抛物线的简单几何性质练习题

1、多练岀技巧巧思岀硕果课时作业(十三)学业水平层次一、选择题1. 已知点P(6, y)在抛物线y2= 2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2 B. 1 C. 4 D. 8【解析】抛物线y2= 2px(p>0)的准线为x= 2，因为P(6, y)为抛物线上的点，所以点 P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6 + p= 8,所以p= 4,即焦点F到抛物线的距离等于4,故选C.【答案】C2. (2014成都高二检测)抛物线y2 = 4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当 FPM为等边三角形时， 其面积为(

2、)A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 4 3【解析】据题意知，AFPM为等边三角形，|PF|=|PM| = |FM|，PM丄抛物线的准线.设P冒，mj,贝S M( 1，m)，等边三角形边长为 1 + m，又由 F(1,0), |PM|= |FM|,得 1 + m 1 + 1 2+ m2, 得 m=2 3,A等边三角形的边长为4,其面积为4,3，故选D.【答案】 D3. 已知抛物线y = 2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛 物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A . x= 1B. x= 1C. x= 2D. x= 2【解析】设Ag ,

3、yd , B(X2, y2)，代入抛物线方程得y1= 2px1,J1y2= 2px2,得，(yi + y2)(yi y2) = 2p(xi X2).yi y2 2p p又yi + y2 = 4,.= 4 = 2= k= 1，- p= 2.Xi X242.所求抛物线的准线方程为x= 1.【答案】 B4. (2014课标H )设F为抛物线C: y2= 3x的焦点，过F且倾斜 角为30°的直线交C于A, B两点，则|AB|=()30A飞 B. 6 C. 12 D.【解析】焦点F的坐标为4 0 j,直线AB的斜率为誓，所以直线AB的方程为y= 3即诗，代入y2= 3x,得 3x2*+16=0

4、,21设 A(xi, yi), B(X2, y2),贝S xi + X2=y,3 213所以 |AB| = Xi +X2 + 2= 2 + 2= 12,故选 C.【答案】C二、填空题5 .抛物线y2 = x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为【解析】 设抛物线上点的坐标为(x, 士, x)，此点到准线的距离 为x+1至U顶点的距离为"样2+ »x 2，由题意有X+. x2 + I x 2, *x=8，y=呼，二此点坐标为£, 士2)6. (2014临沂高二检测)直线y= kx+ 2与抛物线y2= 8x有且只有 一个公共点，则k=.【解析】当k= 0时，直线与抛物线

5、有唯一交点，当kz 0时，联立方程消 y得 k2x2 + 4(k 2)x+4 = 0,由题意 A= 16(k 2)2 16k2 =0,/k= 1.【答案】 0或17. (2014湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的 距离和到直线x=- 1的距离相等.若机器人接触不到过点 P( - 1,0) 且斜率为k的直线，则k的取值范围是.【解析】设机器人为A(x, y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x=- 1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2 = 4x.过点P(- 1,0)，斜率为k的直线为y= k(x + 1).y2= 4x,由得 ky2- 4y+ 4k= 0.y=

6、kx+ k,当k= 0时，显然不符合题意；当 kz0 时，依题意得 = (-4)2- 4k 4k<0,化简得k2-1>0,解得k>1或k<-1,因此k的取值范围为(-,1)L(1, +乂).【答案】(一汽一1)U (1，+*)三、解答题8. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与 y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|= 17, |AF| = 3,求此抛物 线的标准方程.【解】设所求抛物线的标准方程为x2 = 2py(p>0),设 A(x°, y°)，由题知 M；0, p)AF| = 3,.y ° + 2= 3，|AM

7、|= 17,X0 + yo+ 2 f = 17,*Xo= 8, 代入方程x0= 2pyo得，p 18= 2p 3-o J,解得 p= 2或 p= 4.二所求抛物线的标准方程为x2 = 4y或x2= 8y.9. 已知直线I经过抛物线y2= 6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线I的倾斜角为60°求|AB|的值;若|AB|= 9,求线段AB的中点M到准线的距离.【解】（1）因为直线I的倾斜角为60°所以其斜率k= tan 60 =3. 又F 2, 0所以直线l的方程为y=书号y2 = 6x，9联立 3消去y得x2 5x+4= 0.y=也y - 2 j,设 A（X

8、1, y）, B（X2, y2）,则禺 + X2= 5,而 |AB|= |AF | + |BF| = X1 + 号+ X2+ 2= + X2 + p,所以 |AB|= 5+ 3 = 8.设A(xi, yi), B(x, y2),由抛物线定义知|AB|=|AF| + |BF|= Xi +X2+ p= X1 + X2+3,所以 Xi + X2 = 6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.339又准线方程是x= 2，所以M到准线的距离为3 + 3=能力提升层次1. (2014湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线X2 = 2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为3°°勺直线与抛

9、物线交于AB两点，若器 (0,1),则雷=()1 1 1A5 B4 C.3【解析】因为抛物线的焦点为F；0, 2故过点F且倾斜角为30°勺直线的方程为=3+ p,与抛物线方程联立得x2233PX P2=0,解方程得 Xa= fp, Xb= . 3p,所以潜F| = |XA| = 1，故选 C.【答案】C2. (2013大纲卷)已知抛物线C: y2 = 8x与点M( 2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若mAmB = 0,则k=()A.2 B. C. 2 D. 2【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0),则过焦点且斜率为k的直线的方程为y= k(x 2),与抛

10、物线方程联立，消去y化简得 k2x2 (4k2 + 8)x + 4k2 = 0,设点 A(xi, yi), B(x, y2)，则 xi + X2 = 48+ k2,X1X2 = 4,所以y1 + y2= k(x1 + x2) 4k=y1y2=X1X2 2(x1 +X2)+ 4 = 16，因为 MA MB= 0,所以(Xi + 2)(X2 + 2)+ (yi 2) 2)=0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2 4k+ 4 = 0,所以k= 2,故选D.【答案】 DX2 y23. 抛物线x2= 2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线§ 3 = 1 相交于A, B两点，若 ABF为等边三角形，则p=.f Ppy_ 2,【解析】 由于x2 = 2py(p>0)的准线为y= 2,由lx2-y2= 3,解得准线与双曲线x2 y2 = 3的交点为A 、3 + 4p2， 2 , B .寸3 + 4p2，号 | ,所以 AB = 2 3 + ；p2.J3由MBF为等边三角形，得-2"AB= p,解得p= 6.【答案】64. 已知抛物线x= y2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于A, B两点，O为坐标原点，当 OAB的面积等于10时，求k的值.【解】过点( 1,0)且斜率为k的直线方程为y= k(x +1),消去X,整