2016年1月西城区高三期末理科数学试题及答案..

1、 北京市西城区 2015 2016 学年度上学期期末试卷 高三数学（理科） 2016.1 本试卷分第I卷和第n卷两部分， 第I卷 I至 2 页，第n卷 3 至 5 页，共 150 分.考试时间 120 分钟.考 生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交. 第I卷（选择题共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项. 1. 设集合 A 二 x|x 1 ，集合 B a 2，若AB二.一，则实数a的取值范围是（ ） （A） （:, -1 （ B） （_：:,1 （C） -1,

2、：） （ D） 1,：） 2. 下列函数中，值域为 R的偶函数是（ ） （A） y=x2 1 （ B） y=exd （C） y=lg|x| （ D） y =；汉 1 11 3. 设命题 p：“若sin ，则 ”，命题 q：“若a . b，则 ，则（ ） 2 6 a b （A ） p q ”为真命题 （B） p q ”为假命题 （C） q ”为假命题 （D）以上都不对 4. 在数列an中，“对任意的n E N*, a =anan七”是“数列a.为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示

3、，那么这个几何体的表面积是（ (C) 20 2 3 (D) 20 2 5 y -xW1, 6. 设x , y满足约束条件 x y0. 品在4C的保鲜时间是 16 小时.已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室 外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论: D 该食品在C 的保鲜时间是 8 小时; 15. (本小题满分 13 分)已知函数 f(x) =cosx(sinx 亠，3cosx) , x ：= R . 2 (I)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (n)设.0,若函数g(x)=f(x*)为奇函数，求：的最小值. 16. (本小题满分 13 分)甲、 乙两人

4、进行射击比赛， 各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分, 未命中目标得 0 分两人 4 局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙 7 9 x y (I)若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率； (n)如果 x = y =7，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为X，求X的 分布列和数学期望； (川)在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同， 且乙的发挥更稳定， 写出x的所有可能取值(结 论不要求证明)17. (本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 P _ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，.B

5、CD =135 ,侧面PAB _ 底面 ABCD， . BAP=90j AB = AC = PA = 2 , E, F 分别为 BC,AD 的中点，点 M 在线段PD上. (I)求证： EF 平面 PAC ; (n)若M为PD的中点，求证：ME /平面PAB ; (川)如果直线 ME与平面 PBC 所成的角和直线 ME与平面 ABCD 所成的角相等，求 PM的值. PD 2 18.(本小题满分 13 分)已知函数 f (x)二X -1，函数g(x) = 2t In x，其中t 1 . (I)如果函数f (x)与g(x)在x 处的切线均为l，求切线l的方程及t的值; (n)如果曲线 y = f

6、(x)与y = g (x)有且仅有一个公共点，求 t的取值范围. D 2 2 19.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C二 笃 =A(a b 0)的离心率为-2，点 A(1 a b 2 (I)求椭圆 C 的方程； (n)设动直线I与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 o 为圆心的圆，满足此圆与I相 交两点P , P2 (两点均不在坐标轴上)，且使得直线 OP , OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方 程；若不存在，说明理由 20.(本小题满分 13 分)在数字 12 川，n(n2)的任意一个排列 A ：卯a?,川，4中，如果对于i，icj , 有ai aj ,那么就称(a,

7、aj)为一个逆序对记排列 A 中逆序对的个数为 S(A). 如 n=4 时，在排列 B: 3, 2, 4, 1 中，逆序对有(3,2) , (3,1), (2,1) , (4,1)，则 S(B)=4. (I)设排列 C： 3, 5, 6, 4, 1,2，写出 S(C)的值； (n)对于数字 1 , 2,，n的一切排列 A，求所有 S(A)的算术平均值； (川)如果把排列 A：知 a2jll, an中两个数字aaj(i cj)交换位置，而其余数字的位置保持不变， 那么就 得到一个新的排列 A: bn b2,川，bn，求证：S(A) S(A)为奇数.在椭圆 C 上. 北京市西城区 2015 201

8、6 学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2016.12016.1 、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题 1. A 2. C 5. B 6. C 二、填空题：本大题共 6 6 小题， 每小题 9. -1 -3i 1 11. y x 2 12 13. 54 注：第 1111，1212 题第一问 2 2 分，第二问 5 5 分，共 4040 分. . 3 . B 4. B 7. D 8. C 5 5 分 共 3030 分. . 7 10. 9 12. .13-2 9 16 因为函数g（x）为奇函数，且 R ,三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 8080 分.其他正确解答过

9、程，请参照评分标准给分 15.（本小题满分 13 分） J J3 3 (I) 解：f(x) =cosx(si n x .f3 cosx) - 丁 =sin x cosx f (2cos2 x -1) 1 c 3 c sin 2x cos2x 2 2 所以函数f（x）的最小正周期 2n =n. 2 由 2kn w2x W2kn , k Z Z , 2 3 2 5 n n 得 k n w x k T+ , 12 12 所以函数f (x)的单调递增区间为“-石，kn+ , k - Z Z . 5 n n (注：或者写成单调递增区间为 (kn- kn+ ) , k，Z Z .) 12 12 4 分 6

10、 分 7 分 9 分 解：由题意，得 g(x)二 f (x 叱)二 sin(2x 2： 11 分 n 所以 2.二川_ kn, Z Z , 3 解得k Z，验证知其符合题意. 2 6 又因为二：0 , n 所以:-的最小值为. . 13 分 _ 16. (本小题满分 13 分) (I)解：记“从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A , 2 1 由题意，得P(A)二 C7 =_ , 1 所以从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局得分恰好相等的概率为 -.4 分 (H)解：由题意，X的所有可能取值为 13 , 15 , 16 , 18 , .

11、5 分 所以X的分布列为: X 13 15 16 18 P 3 1 3 1 8 8 8 8 3 13 1 所以 E(X) =13 工巴+15 疋丄+16 工 2+18 疋丄=15. 8 8 8 8 (川)解：X的可能取值为6 , 7 , 8. 17. (本小题满分 14 分) (I)证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 AB =AC , BCD =13引, 所以 AB _ AC . 由E,F分别为BC, AD的中点，得 EF/AB , 所以 EF _AC 因为侧面 PAB 底面 ABCD，且 BAP =90 , 所以 PA _底面 ABCD . 又因为EF 底面 ABCD , 又因为 PAf

12、 AAC =A , PA 二平面 PAC , AC 二平面 PAC , 所以EF _平面 PAC . 且 P(X T3) 1 P(X 胡 5)飞， 3 P(X “6)託， 1 P(X =18)飞， 10 分 13 分 所以 g(0) =0，即 sin(2：. (川)解：因为 PA_底面 ABCD , AB _AC，所以AP, AB, AC两两垂直，故以 AB, AC, AP 分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(2,0), E(1,1,0)， T I T 所以 PB =(2,0, -2), P

13、D=(-2,2, 2) , BC =(-2,2,0) , . 10 分 PM 4 设伙=,(,.0,1)，贝 y P(-2 ,2 ,-2 ), PD 所以 M(2,2，,2-2), ME =(1 2，,12, ,2，2), 易得平面 ABCD 的法向量 m m =(0,0,1). . 11 分 设平面 PBC 的法向量为 n n =(x, y, z), 由 n BC=0, n PB=0，得 _2x 2y =0, gx 2z =0, 令 x =1,得 n n =(1,1,1). . 12 分 因为直线ME与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等， 所以 |cos：ME, m

14、 m 冃 cos： ME, n n |，即 型 F m 丨二均 F n 丨, . 13 分 |ME| | m m | |ME| |n n | . 2 九 所以|2 -2 円1， 解得.3，或.3 (舍). . 14 分 2 2 18. (本小题满分 13 分) 2t (H)证明：因为M为 PD 的中点，F 分别为 AD 的中点， 所以 ME/平面 PAB. . 9 分 D (I)解：求导，得 f (x) =2x , g(X)=2t , (x .0) . . 2 分 x 由题意，得切线 I的斜率 k=f(1)=g(1)，即k=2t=2，解得t =1. . 3 分 又切点坐标为(1,0)，所以切线

15、 I的方程为2x y2=0 . . 4 分 (n)解：设函数 h(x) = f (x) -g(x) =x2 一1 -2tln x , x (0, ；). . 5 分 曲线y = f (x)与y =g(x)有且仅有一个公共点”等价于函数 个零点”. 2t 2 x2 _ 2t 求导，得h(x) =2x 一三二 x x 当 t 0 时， 由 x (0,：)，得h (x) 0 ,所以h(x)在(0,；)单调递增. 又因为 h(1)=0，所以y =h(x)有且仅有一个零点 1，符合题意. 当t =1时， 当x变化时，h(x)与h(x)的变化情况如下表所示: x (0,1) 1 (1,畑) f(x) 0

16、+ h(x) / 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,；)上单调递增, 所以当 x =1 时，h(X)min = h(1) = 0 , 故y =h(x)有且仅有一个零点 1，符合题意. . 10 分 当 0 : t ：1 时， 令 h (x) = 0，解得 = . t . 当x变化时，h (x)与 h(x)的变化情况如下表所示： x (0, Jt) h(x) 0 + h(x) / 所以 h(x)在(0, t)上单调递减，在 c.t,；)上单调递增， 所以当 x = .,t 时，h(x)min二h(t) . . 11 分 y = h(x)有且仅有 因为 h=0 , .t ：1，且 h(x

17、)在上单调递增， 所以 h(、f) ：h(1)=0. 1 1 1 1 1 又因为存在 (0,1) ，h(e 枕)=e 耳-1 -2tl ne 页二 0， 所以存在 x (0,1)使得九沧)=0 , 所以函数y =h(x)存在两个零点x0 , 1，与题意不符 综上，曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点时，t的范围是t|t0,或 t =1 . 13 分 19. (本小题满分 14 分) (I)解：由题意，得 =七3 , a2二b2 c2, . 2分 a 2 又因为点“1,二)在椭圆 C 上， 2 所以丄 2 =1 , . 3分 a2 4b2 解得 a =2 , b =1 , c = 3

18、 , 2 所以椭圆 C 的方程为y2 =1. . 5 分 4 (H)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 x2 y2 =5. . 6 分 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 x2 yr2(r 0). 当直线 l 的斜率存在时，设 I的方程为y = kx m . . 7 分 y 二 kx m, 由方程组 x2 2 得(4k2 1)x2 8kmx 4m2 -4 =0, 8 分 u y =1, 因为直线 I与椭圆C有且仅有一个公共点， 所以 1 =(8km)2 _4(4k2 1)(4m2 -4) =0，即 m2 =4k2 1 . . 9 分 y =kx m, 2 2 2 2 由方程

19、组 2 2 2 得(k 1)x 2kmx m -r =0 , . 10 分 x +y =r , 则 2 =(2km)2 _4(k2 1)(m2 _r2) 0. 设直线 OR , OP 的斜率分别为k1 , k2, 2 2 所以当圆的方程为 x y -5 时，圆与 I的交点 13 分 当直线 I的斜率不存在时，由题意知 I的方程为 x = 2， 1 此时，圆 x2+y2=5 与 I的交点 R,P2也满足 k1k2=. 4 1 综上，当圆的方程为 x2 y5 时，圆与 I的交点 R,P2满足斜率之积 k!k2为定值 . 4 . 14 分 20. (本小题满分 13 分) (I)解：S(C) =10

20、 ； (H)解：考察排列 D： a, d2, IH, dn,dn 与排列 D1： dn, 山，d2, a, 因为数对(di,dj)与(dj,di)中必有一个为逆序对(其中 1wi ：j n ), 且排列 D 中数对(di,dj)共有C：二葺卫个， 所以 S(D) S(DJ；T). 所以排列 D 与 D1的逆序对的个数的算术平均值为 n(n T) 4 设 P(Xi,yJ , 卩2(% y)，则 Xi - X2 -2 km k2 1 2 2 m -r x2 2 k 1 11 分 2 2 y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k x1x2 km(x1 x2) m 所以补2 x1x2 x1x2 NX

21、2 2 2 ,2 m -r k 厂 k2 1 2 2 m -r k2 1 km 学 m2 k2 +1 2 2 2 m -r k 2 2 ， m r 12 分 2 2 将 m =4k 1 代入上式，得 k1 k2 2 2 (4 -r )k 1 2 2 4k (1 r ) 要使得 Kk2为定值，则 土丄 4 1 2 1 -r ，即 r2 ，验1 R,P2满足k1k2为定值 2 而对于数字 1,2,，n的任意一个排列 A： ai, a?,川，an，都可以构造排列 Ai： an, a2, a , 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为 血却. 4 所以所有 S(A)的算术平均值为 12卫. . 7 分 4 (川)证明：当j -i 1，即厲，引相邻时， 不妨设 a, : a, i，则排列 A