数的值域。226134

14、5yxxxx解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。) 1 , 2(B )0 , x(P即：|yAPBP由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点，则构成，根据三 PABP角形两边之差小于第三边，有22| |(32)(2 1)26APBPAB即：2626y（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有| |26APBPAB综上所述，可知函数的值域为：(26,26例 23、：求函数的值域.xxycos2sin3分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线

15、中已知两点求直线的斜率的公式，将1212xxyyk原函数视为定点(2，3)到动点的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题)sin,(cosxx)sin,(cosxx就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：3326,3326y点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例 24求函数的值域。xxy11分析与解答：令，则，xu1xv10, 0vu222 vuyvu原问题转化为 ：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线yvu222 vuuov的截距的取值范围。由图 1 知：当经过

16、点时，；yvu)2, 0(2miny当直线与圆相切时，。 2222maxOCODy所以：值域为22 y 2 2OVUABCDE十十：不不等等式式法法：利用基本不等式，求函数的32,3abab abcabc( , ,)a b cR最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 25. 求函数的值域。2211(sin)(cos)4sincosyxxxx解：原函数变形为：222222222211(sincos)sincos1sec3tancot32 tancot5yxxxxces xxxxxx 当且仅当tancotxx即当时，等

17、号成立4xk()kz故原函数的值域为：5,) 例 26. 求函数的值域。2sin sin2yxx解：4sin sincosyxxx24sincosxx42222222316sincos8sinsin(22sin)8(sinsin22sin)/36427yxxxxxxxx当且仅当，即当时，等号成立。22sin22sinxx22sin3x 由可得：26427y 8 38 399y故原函数的值域为：8 3 8 3,99十十一一、 多多种种方方法法综综合合运运用用： 例 27. 求函数的值域。23xyx解：令，则2(0)txt231xt（1）当时，当且仅当 t=1，即时取等号，所以0t 211112tyttt1x 102y（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：10,2注：先换元，后用不等式法 例 28. 求函数的值域。234241212xxxxyxx解：24324241 21212xxxxyxxxx2222111xxxx令，则tan2x22221cos1xx21sin12xx22