直线平面垂直的判定及性质

1、8.5 8.5 直线、平面垂直的直线、平面垂直的判定及性质判定及性质基础自测基础自测1.1.设设l l、m m、n n均为直线，其中均为直线，其中m m、n n在平面在平面内，内， 则则“l l”是是“l lm m且且l ln n”的的( )( ) A. A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 A2.2.若若P P是平面是平面外一点外一点, ,则下列命题正确的是则下列命题正确的是( )( ) A. A.过过P P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面相交相交 B.B.过过P P可作无数

2、条直线与平面可作无数条直线与平面垂直垂直 C.C.过过P P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面平行平行 D.D.过过P P可作无数条直线与平面可作无数条直线与平面平行平行D3.3.（20092009广东理，广东理，5 5）给定下列四个命题给定下列四个命题: : 若一个平面内的两条直线与另一个平面都若一个平面内的两条直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面相互平行；平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 两个平面相互垂直；两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面

3、垂直，那么一个平面内与它们的若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. . 其中，为真命题的是其中，为真命题的是( )( ) A. A.和和 B. B.和和 C. C.和和 D. D.和和D4.4.（20082008湖南文，湖南文，5 5）已知直线已知直线m m、n n和平面和平面、 满足满足m mn n，m m，则，则( )( ) A. A.n n B.B.n n，或，或n n C. C.n n D.D.n n, ,或或n nD5.5.下列命题中，下列命题中，m m、n n表示两条不同的直线，表示两条不同的直线，、 表示

4、三个不同的平面表示三个不同的平面. . 若若m m, ,n n, ,则则m mn n; ;若若, , , 则则； 若若m m, ,n n, ,则则m mn n; ;若若, , , m m, ,则则m m. . 正确的命题是正确的命题是( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D.C题型一题型一 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质 如图所示如图所示, ,已知已知PAPA矩形矩形ABCDABCD所在平面所在平面, , M M，N N分别是分别是ABAB，PCPC的中点的中点. . (1) (1)求证：求证：MNMNCDCD； (2)(2)若若PDAPDA=45=45

5、. . 求证：求证：MNMN平面平面PCDPCD. . (1)(1)因因M M为为ABAB中点中点, ,只要证只要证ANB ANB 为等为等 腰三角形腰三角形, ,则利用等腰三角形的性质可得则利用等腰三角形的性质可得MNMNAB.AB. (2) (2)已知已知MNMNCDCD，只需再证，只需再证MNMNPCPC, ,易看出易看出 PMCPMC为等腰三角形，利用为等腰三角形，利用N N为为PCPC的中点，可的中点，可 得得MNMNPCPC. .题型分类题型分类 深度剖析深度剖析证明证明 （1 1）连接）连接ACAC，ANAN，BNBN，PAPA平面平面ABCDABCD，PAPAACAC，在在Rt

6、RtPACPAC中，中，N N为为PCPC中点，中点，PAPA平面平面ABCDABCD，PAPABCBC，又，又BCBCABAB，PAPAABAB= =A A，BCBC平面平面PABPAB，BCBCPBPB，从而在从而在RtRtPBCPBC中，中，BNBN为斜边为斜边PCPC上的中线，上的中线， ANAN= =BNBN，ABNABN为等腰三角形，为等腰三角形，又又M M为底边为底边ABAB的中点，的中点，MNMNABAB，又又ABABCDCD，MNMNCDCD. .21PCAN .21PCBN (2)(2)连接连接PMPM、CMCM,PDAPDA=45=45, ,PAPAADAD, ,APAP

7、= =ADAD. .四边形四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，ADAD= =BCBC，PAPA= =BCBC. .又又M M为为ABAB的中点，的中点，AMAM= =BMBM. .而而PAMPAM=CBMCBM=90=90,PMPM= =CMCM. .又又N N为为PCPC的中点，的中点，MNMNPCPC. .由（由（1 1）知，）知，MNMNCDCD，PCPCCDCD= =C C, ,MNMN平面平面PCDPCD. . 垂直问题的证明，其一般规律是垂直问题的证明，其一般规律是“由已由已知想性质，由求证想判定知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定

8、理；根据要求证的结知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来合的思路结合起来. .知能迁移知能迁移1 1 RtRtABCABC所在平面外一点所在平面外一点S S, ,且且SASA= =SBSB= = SCSC，D D为斜边为斜边ACAC中点中点. . （1 1）求证：）求证：SDSD面面ABCABC； （2 2）若）若ABAB= =BCBC，求证：，求证：BDBD面面SACSAC. . 证明证明 （1 1）如图所示，取）如图所示，取ABAB中点中点E E， 连结连结SESE，DEDE， 在在Rt

9、RtABCABC中，中，D D、E E分别为分别为ACAC、 ABAB的中点，故的中点，故DEDEBCBC，且，且DEDEABAB, , SASA= =SBSB， SABSAB为等腰三角形，为等腰三角形，SESEABAB. . SESEABAB，DEDEABAB，SESEDEDE= =E E， ABAB面面SDESDE. .而而SDSD面面SDESDE，ABABSDSD. .在在SACSAC中，中，SASA= =SCSC，D D为为ACAC中点，中点，SDSDACAC. .SDSDACAC, ,SDSDABAB, ,ACACABAB= =A A,SDSD面面ABCABC. .（2 2）若）若A

10、BAB= =BCBC，则，则BDBDACAC，由（由（1 1）可知，）可知，SDSD面面ABCABC，而，而BDBD面面ABCABC，SDSDBDBD，SDSDBDBD, ,BDBDACAC, ,SDSDACAC= =D D,BDBD面面SACSAC. .题型二题型二 面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P PABCDABCD 中，平面中，平面PADPAD平面平面ABCDABCD，ABABDCDC， PADPAD是等边三角形是等边三角形, ,已知已知BDBD=2=2ADAD=8=8， ABAB=2=2DCDC=4 .=4 . (1) (1)设设M M是

11、是PCPC上的一点，上的一点， 证明：平面证明：平面MBDMBD平面平面PADPAD； (2)(2)求四棱锥求四棱锥P PABCDABCD的体积的体积. . (1)(1)因为两平面垂直与因为两平面垂直与M M点位置无点位置无 关，所以在平面关，所以在平面MBDMBD内一定有一条直线垂直于内一定有一条直线垂直于 平面平面PADPAD，考虑证明，考虑证明BDBD平面平面PADPAD. . (2) (2)四棱锥底面为一梯形四棱锥底面为一梯形, ,高为高为P P到面到面ABCDABCD的距离的距离. .5(1)(1)证明证明 在在ABDABD中中,ADAD=4,=4,BDBD=8,=8,ABAB=4

12、,=4 ,ADAD2 2+ +BDBD2 2= =ABAB2 2.ADADBDBD. .又又面面PADPAD面面ABCDABCD，面，面PADPAD面面ABCDABCD= =ADAD，BDBD面面ABCDABCD，BDBD面面PADPAD. .又又BDBD面面BDMBDM，面面MBDMBD面面PADPAD. .(2)(2)解解 过过P P作作POPOADAD，面面PADPAD面面ABCDABCD，POPO面面ABCDABCD，即即POPO为四棱锥为四棱锥P PABCDABCD的高的高. .又又PADPAD是边长为是边长为4 4的等边三角形，的等边三角形，POPO= =. 325在底面四边形在底

13、面四边形ABCDABCD中，中，ABABDCDC，ABAB=2=2DCDC，四边形四边形ABCDABCD为梯形为梯形. .在在RtRtADBADB中，斜边中，斜边ABAB边上的高为边上的高为此即为梯形的高此即为梯形的高. . 当两个平面垂直时，常作的辅助线是当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线在其中一个面内作交线的垂线. .把面面垂直转化为把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等的平面角或得到点到面的距离等. .,5585484. 316322431.2455825452ABCDPAB

14、CDVS四边形知能迁移知能迁移2 2 在斜三棱柱在斜三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC中，底面是等腰中，底面是等腰 三角形，三角形，ABAB= =ACAC，侧面，侧面BBBB1 1C C1 1C C底面底面ABCABC. . (1) (1)若若D D是是BCBC的中点，求证：的中点，求证：ADADCCCC1 1； (2)(2)过侧面过侧面BBBB1 1C C1 1C C的对角线的对角线BCBC1 1的平面交侧棱于的平面交侧棱于 M M, ,若若AMAM= =MAMA1 1, ,求证：截面求证：截面MBCMBC1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C. . 证明证明 (

15、1)(1)ABAB= =ACAC, ,D D是是BCBC的中点的中点,ADADBCBC. . 底面底面ABCABC平面平面BBBB1 1C C1 1C C， 面面ABCABC面面BBBB1 1C C1 1C C= =BCBC， ADAD侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C. . CCCC1 1面面BBBB1 1C C1 1C C，ADADCCCC1 1. .（2 2）延长）延长B B1 1A A1 1与与BMBM交于交于N N，连结，连结C C1 1N N. .AMAM= =MAMA1 1，NANA1 1= =A A1 1B B1 1. .A A1 1B B1 1= =A A1 1C C1

16、 1，A A1 1C C1 1= =A A1 1N N= =A A1 1B B1 1. .C C1 1N NC C1 1B B1 1. .截面截面NBNB1 1C C1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C，面面NBNB1 1C C1 1面面BBBB1 1C C1 1C C= =C C1 1B B1 1，C C1 1N N侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C.C C1 1N N面面C C1 1NBNB，截面截面C C1 1NBNB侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C. .即截面即截面MBCMBC1 1侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C. .题型三题型三 线面角的求法线面角的

17、求法 （1212分）如图所示，在四棱锥分）如图所示，在四棱锥P P ABCDABCD中，底面为直角梯形，中，底面为直角梯形，ADADBCBC， BADBAD=90=90，PAPA底面底面ABCDABCD, ,且且 PAPA= =ADAD= =ABAB=2=2BCBC, ,M M、N N分别为分别为PCPC、PBPB的中点的中点. . （1 1）求证：）求证：PBPBDMDM； （2 2）求）求BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角所成的角. . （1 1）易证）易证PBPB平面平面ADMNADMN. . （2 2）构造直线和平面所成的角，解三角形）构造直线和平面所成的角，解三角形. .

18、（1 1）证明证明 N N是是PBPB的中点，的中点，PAPA= =ABAB， ANANPBPB.BADBAD=90=90，ADADABAB. . PAPA平面平面ABCDABCD，PAPAADAD. .PAPAABAB= =A A，ADAD平面平面PABPAB，ADADPBPB.4.4分分又又ADADANAN= =A A，PBPB平面平面ADMNADMN. . 平面平面ADMNADMN，PBPBDMDM. 6. 6分分（2 2）解解 连接连接DNDN，PBPB平面平面ADMNADMN，BDNBDN是是BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角，所成的角，8 8分分在在RtRtBDNBDN中

19、，中， 1010分分BDNBDN=30=30, ,即即BDBD与平面与平面ADMNADMN所成的角为所成的角为3030. 12. 12分分,212221sinABABBDBNBDNDM 求直线和平面所成的角，关键是利用定求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角义作出直线和平面所成的角. .必要时，可利用平行必要时，可利用平行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影便寻找直线在该平面内的射影. .知能迁移知能迁移3 3 如图所示，四面体如图所示，四面体ABCSABCS中，中， SASA、SBSB、SCSC两两

20、垂直，两两垂直，SBASBA=45=45， SBCSBC=60=60，M M为为ABAB的中点的中点. .求：求： （1 1）BCBC与平面与平面SABSAB所成的角；所成的角； （2 2）SCSC与平面与平面ABCABC所成的角的正切值所成的角的正切值. .解解 （1 1）SCSCSBSB，SCSCSASA，SBSBSASA= =S S，SCSC平面平面SABSAB，BCBC在平面在平面SABSAB上的射影为上的射影为SBSB. .SBCSBC为为BCBC与平面与平面SABSAB所成的角所成的角. .又又SBCSBC=60=60, ,故故BCBC与平面与平面SABSAB所成的角为所成的角为6

21、060. .（2 2）连结）连结MCMC，在，在RtRtASBASB中，中，SBASBA=45=45，ASBASB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，SMSMABAB，由（由（1 1）知）知ABABSCSC，ABABSMSM= =M M，ABAB平面平面SMCSMC， 平面平面ABCABC平面平面SMCSMC平面平面ABCABC. .过点过点S S作作SOSOMCMC于点于点O O，SOSO平面平面ABCABC. .SCMSCM为为SCSC与平面与平面ABCABC所成的角所成的角. .由（由（1 1）知）知SCSC平面平面SABSAB，又又 平面平面SABSAB，SCSCSMSM，SMCSMC

22、为直角三角形为直角三角形. .设设SBSB= =a a，即即SCSC与平面与平面ABCABC所成的角的正切值为所成的角的正切值为 . .,360tan,22aSBSCaSM则.66tanSCSMSCM66ABSM题型四题型四 二面角的求法二面角的求法 如图所示，三棱锥如图所示，三棱锥P PABCABC中，中， D D是是ACAC的中点，的中点，PAPA= =PBPB= =PCPC= = ， ACAC=2 =2 ，ABAB= = ，BCBC= .= . （1 1）求证：）求证：PDPD平面平面ABCABC； （2 2）求二面角）求二面角P PABABC C的正切值大小的正切值大小. . （1 1

23、）已知三角形三边长，可考虑利用）已知三角形三边长，可考虑利用 勾股定理的逆定理证明垂直勾股定理的逆定理证明垂直. . （2 2）关键是找出二面角的平面角，由）关键是找出二面角的平面角，由APAP= =PBPB， 可考虑取可考虑取ABAB的中点的中点E E. .2526（1 1）证明证明 连结连结BDBD，D D是是ACAC的中点，的中点，PAPA= =PCPC= = ，PDPDACAC. .ACAC= = ，ABAB= = ，BCBC= = ，ABAB2 2+ +BCBC2 2= =ACAC2 2. .ABCABC=90=90，即，即ABABBCBC. .PDPD2 2= =PAPA2 2-

24、-ADAD2 2=3=3，PBPB= = ，PDPD2 2+ +BDBD2 2= =PBPB2 2.PDPDBDBD. .ACACBDBD= =D D，PDPD平面平面ABCABC. .52226.221ADACBD5（2 2）解解 取取ABAB的中点的中点E E，连结，连结DEDE、PEPE，由由E E为为ABAB的中点知的中点知DEDEBCBC，ABABBCBC，ABABDEDE. .PDPD平面平面ABCABC，PDPDABAB. .又又ABABDEDE，DEDEPDPD= =D D，ABAB平面平面PDEPDE，PEPEABAB. .PEDPED是二面角是二面角P PABABC C的平

25、面角的平面角. .在在PEDPED中，中， PDEPDE=90=90, ,二面角二面角P PABABC C的正切值为的正切值为 . ., 3,2621PDBCDE. 2tanDEPDPED2 找二面角的平面角常用的方法有找二面角的平面角常用的方法有: :(1)(1)定义法：作棱的垂面，得平面角定义法：作棱的垂面，得平面角. .(2)(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质利用等腰三角形、等边三角形的性质, ,取中线取中线. .知能迁移知能迁移4 4 如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P P ABCDABCD的底面的底面ABCDABCD是直角梯形，是直角梯形， PAPA平面平面ABCDABCD，且，

26、且ADADBCBC， ADADDCDC, ,ADCADC和和ABCABC均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形, , 设设PAPA= =ADAD= =DCDC= =a a，点，点E E为侧棱为侧棱PBPB上一点，上一点， 且且BEBE=2=2EPEP. . （1 1）求证：平面）求证：平面PCDPCD平面平面PADPAD； （2 2）求证：直线）求证：直线PDPD平面平面EACEAC； （3 3）求二面角）求二面角B BACACE E的余弦值的余弦值. .（1 1）证明证明 PAPA平面平面ABCDABCD，DCDC平面平面ABCDABCD，DCDCPAPA. .又又ADADDCDC，且，且PA

27、PA与与ADAD是平面是平面PADPAD内两相交内两相交直线，直线，DCDC平面平面PADPAD. .又又DCDC平面平面PCDPCD，平面平面PCDPCD平面平面PADPAD. .（2 2）证明证明 连结连结BDBD，设，设BDBD与与ACAC相交于点相交于点F F，连结连结EFEF，在等腰直角在等腰直角ADCADC中，中，ADADDCDC，.4ACDDAC又又ADADBCBC，ACBACB=DACDAC= =又又ABCABC为等腰直角三角形，且底面为等腰直角三角形，且底面ABCDABCD是直是直角梯形，角梯形， （若（若B B为直角，则与底面为直角，则与底面ABCDABCD是直角梯形相矛盾

28、）是直角梯形相矛盾）. .由由ADAD= =DCDC= =a a，易知，易知ABAB= =ACAC= = a a，BCBC=2=2a a，BCBCADAD且且BCBC=2=2ADAD，BFBF=2=2FDFD. .又又BEBE=2=2EPEP，PDPDEFEF. .又又EFEF平面平面EACEAC，PDPD平面平面EACEAC，直线直线PDPD平面平面EACEAC. .42BAC2（3 3）解解 过点过点E E作作EHEHPAPA交交ABAB于于H H点，点，则则EHEH平面平面ABCDABCD，又，又ABABACAC，EAEAACAC. .EAHEAH为二面角为二面角B BACACE E的平

29、面角的平面角. .BEBE=2=2EPEP，即二面角即二面角B BACACE E的余弦值为的余弦值为 . .3231aABAH, 2tan,3232AHEHEAHaPAEH又,33cosEAH33方法与技巧方法与技巧1.1.证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法 （1 1）线面垂直的定义：）线面垂直的定义：a a与与内任何直线都垂内任何直线都垂 直直a a； （3 3）判定定理）判定定理2 2：a ab b，a ab b； （4 4）面面平行的性质：）面面平行的性质：，a aa a； （5 5）面面垂直的性质：）面面垂直的性质：，= =l l， a a ，a al l a a. .;,:1)2(

30、lnlmlAnmm、判定定理n思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法 （1 1）定义：两条直线所成的角为）定义：两条直线所成的角为9090; ; （2 2）平面几何中证明线线垂直的方法；）平面几何中证明线线垂直的方法； （3 3）线面垂直的性质：）线面垂直的性质：a a，b ba ab b； （4 4）线面垂直的性质：）线面垂直的性质：a a，b ba ab b. .3.3.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 （1 1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角）利用定义：两个平面相交，所成的二面角 是直二面角；是直二面角； （2 2）判定定理：）判定定理：

31、a a，a a. .4.4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的 方法方法. .失误与防范失误与防范1.1.垂直关系的转化垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决可通过作辅助线来解决. .如有平面垂直时，一般如有平面垂直时，一般 要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线， 使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直垂

32、直. .故熟练掌握故熟练掌握“线线垂直线线垂直”、“面面垂直面面垂直” 间的转化条件是解决这类问题的关键间的转化条件是解决这类问题的关键. .2.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依 据据. .我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找 这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线 的垂线即可的垂线即可. .一、选择题一、选择题1.1.若若l l为一条直线为一条直线, ,、为三个互不重合的平为三个互不重合的平 面，给出下面三个命题：面，给出下面三个命题： , ,; ;, , ;

33、 ;l l, ,l l. . 其中正确的命题有其中正确的命题有( )( ) A.0 A.0个个 B.1B.1个个 C.2C.2个个 D.3D.3个个 解析解析 对于对于，与与可能平行，故错可能平行，故错. . 正确，故选正确，故选C.C.C定时检测定时检测2.2.设设a a、b b是不同的直线，是不同的直线，、是不同的平面，则是不同的平面，则 下列四个命题中正确的是下列四个命题中正确的是( )( ) A. A.若若a ab b, ,a a, ,则则b b B. B.若若a a, , ,则则a a C. C.若若a a, , ,则则a a D. D.若若a ab b, ,a a, ,b b, ,

34、则则 解析解析 A A中，中，b b可能在可能在内；内；B B中，中，a a可能在可能在内内, , 也可能与也可能与平行或相交（不垂直）；平行或相交（不垂直）；C C中，中，a a可可 能在能在内；内；D D中，中，a ab b，a a，则，则b b或或 b b, ,又又b b,. .D3.3.（20092009北京理，北京理，4 4）若正四棱柱若正四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1 C C1 1D D1 1的底面边长为的底面边长为1,1,ABAB1 1与底面与底面ABCDABCD成成6060 角，则角，则A A1 1C C1 1到底面到底面ABCDABCD的距离为的距离为( )(

35、 ) A. B.1 C. D. A. B.1 C. D. 解析解析 如图所示，直线如图所示，直线ABAB1 1与底面与底面 ABCDABCD所成的角为所成的角为B B1 1ABAB，而，而A A1 1C C1 1 到底面到底面ABCDABCD的距离为的距离为AAAA1 1， 在在RtRtABBABB1 1中，中，B B1 1B B= =ABABtan 60tan 60= .= . 所以所以AAAA1 1= =BBBB1 1= .= .33233D34.4.已知直线已知直线l l平面平面，直线，直线m m平面平面，下面有三，下面有三 个命题：个命题： l lm m; ;l lm m; ;l lm

36、 m ; ; 则真命题的个数为则真命题的个数为( )( ) A.0 B.1 C.2 D.3 A.0 B.1 C.2 D.3 解析解析 如图所示，设面如图所示，设面ABAB1 1为为，面，面 A A1 1C C1 1为为，A A1 1D D1 1，A A1 1C C1 1， 而而A A1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1相交，故相交，故错错. .C5.5.下面四个命题：下面四个命题： “直线直线a a直线直线b b”的充要条件是的充要条件是“a a平行于平行于b b 所在的平面所在的平面”； “直线直线l l平面平面内所有直线内所有直线”的充要条件的充要条件 是是“l l平面平面”；

37、“直线直线a a、b b为异面直线为异面直线”的充分不必要条件的充分不必要条件 是是“直线直线a a、b b不相交不相交”； “平面平面平面平面”的必要不充分条件是的必要不充分条件是 “ “内存在不共线三点到内存在不共线三点到的距离相等的距离相等”. . 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D.解析解析 a ab b推不出推不出a a平行于平行于b b所在的平面，反之也所在的平面，反之也不成立不成立.不正确不正确. .由线面垂直的定义知由线面垂直的定义知正确正确. .a a、b b不相交时，不相交时，a a、b b可能平行，此时可能平

38、行，此时a a、b b共面共面. .不正确不正确. .当当时，时，内一定有三个不共线的点到平面内一定有三个不共线的点到平面的距离相等的距离相等. .反之，设反之，设A A、B B、C C是是内三个不共内三个不共线的点，当线的点，当过过ABCABC的中位线时，的中位线时，A A、B B、C C三点三点到到的距离相等，但此时的距离相等，但此时、相交，相交，正确正确. .答案答案 C C6.6.（20092009浙江理，浙江理，5 5）在三棱柱在三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1 中，各棱长相等中，各棱长相等, ,侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面, ,点点D D是侧面是侧面 BBBB

39、1 1C C1 1C C的中心，则的中心，则ADAD与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成角的所成角的 大小是大小是( )( ) A.30A.30 B.45B.45 C.60C.60 D.90D.90 解析解析 取取BCBC中点中点E E，连结，连结AEAE，则，则AEAE平面平面 BCC BCC1 1B B1 1，故，故ADEADE为直线为直线ADAD与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所所 成的角成的角. .设各棱长为设各棱长为a a，则，则 ADEADE=60=60. .,23aAE . 3tan,21ADEaDEC二、填空题二、填空题7.7.（20082008全国全国

40、文，文，1616）已知菱形已知菱形ABCDABCD中中, , ABAB=2=2，A A=120=120，沿对角线，沿对角线BDBD将将ABDABD折起折起, , 使二面角使二面角A A- -BDBD- -C C为为120120，则点，则点A A到到BCDBCD所在所在 平面的距离等于平面的距离等于 . . 解析解析 如图所示，取如图所示，取BDBD中点中点E E，连接，连接 AEAE、CECE. . ABDABD、BCDBCD均为等腰三角形，均为等腰三角形， AEAEBDBD，CECEBDBD， BDBD平面平面AECAEC. . AECAEC为二面角为二面角A ABDBDC C的平面角，的平

41、面角， AECAEC=120=120. .在平面在平面AECAEC内过内过A A作作CECE的垂线的垂线AHAH, ,垂足为垂足为H H, ,则则H H在在CECE的延长线上的延长线上. .BDBD平面平面AECAEC，BDBDAHAH. .又又AHAHCECE, ,AHAH平面平面BCDBCD.BADBAD=120=120,BAEBAE=60=60, ,又又AEHAEH=60=60, ,即点即点A A到到BCDBCD所在平面的距离为所在平面的距离为 . . 1,cosAEABAEBAE,23AH23答案答案238.8.将正方形将正方形ABCDABCD沿对角线沿对角线BDBD折起，使平面折起，

42、使平面ABDABD平平 面面CBDCBD，E E是是CDCD的中点，则异面直线的中点，则异面直线AEAE、BCBC所成所成 角的正切值为角的正切值为 . . 解析解析 如图所示，取如图所示，取BDBD中点中点O O，连结，连结AOAO、OEOE， 则则AOAOBDBD.平面平面ABDABD平面平面CBDCBD， AOAO平面平面BCDBCD，OEOEBCBC， AEOAEO即为即为AEAE、BCBC所成的角所成的角. . 设正方形的边长为设正方形的边长为2 2，则，则OEOE=1=1，AOAO= = ， tantanAEOAEO= .= .2229.9.a a、b b表示直线，表示直线，、表示

43、平面表示平面. . 若若= =a a, ,b b, ,a ab b，则，则; ; 若若a a, ,a a垂直于垂直于内任意一条直线，内任意一条直线， 则则； 若若，= =a a, ,= =b b, ,则则a ab b; ; 若若a a不垂直于平面不垂直于平面，则，则a a不可能垂直于平面不可能垂直于平面 内无数条直线；内无数条直线； 若若a a, ,b b, ,a ab b, ,则则. . 上述五个命题中，正确命题的序号是上述五个命题中，正确命题的序号是 . .解析解析 对对可举反例如图，需可举反例如图，需b b才能才能推出推出. .对对可举反例说明，当可举反例说明，当不不与与，的交线垂直时，

44、即可得到的交线垂直时，即可得到a a，b b不不垂直；对垂直；对a a只需垂直于只需垂直于内一条直线便可以垂直内一条直线便可以垂直内无数条与之平行的直线内无数条与之平行的直线. .所以只有所以只有是正确的是正确的. .答案答案 三、解答题三、解答题10.10.四面体四面体ABCDABCD中中, ,ACAC= =BDBD，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC 的中点，且的中点，且 BDCBDC=90=90. . 求证：求证：BDBD平面平面ACDACD. . 证明证明 如图所示，取如图所示，取CDCD的中点的中点G G，连接，连接EGEG、 FGFG、EFEF. . E E、F F分别为

45、分别为ADAD、BCBC的中点，的中点， EG ACEG AC，FG BDFG BD. . ,22ACEF 又又ACAC= =BDBD，在在EFGEFG中，中，EGEG2 2+ +FGFG2 2= = ACAC2 2= =EFEF2 2. . EGEGFGFG.BDBDACAC. .又又BDCBDC=90=90，即，即BDBDCDCD，ACACCDCD= =C C，BDBD平面平面ACDACD. .21ACFGEG2111.11.如图所示，已知如图所示，已知ABCABC是等边三角形，是等边三角形， ECEC平面平面ABCABC，BDBD平面平面ABCABC，且，且ECEC、 DBDB在平面在平面ABCABC的同侧，的同侧，M M为为EAEA的中点，的中点， CECE=2=2BDBD. . 求证：（求证：（1 1）DEDE= =DADA； （2 2）平面）平面BDMBDM平面平面ECAECA； （3 3）平面）平面DEADEA平面平面ECAECA. . 证明证明 如图所示，取如图所示，取ACAC中点中点N N，连结，连结MNMN、BNBN，ECEC平面平面ABCABC，BDBD平面平面ABCABC，ECECBDBD. .ECAECA中，中，M