速率方程组与粒子数反转

1、2.2 .2.2 .速率方程组与粒子数反转速率方程组与粒子数反转回顾回顾实现粒子数反转的两个必要条件实现粒子数反转的两个必要条件: : 工作物质粒子有适当的能级结构工作物质粒子有适当的能级结构 有合适的激励能源有合适的激励能源前瞻前瞻分析方法分析方法: : 速率方程方法速率方程方法以及速率方程的求解步骤以及速率方程的求解步骤速率方程方法速率方程方法: : 分析粒子系统能否实现反转的一种方法分析粒子系统能否实现反转的一种方法 速率方程速率方程: : 描述各能级粒子数描述各能级粒子数( (密度密度) )变化速率的方程变化速率的方程组组 速率方程的求解步骤速率方程的求解步骤: : (1)(1)列出速

2、率方程列出速率方程: : ( ( i=1,2,. n) dtdnin是粒子参予光和物质相互作用的能级总数。若粒子有是粒子参予光和物质相互作用的能级总数。若粒子有n n个个能级能级, , 则可列出则可列出n个方程个方程, , 其中其中( (n-1)-1)个独立。个独立。(!可实现粒子数反转的几种量子系统可实现粒子数反转的几种量子系统)(2)(2)求出速率方程的稳定解求出速率方程的稳定解( (数学解数学解): ): 求出稳态下求出稳态下 ( ) ( )各能级的粒子数各能级的粒子数, , 或比值或比值 0dtdniijnn 其中其中nj -激光上能级粒子数激光上能级粒子数 ni -激光下能级粒子数激

3、光下能级粒子数稳态稳态-达到动态平衡时达到动态平衡时; ; 稳态下各能级粒子数密度不再稳态下各能级粒子数密度不再变化变化 ( (即即 ) )。 0dtdni（3 3） 确定粒子数反转确定粒子数反转( (即即 ） 的物理条件的物理条件( (物理解物理解) )1ijnn1 1 三能级系统和四能级系统三能级系统和四能级系统一一. . 二能级系统二能级系统 * *( (光与粒子相互作用过程只涉及二个能级光与粒子相互作用过程只涉及二个能级) )1.1.能级图能级图 约定约定: : 实线箭头代表辐射跃迁实线箭头代表辐射跃迁; ; 虚线箭头代表非辐射跃迁虚线箭头代表非辐射跃迁。其中其中 ：W12受激吸收几率

4、受激吸收几率( (激励几率激励几率) ) W21受激发射几率受激发射几率 A21自发发射几率自发发射几率 21非辐射跃迁几率非辐射跃迁几率( (热弛豫等热弛豫等, , 热弛豫即热运动热弛豫即热运动 碰撞交换能量碰撞交换能量) ) （双下标代表过程的量） dtndnW1212dtndnW2221dtndnA2221 2. 2.速率方程速率方程: : 二能级系统只有二能级系统只有1 1个独立的速率方程个独立的速率方程方程中的每一项方程中的每一项: :某一过程的某一过程的几率几率与该过程始态能级上的粒子数之积与该过程始态能级上的粒子数之积 = = 该过程该过程导致的粒子数变化率导致的粒子数变化率(!

5、)(!) 能级能级E2上粒子数密度的变化率为上粒子数密度的变化率为 ：2212212211122nnAnWnWdtdn 第一项第一项受激吸收引起的受激吸收引起的n2的增加率的增加率, , 取正号取正号 ( (过程几率与过程始态上粒子数的乘积过程几率与过程始态上粒子数的乘积); ); 第二项第二项受激发射引起的受激发射引起的n2的减少率的减少率, , 取负号取负号; ; 第三项第三项自发发射引起的自发发射引起的n2的减少率的减少率, , 取负号取负号; ; 第四项第四项非辐射跃迁引起的非辐射跃迁引起的n2的减少率的减少率, , 取负号。取负号。 E1 E2 21 A21 W21 W12 若设若设

6、 g1=g2 , 则则 W12=W21=W, 速率方程变为速率方程变为221221212)(nnAnnWdtdn 3.3.稳定解稳定解( (数学解数学解): ): 稳态下稳态下 , , 故故 02dtdn212112AWWnn 可见可见: : 对二能级系统对二能级系统, , 一般总有一般总有 ; ; 仅当激励速率很大时仅当激励速率很大时 ( ), ( ), 12nn 212112 AW12nn 4.4.结论结论( (物理解物理解): ): 在光频区在光频区, , 二能级系统二能级系统不可能不可能实现粒子数实现粒子数 反转反转二二. . 实现上下能级之间粒子数反转产生激光的物理过程：实现上下能级

7、之间粒子数反转产生激光的物理过程：1.1. 三能级系统图:其中其中 E1基态能级基态能级, , 又是激光下能级又是激光下能级, , 也是抽运能级。也是抽运能级。 E2激光上能级激光上能级, , 是亚稳能级是亚稳能级( ( 2121小小) )。 E3抽运能级抽运能级, , 非辐射跃迁几率大非辐射跃迁几率大( (3232大大(!)(!) 其主要特征是激光的下能级为基态，极易积累粒子(几乎聚集了所有粒子),发光过程中下能级的粒子数一直保存有相当的数量,对抽运的要求很高。所以不易实现粒子数反转所以不易实现粒子数反转.32n1n2n3n 由图可见:四能级系统要实现粒子数反转, 只要求n2n1而不必令n2

8、 n0,而n0则是极易积累的基态粒子数。E0:基能级基能级/ /光抽运能级光抽运能级E1:不是基态能级，而是一个激发态能不是基态能级，而是一个激发态能, ,是激光下能级是激光下能级, , 10小小 而而10大大( (迅速弛豫到迅速弛豫到E0, 抽空抽空E1, 减少减少n1)在常温下基本上是空的。在常温下基本上是空的。E2: 激光上能级激光上能级/ /亚稳能级亚稳能级( (易积累易积累n2)E3: 光抽运能级光抽运能级, , 32小而小而32 大大( (迅速迅速弛豫弛豫到到E2) 2.2. 四能级系统图:10 3.3.激光下能级粒子数与基态粒子数的比较激光下能级粒子数与基态粒子数的比较: : 实

9、例实例: (: (三价钕离子三价钕离子) ) 3dNeVh25. 010eVkT062. 0 45 . 9210110)/exp(ekThnn01nn ,而常温下而常温下(T=300K) 即即1. 1. 图图(2-5)(2-5)为简化的四能级图，为简化的四能级图，n0、n1、n2分别为基态、上能级、下能级分别为基态、上能级、下能级的粒子数密度；的粒子数密度；n为单位体积内增益介质的总粒子数，为单位体积内增益介质的总粒子数，R1、R2分别是激励分别是激励能源将基态能源将基态E0上的粒子抽运到上的粒子抽运到E1、E2能级上的速率；能级上的速率； 2.2.速率方程速率方程: 3: 3个能级应有个能级

10、应有2 2个独立方程个独立方程(1)(1)E2能级在单位时间内增加的粒子数密能级在单位时间内增加的粒子数密度为：度为：)(g)(g 121212212212121221222BnBnAnRWnWnAnRdtdn)(g02121vBW 此处因为考虑到介质的线型函数远比传播着的光能量密度为 的单色受激辐射光的线宽要宽得多,故应用(1-54)式和(1-55)式)(g01212vBW因为E2能级向E1能级的自发跃迁几率A21远大于E2能级向基级能级E0的自发跃迁几率A20 ,所以这里没有考虑由A20引起的跃迁.图(2-5)）简化的四能级图0n1n2n2 2 速率方程组速率方程组(2)(2)E1能级在单

11、位时间内增加的粒子数密度为：能级在单位时间内增加的粒子数密度为：图(2-5)）简化的四能级图0n1n2n101121212212110112121221211)()(g AngBnBnAnRAnWnWnAnRdtdn式中各项的物理过程及物理意义如同以上所述.总的粒子数为各能级粒子数之和nnnn210)()(g 121212212212121221222gBnBnAnRWnWnAnRdtdn101121212212110112121221211)()(g AngBnBnAnRAnWnWnAnRdtdn210nnnn速率方程组速率方程组 以上三式即为在增益介质中同时存在抽运、吸收、自发辐射和受激辐

12、射时各能级上的粒子数密度随时间变化的速率方程组。3 3 稳态工作时的粒子数密度反转分布稳态工作时的粒子数密度反转分布一一. . 当激光器工作达到稳定时,抽运和跃迁达到动态平衡，各能级上粒子数密度并不随时间而改变，即： 0210dtdndtdndtdn 假设能级E2、E1的简并度相等，即g1=g2， 因此有B12=B21，则有：将上两式相加可得：12111110121)()(RRnnAnRR0)(g)(12121221222BnBnAnRdtdn0)(g)(10112121221211AnBnBnAnRdtdn)(1)()( )()(g)(212212121222122112122gBgBRRR

13、fBABRRRn1212122121212212)()(1)()(RRfBfBRRRnnn)(1)(1)(212021212122gBngBRRR由上几式可得：则激光上下能级粒子数密度反转分布的表达式为：式中1、 2 分别为上、下能级的寿命4 4 小信号工作时的粒子数密度反转分布小信号工作时的粒子数密度反转分布)(g1)(g1)(21202121212212BnBRRRnnn 由式 可得： 一一. .小信号小信号粒子数密度反转分布粒子数密度反转分布121220)(RRRn0n它是当分母中的第二项为零时的粒子数密度反转分布值。而分母中的第二项一定是个正值，因此它又是粒子数密度反转分布值可能达到的

14、最大值。显然只有在谐振腔中传播的单色光能密度可能趋近于零( 0即I 0)，换句话说，参数 对应着谐振腔的单色光能密度为零或者近似为零时的粒子数密度反转分布的大小。 0n参数 对应着激光谐振腔尚未发出激光时的状态(入射光不含 )，通常把这个状态叫作小信号工作状态，而参数 就被称作是小信号工作时的粒子数密度反转分布。 0n0nhEE12n0称作小信号反转粒子数密度,它正比于受激辐射上能级寿命2及激发几率R2. 二二. .小信号粒子数反转的物理条件小信号粒子数反转的物理条件: : 121220)(RRRn1. 1. 激光上能级E2的寿命要长,使该能级上的粒子不能轻易地通过非受激辐射而离开;2. 2.

15、 激光下能级E1的寿命要短,使该能级上的粒子很快地衰减;3. 3. 选择合适的激励能源,使它对介质的E2能级的抽运速率R2愈大愈好,而E1能级的抽运速率R1愈小愈好.即满足条件即满足条件1212RR 图(2-5)）简化的四能级图0n1n2n5 5 均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布)(1)(1)(21202121212212gBngBRRRnnn 由式 可知 激光工作物质的光谱线型函数对激光器的工作有很大的影响.具有均匀加宽谱线和具有非均匀加宽谱线的工作物质的反转密度行为有很大差别,由它们所构成的激光器的工作特性也有很大不同,因此将分别予以讨论。一一. .对于

16、均匀增宽的介质ff2)()2()(2)(0220且如果介质中传播的光波频率为 ，则有：0Ic2)(g0;sII2212BcIs其中IcBB2)(g212212饱和光强如果介质中传播的光波频率 ，则有：0 )()(22)(2)()(0ggIvcgIcIgcg则有：)()(2)()()(g02120212ggIIcBggIBs一般情况下的粒子数密度反转分布可以表示为：2200220000) 2)(1 ()() 2()(1)()( g1IInIIngIInnsss002200220000) 2)(1 ()() 2()(1)()(1IInIInggIInnsss00这就是均匀增宽型介质E2、E1能级之

17、间粒子数反转分布的表达式。它给出能级间粒子数反转分布值与腔内光强、光波的中心频率、介质的饱和光强、激励能源的抽运速率以及介质能级的寿命等参量的关系。(2-10)均匀增宽情形均匀增宽情形: :只要入射光频率在谱线线宽范围内只要入射光频率在谱线线宽范围内, , 所有粒子所有粒子 都参加受激发射都参加受激发射/ /吸收吸收; ;6 6 均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应 本节研究本节研究: :反转粒子数密度反转粒子数密度n的饱和效应（讨论的饱和效应（讨论n与各种与各种因素的关系，引出因素的关系，引出n饱和效应饱和效应的概念。）的概念。）一一. .粒子

18、数反转分布粒子数反转分布n 饱和效应饱和效应: :介质已实现粒子数反转并达介质已实现粒子数反转并达到阈值。入射光中含频率到阈值。入射光中含频率 时时, , 强烈的受激发射使激强烈的受激发射使激光上能级光上能级 的粒子数的粒子数 迅速减少迅速减少, , 随入射光强随入射光强I I 增大反而增大反而下降的现象下降的现象. .nhEE122E2n图(2-5)）简化的四能级图0n1n2n)(1)(1 )(g1)(212021202121212212IgcBngBnBRRRnnn 由式 可知： 饱和原因饱和原因: :入射光引起强烈的受激发射使激光上能级粒子入射光引起强烈的受激发射使激光上能级粒子 数减少

19、。数减少。 二二. . n与入射光频率与入射光频率v的关系的关系: : 2200220000)2)(1 ()()2()(1)()(1IInIInggIInnsss0 0 讨论 时时: ( (入射光频率等于谱线中心频率入射光频率等于谱线中心频率) )0可见可见: : I I一定时一定时, , 对不同入射光频率对不同入射光频率v, n不同不同. .sIInn10 只要只要 , , 必有必有 有饱和效应有饱和效应; ; 0I0nnn0n20n0IsI 若若 , , , , 饱和效应显著。饱和效应显著。 sII 2/0nn这是由于中心频率处受激辐射几率最大，所以入射光造成的反转粒子数这是由于中心频率处

20、受激辐射几率最大，所以入射光造成的反转粒子数下降越严重。下降越严重。 时时: (: (入射光频率偏离谱线中心频率时入射光频率偏离谱线中心频率时) )0 可见可见: 只要只要 , 则则 , 仍有饱和效应仍有饱和效应. 0 I0nn210sII在处sII 时0022220220220432)2/()2/(2)2/()2/(2)1 ()2/()()2/()(nnnIInsn0n20n043n2200220000)2)(1 ()()2()(1)()(g1IInIIngIInnsss0 0 结论结论: :不论不论v是否偏离是否偏离v0 0均有饱和效应均有饱和效应; ; 偏离偏离v0越远越远, , 饱和作用越弱饱和作用越弱. .(3).(3).为了更具体地说明频率对为了更具体地说明频率对 n的影响，令腔中光强都等于的影响，令腔中光强都等于Is，根据上式，根据上式算出几个频率下的算出几个频率下的 n值。如下表所示。随着频率对中心频率的偏离，光值。如下表所示。随着频率对中心频率的偏离，光波对粒子数密度反转