《弧度制》(北师大版)

1、2021-12-1412021-12-1422021-12-1431.角的概念的推广角的概念的推广2.象限角象限角3.终边相同的角终边相同的角 使使角的顶点与原点角的顶点与原点重合，角的重合，角的始边与始边与x x轴正半轴轴正半轴重重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，我合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。们就说这个角是第几象限角。 所有所有与角与角 终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角 在内，可构成在内，可构成一个集合一个集合 0360 ,SkkZ 在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，量角，

2、1 1的角是如何定义的？的角是如何定义的？ 我们把圆周分成我们把圆周分成360等份，那么每一等份所对的等份，那么每一等份所对的圆心角的度数就是圆心角的度数就是1.这种用度做单位来度量角的单位制叫做这种用度做单位来度量角的单位制叫做角度制角度制. . 引引 入入角度制中，角度制中，1 16060，116060，)601( 1 ,)601( 10 在角度制下，当把两个带着度、分、秒在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难那么我们十进制，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角

3、能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？做呢？ 角度制角度制在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度度量角的制度弧度制弧度制，它是如何定义呢？，它是如何定义呢？在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应一对应.当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等长不相等. 探讨探讨半径rr1=1r2=2r3=3r4=4弧长L弧长与半径的比值当当n=300时时可以公式可以公式L=180r

4、n663223666计算弧长计算弧长新 课 讲 解 实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数对的弧长与半径的比是常数.称这个常数为该角的弧度数称这个常数为该角的弧度数.能否用弧长来定义角的大小呢能否用弧长来定义角的大小呢?Rla 新 课 讲 解 弧度制定义弧度制定义 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度的角思考:如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l,那么的弧度数是多少? 角角的弧度数的绝对值是的弧度数的绝对值是 , =lr的正负由角的正负由角的终边旋转方向决定的终边旋

5、转方向决定.r为半径为半径, l为角为角所对弧的长所对弧的长.新 课 讲 解 新 课 讲 解 用用“弧度弧度”与与“度度”去度量每一个角时，去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算可以相互换算 角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算 弧度与角度的换算弧度与角度的换算lr= 则则AOB= 2rad此角为周角此角为周角 即为即为360360= 2 rad180= radl=2 rOA(B)r若若l=2 r， 1=rad1800.01745 rad1 rad

6、=30.57=5718180360= 2 rad180= rad67 3067.5367 3067.51808radrad解解 67 30 角度制与弧度制互化时要抓住角度制与弧度制互化时要抓住 180= rad 这个关键。这个关键。518057512121804544解解 （1）（2）11 8 0ra d1801()rad角度弧度06012013527042652306453902334150180323600填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表注：注：1.用弧度为单位表示角的大小时，用弧度为单位表示角的大小时，“弧度弧度”二二字通常省略不写，但用字通常省略

7、不写，但用“度度”（ ）为单位不能）为单位不能省。省。2.用弧度为单位表示角时，通常写成用弧度为单位表示角时，通常写成“多少多少”的形式。的形式。问题问题在弧度制下在弧度制下,你能发现角的集合与实数你能发现角的集合与实数集集R之间有什么关系呢之间有什么关系呢?用弧度来度量角，实际上用弧度来度量角，实际上角的集合角的集合 与与实数集实数集R之间建立一一对应的关系：之间建立一一对应的关系：实数集实数集R R角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数对应角的对应角的弧度数弧度数xyoxyo,2zkk,22zkk用弧度表示用弧度表示终边在轴线上的角的集合终边在轴线上的角的集合

8、 xyoxyoZkk,2Zkk ,223Zkk,2Zkk ,22 请用弧度制代替角度制写出各象限角的集合请用弧度制代替角度制写出各象限角的集合（1 1）第一象限角构成的集合）第一象限角构成的集合（2 2）第二象限角构成的集合）第二象限角构成的集合（3 3）第三象限角构成的集合）第三象限角构成的集合（4 4）第四象限角构成的集合）第四象限角构成的集合Zkkkooo,36090360|Zkkkoooo,36018036090|Zkkkoooo,360270360180|Zkkkoooo,360360360270|写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：1、

9、终边与终边与X轴正半轴重合轴正半轴重合；2、 终边与终边与X轴负半轴重合；轴负半轴重合；3、 终边与终边与X轴重合；轴重合；4、 终边与终边与Y轴正半轴重合轴正半轴重合；5、 终边与终边与Y轴负半轴重合轴负半轴重合；6、 终边与终边与Y轴重合轴重合；7、第一象限内的角、第一象限内的角；8、第二象限内的角、第二象限内的角；9、第三象限内的角、第三象限内的角；10、第四象限内的角、第四象限内的角； )(2| )(2| )(| )(22| )(232| )(2| )(222| )(222| )(2322| )(22232| 例3、把下列各角化成的形式：kk，202（1）；（2）；（3）3163157

10、11164433（1）：113277 （3）：8)4()84(48)4(（2）:424731504例例.象象限限试试判判断断下下列列各各角角所所在在的的5)1( 511)2( 32000)3( 1)4(4)5(8)6( 5)1( 250 .5是是第第一一象象限限角角 511)2( 52511 .511是是第第一一象象限限角角 32000)3( 3466832000 2334 又又.32000是是第第三三象象限限角角 )57.1241 .3(210 4例例.象象限限试试判判断断下下列列各各角角所所在在的的4)5(8)6( 1)4(.1是是第第一一象象限限的的角角 234 .4是是第第三三象象限限

11、的的角角.8.56.124,28. 62,14. 3:介于两数之间而得由于分析)84(482384又.8是是第第三三象象限限的的角角 解题思路解题思路,的的角角所所在在象象限限判判断断一一个个用用弧弧度度制制表表示示一一般般是是将将其其化化成成)(2 然然的的形形式式 ,.所所在在象象限限予予以以判判断断后后再再根根据据 不不能能写写成成注注意意 :)()12( .的的形形式式例例,33310的的形形式式写写成成不不能能 342 写成写成而应而应2. 52. 5弧度的角所在的象限为弧度的角所在的象限为( )( )A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限D.D.

12、第四象限第四象限1.1.将分针拨快将分针拨快1515分钟，则分针转过的弧度数是分钟，则分针转过的弧度数是( )( )A.- A.- B. B. C.- C.- D. D. 3232CD 练习练习（1）；（2）；（3）3 3把下列各角化成的形式：把下列各角化成的形式：kk，2023163157114.4.下列角的终边相同的是（）下列角的终边相同的是（）A4kkk，42与与与与B322kk，3C2kkk，2 D 12kkk ，3 练习练习B2111 (2) (3).22(02 )3 lRSRSlRRlS利用弧度制证明下列关于扇形的公式：( ) ； 其中 是半径，是弧长，为圆心角， 是扇例形的面积。

13、扇形的弧长及面积公式扇形的弧长及面积公式 例例 题题 讲讲 解解(2)设扇形所对的圆心角为设扇形所对的圆心角为n(rad)，则，则2213602nSRR(3)又又 R=l，所以，所以lRS21证明：证明：(1) 由公式由公式lRlR 例例 题题 讲讲 解解2021-12-1430例例5 已知扇形的周长为已知扇形的周长为8cm,圆圆心角为心角为2rad,求扇形的面积。求扇形的面积。2021-12-1431弧度制弧度制角度制角度制度量单位度量单位弧度弧度(10(10进制进制) )度度(60进进制制,1,1 =60=60,1=60,1=60 )单位规定单位规定把长度等于半径长把长度等于半径长的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角叫做叫做1弧度的