一元二次方程根与系数的关系

1、第一讲一元二次方程根与系数的关系元二次方程的根的判别式2 b 2 b 4ac兀一次万程ax bx c 0 ( a 0),用配万法将其变形为：(x )22a 4a(1)当b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根:(2)当b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根： 当b2 4ac 0时，方程没有实数根.X1,2b . b2 4ac2ab2a2 一 .因此，把b 4ac叫由于可以用b2 4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.做一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的根的判别式：b2 4ac.次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的两个根为：b b2 4

2、ac b b2 4acxi , x2 .2a2ab . b2 4ac b . b2 4ac b所以：x1 x2 -,2a2aabb24ac b'_ b24ac ( b)2(b24ac)24accxix2 2 -2-2a2a(2a)24a2a定理：如果一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)的两个根为x1, x2 ,那么： x1 x2 ,x1x2 .说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理.上述定理成立的前提是0.22例2：若x1,x2是方程x2 2x 20090的两个根，试求下列各式的值:x；x22； (2)；(x15)( x2

3、5);x1x2(4) | x2 |.例1：已知实数x、y满足x y xy 2x y 1 0,试求x、y的值.说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.例3：已知Xi,X2是一元二次方程4kx2 4kx k 1 0的两个实数根.3(1)是否存在实数k ,使(2xi X2)(xi 2x2)成立？若存在，求出 k的值；若不存2在，请您说明理由.(2)求使土生2的值为整数的实数k的整数值.x2为练习：1 .已知一元二次方程(1 k)x2 2x 10有两个不等的实数根，求 k的取值范围2 .若方程2x2 (k 1)x k 3 0的两根之差为1,求k的值.3 .已知关于x的一元二次方程

4、x2 (4 m 1)x 2 m 1 0.(1)求证：不论 m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；111(2)右方程的两根为 x1, x2 ,且满足一 一 一，求m的值.x1 x22第二讲一次函数、反比例函数、二次函数1 .当a 0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为 ,对称轴为直 线；当乂 上_时，y随着x的增大而 ;当乂 B时，y随着x的增大而2a2ab当乂= 7时，函数取最小值 y= .2 .当a0时，函数y = ax2+bx+ c图象开口向下；顶点坐标为 ,对称轴为直线 ；当乂 上一时，y随着x的增大而 ；当乂 B时，y随着x的增大而2a2ab当x= 时，函数取取大值

5、 y=.3 .二次函数的三种表示方式：一般式 顶点式 交点式注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择， 以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形 式：给出三点坐标可利用一般式来求； 给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0). (x2,0)时可利用交点式来求.例1:如图，反比例函数B(n, 1)两点.(1)求反比例函数与一(2)根据图象回答：当k一的图象与一次函数 y mx b的图象交于 x次函数的解析式；x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.例2:求二次函数

6、y=3x2 6x+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小 值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.例3:根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线 y=x+1上，并且图象经过点(3, 1);(2)已知二次函数的图象过点(一3, 0), (1, 0),且顶点到x轴的距离等于2;(3)已知二次函数的图象过点 (一1, 22), (0, 8), (2, 8).巩固练习1 .若函数y ax 2a 1在1 x 1上的值有正也有负，则 a的取值范围是 2 .若关于x的一元二次方程x2x+a4=0的一根大于零、

7、另一根小于零，则实数a的取值 范围是.3 .二次函数y=x2+2#x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 4 .把函数y=(x1)2+4的图象向左平移2个单位，向下平移 3个单位，所得图象对应的 解析式为.第三讲解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法x a 0,:例1： （1）解关于x的不等式组2x 3 1二、一元二次不等式及其解法形如ax2 bx c 0（或 0）（其中a 0）的不等式称为关于 x的一元二次不等式三个“二次”（即：一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程）的关系如下表：判别式A= b24ac2>0A= 0水0二次函数y=ax2+ bx+ c（a>0）的图象

8、一二次方程ax2+bx+ c= 0（a>0）的根ax2+bx+c>0(a>0)的解ax2+ bx+ c<0(a>0)的解例2：解下列不等式：2一一 一一一一 一(1) x x 6 0；(2)(x 2)(x 3) 6(3) (x 1)(x 2) (x 2)(2x 1)例：3：已知关于x的不等式kx2 (k2 1)x 3 0的解为 1 x 3,求k的值.二、简单分式不等式的解法 例4:解下列不等式：2x 3x 10；(2)70.例5：解不等式- 3. x 2三、含绝对值不等式的解法例6:解不等式： x 1 3；(2) |x 3 x 2 7 ； 练习：1 、二次函数 y

9、3x2 6x 5 的图像的顶点坐标是.2、如果x2(a b) x 5bx2 x 30 ，则 b .23、 若 2 是关于 x 的一元二次方程x2 3mx 100的一个根，则m .4、若一次函数y (1 2k)x k 的图像不经过第二象限，则 k 的取值范围是.5、若函数y x b2与y 2x 4的图像交于x轴上一点A,且与y轴分别交于B , C两 点，则 ABC 的面积为 .6、 已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程2x2 8x 7 0 的两个根， 则这个直角三角形的斜边长为 .7、当 2 x 2时，函数 y x2 2x 3 的最大值为 .8 、不等式x x2 6 0 的解为 .29 、

10、 已知关于 x 的方程 2x2 3x m 1 0 的两个实根同号， 则实数 m 的取值范围为 .210、函数y ax2 3x 1 的最小值大于0，则实数a 的取值范围为 .11、两个数的和为60，它们的积的最大值为 .212 、如果不等式ax ax 1 0 无解，则 a 的取值范围是.13、已知M (3,2), N(1, 1),点P在y轴上，且PM PN最短，则点P的坐标为.14 、解下列不等式：2(1) x 3x 18 0 ；3x 1八(2)-; 2；2x 1215、已知关于x的不等式mx x m 0的解是一切实数，求 m的取值范围.16、解关于x的不等式(m 2)x 1 m .217、已知关于x的方程(k 1)x(2 k 3)x k 1 0有两个不相等的实数根 ox2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k ,使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 k的值；如果不存在, 请说明理由.,1 218、已知二次