《多元函数微积分》word版

1、第六章多元函数微积分教学重点：本章重点讲授多元函数的基本概念、偏导、全微分、复合函数微分法与隐函数微分法、多元函数的极值及其求法、二重积分的计算。 教学难点：本章难点为复合函数微分法与隐函数微分法、多元函数极值的求法、二重积分的计算。教学内容：在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数.但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系.由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题.本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学.讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关

2、的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数第1次课 2学时本次课教学重点：空间直角坐标系、空间两点间的距离、曲面及其方程。本次课教学难点：曲面及其方程本次课教学内容：第六章多元函数微积分第一节空间解析几何简介空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就.它通过点和坐标的对应，把数学研究的两个基本对象“数”和“形”统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.本节我们仅简单介绍空间解析几何的一些基本概念，它们包括空间直角坐标系、空间 两点间的距离、空间曲面及其方程等概念.这些内容对

3、我们学习多元函数的微分学和积分学 将起到重要的作用.一、 空间直角坐标系在平面解析几何中， 我们建立了平面直角坐标系， 并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组（即点的坐标（x,y）对应起来.同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起 来，我们来建立空间直角坐标系 .过空间一定点 O,作三条相互垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （如下图）.三个坐标轴的止方向 符合右手系.横轴空间直角坐标系空间直角坐标系有右手系和左手系两种.我们通常采用右手系.即以右手握住工箱, 当右手的四个手指 从正向"粕川角 2 度转

4、向正向J'轴 时，大揖指的指向 就是：轴的正向.空间两点间的距离2,、2,、2| MlM 2 | . (X2 Xi)(y2 yi)(Z2 Zi).例 1 求证以式4aAf式If3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是个等腰三角形.解 MM=(7-4)1 1 (1-3/ + (2厅=14,3r = (5- 7y l (2 -I)2 I (3 - 2y = 6,|“3”一(4-5f，(3 2)二十 a 3y =6,M2M3 =M一八卜原结论成立例2设微 轴上，它到片(0*2,3)的距离为到点七仲,1,-1)的距离的两倍，求点尸的坐标.解 困为尸检 轴匕设P点坐标为口M*),m *7+百+亨

5、=疗俨用二次“/i? = VT1,丁 理 | 二 21Pg. /.=2-12=±1, 所求点为。/排卜三、曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程 F(x, y,z) 0,而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，那么方程F(x, y,z) 0称为曲面S的方程，而曲面S就称为方程F(x,y,z) 0的图形空间曲面研究的两个基本问题是 ：(1)已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程；(2)已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面.可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程Ax By Cz D 0(1.3)来表示，反

6、之亦然.其中A、B、C、D是不全为零常数.方程(1.3)称为平面的一般方程. 柱面定义2平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，与曲面一系列的交线(即截痕)我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面,从而得到平面,通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌.这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法2 X 椭球面 3a1 (a 0,b 0,c 0) (1.4)椭圆抛物面2x2p2y2q(p与q同号)双曲抛物面2x2p2y2q(p与q同号)单叶双曲面1 (a 0,b 0,c 0)2X

7、双叶双曲面3a2 y b2(a 0,b 0,c 0)2二次锥面与a2 y b20 (a 0,b 0,c 0)例3.建立球心在点M 0 (x0, y0, z0)、半径为R的球面方程解：设M (x,y,z)是球面上任意一点，根据题意有MM0 R 即.,(x x。)2 (y y。)2 (z z。)2R222_ 2(x x°)(y y°)(z z0) =R特别地，当球心在原点时，球面方程变为：2222x y z R例4.求通过x轴和点(4, 3, 1)的平面方程.解：依题意，因为所求平面通过x轴，即平面平行于x轴且通过坐标原点，从而可设方程为：By Cz 0(1)又因为平面过点(4

8、, 3, 1),因此有-3B C 0C 3B以此代入方程(1),再除以B(B 0),便得到所求方程为y 3z 0例5.设平面在坐标轴上的截距分别为a 3,b4,c 5,求这个平面的方程解：由已知条件a 3, b 4,c 5,得到所求平面方程为x y z 13 4 5教学组织：课后留十分钟给学生问问题，解决学生提出来的难题。作业布置：1、习题 6-1 第 7、8、18、19 题。本次课推荐和参考文献1、夏建业，微积分，兰州大学，2004年2、赵树嫄，微积分，中国人民大学，2004年3、马志敏，高等数学辅导，中山大学，2004年课后自我总结分析：理论和实例讲解结合较好，深入浅出，学生较容易理解、掌

9、握。第2次课2学时 本次课教学重点：平面区域的概念、多元函数的概念、二元函数的极限本次课教学难点：二元函数的极限本次课教学内容：第六章多元函数微积分第二节多元函数的基本概念一、多元函数的概念(1)邻域设是与明平面上的一个点J 3是某 一正数，皆演，防)距离小于5的点P(My) 的全体，称为点耳的J邻或 记为以4,0，u(m=ppp.<s- £谓=1七力/工一出尸+(7一<卜一/(2)区域设E是平面上的一个点集，F是平面上的 一个点,如果存在点P的某一邻域。(P)uE, 则称P为E的内点的内点属于必-E如果点集E的点都是内点 则称£为升集例如，右=(匹即为开案.如

10、果点的任一个邻域内既有*属于目的点, 也有不属于E的点(点P本身nJ以属于也 可以不属于司)，则称P为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界.设。是开集.如果对于&内 任何两卓，都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于D,则称 开集D是连通的.连通的开集称为区域或开区域.例如， (x,y)l<+y2 <4.x开区域连同它的边界一起称为囱区域例如,对于点集£如果存在正数R,使一切点 PwE与某一定点/间的距离NP|不超过K , 即 |4尸|£ K对一切PcF成立，则称切为有界点第,否 则称为无界点集.例如，."(x,y)<x2y2 &l

11、t;4有界闭区域：o (J，J) | * 十 J > 0无界开区域.二、多元函数的概念定义1设D是平面上的一个非空点集，如果对于 D内的任一点(x,y),按照某种法那么f ,都有唯一确定的实数 z与之对应，那么称 f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值 记为f(x,y),即z f(x,y),其中x, y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的 定义域，数集z|z f(x,y),(x, y) D称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数.当n 2时，n元函数统称为多元函数例1求八*M卢美:一)的定义域.所求定义域为 D = *,夕）2<x2 + y2 <4,x

12、 ：>/?二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面.例如.S = SlllAfF的形如右图.例如必十/十L=4 左图球面.单值分支产三、二元函数的极限定义2设函数z f(x,y)在点Po(Xo，yo)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y)无限趋于点Po(Xo，yo)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数 A ,那么称 A为函数z f(x,y)当(x,y) (xo，y。)时的极限.记为lim f (x, y) A . x x0 y yo或f(x,y) A (x, y) (xoyoQ也记作lim f (P) A 或 f (P) A (PP0)p P二元函数的极限与一元函数的极限具有相同

13、的性质和运算法那么，在此不再详述.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限四、二元函数的连续性定义3设二元函数z f (x, y)在点(x°, y°)的某一邻域内有定义，如果lim f (x, y) f(xo,yo), x xo y yo那么称z f (x,y)在点(x0,yo)处连续.如果函数z f(x, y)在点(x°, y°)处不连续，那么称函数z f (x,y)在(xo，yo)处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四那么运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四那么运算和复合所构成的可用一个式子表示的

14、二元函 数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可特别地，在有界闭区域 D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满 足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.定理1 (最大值和最小值定理)在有界闭区域 D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2 (有界性定理)在有界闭区域D上的二元连续函数在 D上一定有界.定理3(介值定理)在有界闭区域 D上的二元连续函数，若在D上取得两个不同的函数 值，那么它在D上取

15、得介于这两值之间的任何值至少一次.ffl 5讨论函数了(，")=e+了”在(。网的连续性.0, 小十/一0解取例。求liin元TO解原式=limmW3=lim-=物 Jw+l+ 1)xJxp + 1 + l一 2教学组织：课后留十分钟给学生问问题，解决学生提出来的难题。作业布置：1、习题 6-2 第 3 (5)、4 (1) (3) (5)题。本次课推荐和参考文献1、夏建业，微积分，兰州大学，2004年2、赵树嫄，微积分，中国人民大学，2004年3、马志敏，高等数学辅导，中山大学，2004年课后自我总结分析：理论和实例讲解结合较好，深入浅出，图形结合，学生较容易理解、第3次课2学时本次

16、课教学重点：偏导数的定义及其计算法、偏导数的几何意义和经济意义、高阶偏导数。 本次课教学难点：偏导数的定义及其计算法、高阶偏导数。本次课教学内容：第六章多元函数微积分第三节偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数z f (x, y)在点(X0，y0)的某一邻域内有定义，当 处有增量 x时，相应地函数有增量f (X0x, y0) f(X0,y°),如果lim f(x")f(X0,y0)存在，那么称此极限为函数zX 0y固定在y0而x在X0f (x, y)在点(X0，y0)处对x的偏导数，记为例如，有xoy0x xoy y。Zx x xo y y。fx（x。，y。）.f（x

17、。x, y。） f （xo, yo）fx（x。, y。）lim .x。x类似地，函数z f （x,y）在点（,y。）处对y的偏导数为记为limyxoy。f（xo,y。y）f（xo,y。）yxoy。Zy x xo y y。fy（x。，yo）.上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数, 然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法那么来计算之偏导数的概念可以推广到二元以上函放如利=JUj-H）在（1第幻处工（覆此幻叫&TUAv尸网八招叫£一 JX* J阂3个十”在点（1,乃处的体导数.*导2"卜"x.i = 2/1.十3x2

18、 = 8 ,ft=Sxl + 2x2 = 7,例2求z xy的偏导数.及xy In x例3设，而守彳啜噜妙=y1x2+j出=(-7=1 j I)不存在.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：(1)对一元函数而言，导数dy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商.但偏导数的记号_u是一个整体. x(2)与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求(3)在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，那么它在该点必定也不能保证函数在该点连续连续.但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在, 例4试证函数xyf (x, y)0,(x, y) y(x, y)(0,0

19、)的偏导数fx(0,0), fy(0,0)存在,(0,0)但f (x, y)在(0,0)点不连续。证：在点(0,0)的偏导数为fx(0,0)limnx 0f(0x,0) f (0,0)lim 0,x 0 xfy(0，0)lym0f(0,0 y) f(0,0)ylim -0.x 0 y即偏导数fx(0,0), fy(0,0)存在。但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为z f(x,y) , M0(X0, y0, f(X0，y。)是该曲面上一点，过点M。作平面 y y0 ,截此曲面得一条曲线，其方程为z f(x, y0)y V。那么偏导数fX(x0, y

20、0)表示上述曲线在点 M0处的切线M0TX对x轴正向的斜率(如下图所示).同理，偏导数fy(x0，y°)就是曲面被平面x x°所截得的曲线在点 M0处的切线M°Ty 对y轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量 Q Q(p, y),其中p为该产品的价格，y为消费者收入记需求量Q对于彳格p、消费者收入y的偏改变量分别为pQ Q(p p, y) Q(p, y),和yQ Q(p,y y) Q(p,y).易见，一pQ表示Q对价格p由p变到p p的平均变化率.而 plpm0pQp表示当价格为p、消费者收入为y时，Q对于p的变化率.称为需求Q对价格p的偏弹性.一一y

21、Q同理，表小Q对收入yyliymoyQ表示当价格p、消费者收入为EyliymoyQ/Qy/yEplipmopQ/Qp/p由y变到y y的平均变化率.而y时，Q对于y的变化率.称为需求Q对收入y的偏弹性.五、高阶偏导数设函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数fx(x, y), fy(x, y),y那么在D内fx(x,y)和fy(x, y)都是x、y的函数.如果这两个函数的偏导数存在，那么称 它们是函数z f(x, y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏2 z一fxy(x,y),x y导数:2-2fxx(x, y),xyfyx(x,y), 一 y2zfyy(x，y)，

22、 y其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数类似地，可以定义三阶、四阶、以及n阶偏导数.我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数当（工4）-（0期时，按定义可知:X (O,O)= Bn工(0,0) = pmAx/他 0)警0=Um= 0,Ar0bin4，* Ap工即*笔丛%=0, 比-0 aZ(Av.o)-r4(0,0) = lim 七:'' Lt»Ar显然人/。四步/逮。,1).同题士具备怎样的条件才能使混合儡导数相等?22定理1如果函数zf （x, y）的两个二阶混合偏导数一z及一-在区域D内连续，那y x x y2么在该区域内有一zy x例8验证函数双占用=加小

23、47满足拉普技斯方程空赍伏柒 Xat /十 jfir2 (x2 + X)（二+»'科掘（/+/）尸2y 炉一，才评飞+/广十（M十万教学组织（含课堂教学方法、 出，难点如何解决等）： 课后留十分钟给学生问问题, 作业布置：1、习题6-3 第1 （1）本次课推荐和参考文献辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突解决学生提出来的难题。(3) (9)题。1、夏建业，微积分，兰州大学，2004年2 、赵树嫄， 微积分 ，中国人民大学， 2004 年3、马志敏，高等数学辅导 ，中山大学， 2004 年课后自我总结分析：理论和实例讲解结合较好，深入浅出，图形结合，学生较容易理解

24、、掌握，效果不错。第 4 次课 2 学时本次课教学重点：微分的定义、函数可微的条件、微分的计算。本次课教学难点：微分的定义、微分的计算。本次课教学内容：第六章 多元函数微积分第四节 全微分我们已经知道， 二元函数对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量固定时， 因变量对另一个自变量的变化率. 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得f(x x,y) f(x,y) fx(x, y) xf(x, y y) f(x,y) fy(x,y) y上面两式左端分别称为二元函数对 x 和对 y 的偏增量，而右端分别称为二元函数对x 和对 y的偏微分 .在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量

25、时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题 . 下面以二元函数为例进行讨论.如果函数z f(x,y)在点P(x, y)的某邻域内有定义，并设P(x x, y y)为这邻域内的任意一点，那么称f (x x, y y) f (x, y)为函数在点 P 对应于自变量增量x,y 的全增量，记为z ，即z f (x x, y y) f(x, y).(4.1)一般来说，计算全增量比较复杂. 与一元函数的情形类似，我们也希望利用关于自变量增量x, y 的线性函数来近似地代替函数的全增量z ， 由此引入关于二元函数全微分的定义.一、微分的定义定义 1 如果函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 的全增量

26、z f (x x, y y) f (x, y)可以表示为z A x B y o( ),(4.2)其中A,B不依赖于 x, y而仅与x, y有关， J( x)2 ( y)2,那么称函数z f(x,y)在点(x, y)可微分，A x B y称为函数z f (x, y)在点(x, y)的全微分，记为dz,即dz A x B y .(4.3)若函数在区域 D内各点处可微分，那么称这函数在D内可微分.二、函数可微的条件定理1 (必要条件)如果函数z f(x, y)在点(x, y)处可微分，那么该函数在点(x,y)的偏导数-z,-z必存在，且z f (x, y)在点(x,y)处的全微分 x y zzdz

27、x y.(4.4)xy我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件.但对于多元函数那么不然.定理1的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条 件.由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况.但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性.一般地，我们有：定理2 (充分条件)如果函数z f (x, y)的偏导数,在点(x, y)连续，那么函数在 x y该点处可微分.三、微分的计算习惯上，常将自变量的增量 x、y分别记为dx、dy,并分别称为自变量的微分.这

28、样，函数z f (x, y)的全微分就表为dz -zdx - dy.(4.5)x y上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去.例如，三元函数u f(x,y,z)的全微分可表为, u . u , u .du dx dy dz.(4.6)x y z教学组织(含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出，难点如何解决等)：课后留十分钟给学生问问题，解决学生提出来的难题。作业布置：1、习题 6-4 第 1 (1) (3)、2、4 题。本次课推荐和参考文献1、夏建业，微积分，兰州大学，2004年2、赵树嫄，微积分，中国人民大学，

29、2004年3、马志敏，高等数学辅导，中山大学，2004年课后自我总结分析：理论和实例讲解结合较好，深入浅出，图形结合，学生较容易理解、掌握，效果不错。第5次课2学时本次课教学重点：多元复合函数微分法、全微分形式的不变性、隐函数微分法。本次课教学难点：多元复合函数微分法、全微分形式的不变性、隐函数微分法。本次课教学内容：第六章多元函数微积分第五节复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数微分法1 .复合函数的中间变量为一元函数的情形fu(t),v(t)dz z du z dvdt u dt v dt(5.1)公式(5.1)中的导数 电 称为全导数dt.如下图所示:2、复合函数的中间变量为多元函

30、数的情形设 z f(u,v), u u(x,y), vv(x,y)构成复合函数 z f u(x, y), v(x, y),(5.3)(5.4)如下图所示:设函数z f(u,v),u u(t),v v(t)构成复合函数z3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3如果函数u u(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数,函数v v(y)在点y可导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z fu(x,y), v(y)在对应点(x, y)的两个偏导数存在,且有zzu(5.7)(5.8)f u(x, y), x, y中的y看作不变而,xuxzzuzdv

31、yuyvdy注：这里_z与_L是不同的， 二 是把复合函数z x xx对x的偏导数，一f是把函数z f (u, x, y)中的u及y看作不变而对x的偏导数.一z与一L xy y也有类似的区别.在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号：2 -f(u,v) f(u,v)f(u,v)fl, f2, f12,uvu v这里下标1表示对第一个变量 u求偏导数，下标 2表示对第二个变量 v求偏导数，同理有fll ,f22 ,例 1 设1=而“ =v = cosZj求全导数生.dt解 血 & dx* 0心化 dt dii (U dt dt=-Hsint + cost=cosf- sinf

32、+cosf=e! (cos/ sin /) + cos/.例2设七= 力而整=个,v= x-yr求它和电,M 氏 & 加氏 加JK - = + =Sr du 小加&二 siii v - y+eu cosv-1 =uCrsiiiv+ cosv),a： _ a加改加牙加为 Sv Syeu sin v-* +。" cosv-1 =H(xsinv4- cosv).例3设伸=/（尤+7+ /切），/具有二阶 连续偏导数，求怨和之.Qv &&曾=孙蠹比侬刃 人工一加加笈解令 u= x+ y + z、如I鲤） 记 Jl 五 ）du同理有力，/i + H力;Sw _

33、Qf dn df dv 3x dtt 3tx dv 3tx3GM=T 野dxdz && a婴=誓察普9公+的康8z on oz dv dz加明加 一 明=- + -ay21 + WarC5 加曲 加比a2于是个=珀+叼£+W?+找(石斗访) dvc%=fn + y(x +幻/i； + H/； + yfi二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法那么，可得到重要的全微分形式不变性.以二元函数为例,设z f(u,v), u u(x, y), v v(x, y)是可微函数，那么由全微分定义和链式法那么，有z z z u zdz dx dy 一v dx xz uz v ,

34、dy u yv yz u . u . dx - dyz v .一 一dx v xdyyz .z .du dv. uv由此可见，尽管现在的u、v是中间变量，但全微分dz与x、y是自变量时的表达式在形式 上完全一致.这个性质称为全微分形式不变性 .适当应用这个性质，会收到很好的效果例4已知不照一2七+-= 0,小和生.及 dy解'/。w - 2 /: 01txf) 2dM -= 0”(/ 2)dz 尸力 + jwiv)az dv +ot(/一)(-2) /dz _ yL出_代加 /-之'为 "-2三、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化

35、而直接由方程F(x,y) 0(5.11)来求它所确定的隐函数的导数的方法 .这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法那么建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4设函数F(x,y)在点P(x0, y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且Fy(x0,y0) 0, F(xo,yo) 0,那么方程F(x,y) 0在点P(x°, y°)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y f(x),它满足y0f(x0),并有(5.12)dyFxdxFy例5验证方程/十产-1-0在息(0J)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且上二。时,

36、p=1 的隙函数=")，并求这函数的一阶和二阶导 数在K=0的值.解令 F(xiy)= + j2 -1则g=2,r? Fy = 2M尸，0.1) = 0. 工(0J) = 2#依比理知方程r十7'-1 = 0在点0.1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导 氏=0时T=1的 函数，=/(十).函数的一阶和二阶导数为理=_区=上剪dx f； ''改日例6已知加/?十丁 =arctan，求包dx解 令 F(x.y = In 旧 + /- arctan'p定理5设函数F (x, y, z)在点p(xo, y0,Zo)的某一邻域内有连续的偏导数,且F(Xo,yo

37、,Zo) 0,Fz(xo, yo, zo) 0,那么方程F (x, y, z) 0在点P(xo, yo,zo)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数白函数z f(x, y),它满足条件z0 f(x0,y0),并有z Fx zFyxFz' yFz(5.14)例7 设*' +/4； = Oj 求St令 产（孤/工）=/4，斗广-4Z,则理= 2x, ，,卡=六a、 （2-0 bx （i-i）+x-v _ dv 匚二当靖一匹丁 （2-1（2£/+ /(D例8设./（ +产+ “ xyz）,求"，当,至声 夺 诙思第：把5看成明/的函数对*求偏导把1看成z

38、 V的函数对L求偏导致空 0V把y看成乱工的歪数对球偏导数得/. ft解令押=工十/十芸,v = xyz.则 Z = f(U)t把不看成% J的函数对M求偏导数得Map琮）十/ m十唠）,&X整理得dx 1-元-的把天看成“V的函数对p求偏导数得0 =片（三卜1）*/收4/工布）， 那卬整理得生二 兀十招T,前几十yf v把，看成上遥的函数对；求偏导数得 f堂十DM3喂,整理福教学组织（含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出，难点如何解决等广课后留十分钟给学生问问题，解决学生提出来的难题。作业布置：1、习题 6-5 第 2、4、9 （1）、17、20 题。

39、本次课推荐和参考文献1、夏建业，微积分，兰州大学，2004年2、赵树嫄，微积分，中国人民大学，2004年3、马志敏，高等数学辅导，中山大学，2004年课后自我总结分析：理论和实例讲解结合较好，深入浅出，图形结合，学生较容易理解、掌握，效果不错。第6次课2学时本次课教学重点：二元函数极值的概念及其求法、二元函数的最大值与最小值、条件极值拉格朗日乘数法。 本次课教学难点：二元函数的最大值与最小值、条件极值拉格朗日乘数法。本次课教学内容：第六章多元函数微积分第六节多元函数的极值及其求法一、二元函数极值的概念定义1设函数z f（x,y）在点（X0，y0）的某一邻域内有定义 ，对于该邻域内异于（X0,

40、y°）的任意一点（x, y）,如果f （x, y）f（X0,y0）,那么称函数在（, y°）有极大值；如果f (x, y)f(X0,y°),那么称函数在(Xo, y°)有极小值；极大值、极小值统称为极值 .使函数取得极值的点称为极 值点.例1函数E =44人工在现处有极小值.例2函数1=-/八+炉 在(。处有极大值.例3函数芸=专，在(0曲处无极值.定理1 (必要条件)设函数z f (x,y)在点(Xo,yo)具有偏导数,且在点(Xo,y°)处有极 值，那么它在该点的偏导数必然为零，即fx(Xo, yo)0, fy(Xo,yo) 0.(6.1)

41、与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的 驻点.定理2 (充分条件)设函数z f (X, y)在点(Xo, yo)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又 fX(Xo,yo) 0, fy(Xo，y。) 0.令fXX(Xo，yo) A, fXy(X0,y°) B, fyy(X0,y°) C.(1)当AC B2 0时，函数f (X, y)在(X0,y0)处有极值，且当A 0时有极小值f(X0,y0)； A 0时有极大值f(X0,y°)；一 _ 2 一. 一-,一 ，,一(2)当AC B 0时，函数f(X,y)在(X0,y°)处

42、没有极值； 2(3)当AC B2 0时，函数f(X,y)在(X0,y°)处可能有极值，也可能没有极值.根据定理1与定理2,如果函数f(X,y)具有二阶连续偏导数，那么求 z f(X, y)的极 值的一般步骤为：第一步 解方程组fX(X,y) 0, fy(X,y) 0,求出f(X,y)的所有驻点；第二步 求出函数f(X, y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据AC B2的符号判定驻点是否为极值点 .最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值例4球由方程/+V2工+ 2产-4-10 = 0 确定的函数宅=/(对刈的极值解 将方程两边分别对*,7求偏导'2x 2

43、工,三一2-4矍=02"2门；+2-% =0由函数取极值的必要条件知.驻点为尸(1,一1), 将上方程组再分别对方, y求偏导教，a=MIp= * 超=宕点卜=% c=w；/p=,乙一匕工一工故后工XU 1.0 « #2),函数在P有极值12 - 2)梅尸(1厂船代入原方程，有之=2,幻=«当见二一工时，H = > 0, 4所以上=/(1,-1) = -2为极小值；当孙=6时，A = - <(J.4所以：-F【L -1> 6为极大值二、二元函数的最大值与最小值求函数f (x, y)的最大值和最小值的一般步骤为(1)求函数f(x, y)在D内所有驻

44、点处的函数值；(2)求f (x, y)在D的边界上的最大值和最小值 ；(3)将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数f(x, y)的最大值(最小值)一定在 D的内部取得，而函数 f (x, y)在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 f(x, y)在D上的最大值(最小值).jr + V因为Mm r- = 0先4龙1+ y2 t 1即边界上的值为零.吟*)*所以最大值为卷，最小值加妥.无条件极值：时自变量除了限制在定义境内 外，并无其他条件.三、条件极值 拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题

45、， 对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值 .但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条 件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数f (x, y)和(x, y)在区域D内有一阶连续偏导数，那么求 z f (x, y)在D内 满足条件(x, y) 0的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数L(x,y, ) f(x, y) (x, y) (其中为某一常数)的无条件极值问题.于是，求函数z f(x,y)在条彳(x, y) 0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1)构造拉格朗日函数L(x, y, ) f(x, y)

46、 (x, y)其中为某一常数；(2)由方程组Lxfx(x,y)x(x,y) 0,Lyfy(x,y)y(x,y) 0,L (x,y) 0解出x, y,其中x, y就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论.不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求 的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形：例7 日正数12分成三个正数8/之和使得 .二一代为最大.解 令产（右j，=炉产+4（工+,十岑-12）,F； = 3/7，+又二。久一 2/羯+ 4-。则23、.Fz =

47、*'/ +么=0x y I 齿=12解得唯一驻点（6,42）,故最大值为"a二。V-2=6912.教学组织（含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出,难点如何解决等）：课后留十分钟给学生问问题，解决学生提出来的难题。作业布置：1、习题 6-6 第 1 （1）、（5）、3、6 题。本次课推荐和参考文献1、夏建业，微积分，兰州大学，2004年2、赵树嫄，微积分，中国人民大学，2004年3、马志敏，高等数学辅导，中山大学，2004年课后自我总结分析：理论和实例讲解结合较好，深入浅出，图形结合，学生较容易理解、掌握，效果不错。第7次课2学时本次课教学重点：

48、二重积分的概念、二重积分的性质。本次课教学难点：二重积分的概念。本次课教学内容：第六章多元函数微积分第七节二重积分的概念与性质二重积分的概念定义1设f（x,y）是有界闭区域 D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域n,其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点（i, i）,作乘积f( i, i) i, (i 1,2, ,n)并作和nf( i, i) i,i 1如果当各小闭区域的直径中的最大值数f(x,y)在闭区域D上的二重积分趋近于零时，这和式的极限存在，那么称此极限为函,记为f (x, y)d ,即Df (x, y)dDnf( i, i) i (7.2)i 1其中f(

49、x, y)称为被积函数，f(x, y)d称为被积表达式，d 称为面积微元，x和y称为积i, i) i为积分和.n分变量，D称为积分区域，并称 f( i 1对二重积分定义的说明(1)如果二重积分f(x, y)d 存在，那么称函数 f (x,y)在区域D上是可积的.可以D证明，如果函数 f(x,y)区域D上连续，那么f(x, y)在区域D上是可积的.今后，我们总假定被积函数f(x, y)在积分区域D上是连续的；(2)根据定义，如果函数 f (x, y)在区域D上可积，那么二重积分的值与对积分区域的分割方法无关，因此，在直角坐标系中，常用平行于x轴和y轴的两组直线来分割积分区域Di的边长为 为和yj

50、,于是 ixi yj.故在直角坐标系中，面积微元 d 可记为 dxdy .即 d dxdy.进而把二重积分记为f (x, y)dxdy ,这里我们把dxdy称为直角坐标系下的面积微元 D二、 二重积分的性质类似于一元函数的定积分，二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质的证明类似.性质1当曲为常数时，DD性质 2 fj官D=J，门龙土 JJ的汇清ftiri-Her+ rT +2.rp + 16viZ0工”2 1的值,解 量住,)-+区域面积仃2,在D±/(.v,j)的最大值 M-(.v= J = O)4/(*,)的最小值 m ,-(元二15尸=2)V3 +45故 工00,

51、4£1兰05.54例3判断I)必的符号冲一加*当r -恸十国flit, 0<一 +/工刎+眸口£1, 故 ln(x2 + y2) <0;又当 国+"卜1时.InfV+，)<。，于是 JJln( Af2 I< 0.冏研.例 4 比较积分I y)4T与JJln(；r I rd的大其中D是二角形闭区域，二顶点各为(1,0%O，DP"),1f解三角形斜边方程xy-2在 D 内有 l N 、& im x+y) <i,i r于是呵*+v >皿*+川匕因此 JJln(.v -+ y)da >Jln( x + j):da

52、. DD教学组织(含课堂教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计、重点如何突出，难点如何解决等)：课后留十分钟给学生问问题，解决学生提出来的难题。作业布置：1、习题 6-7 第 1 (1)、(3)、2 (1) (4)题。本次课推荐和参考文献1、夏建业，微积分，兰州大学，2004年2、赵树嫄，微积分，中国人民大学，2004年3、马志敏，高等数学辅导，中山大学，2004年 课后自我总结分析：理论和实例讲解结合较好，深入浅出，图形结合，学生较容易理解、掌握，效果不错。第 8 次课 2 学时本次课教学重点：区域分类、 二重积分的计算、 交换二次积分次序的步骤、 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算。本次课教学难点：区域分类、二重积分的计算。本次课教学内容：第六章 多元函数微积分第八节 在直角坐标系下二重积分的计算本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算， 转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分. 本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算.、区域分类X 型区域： ( x, y) | a x b, 1(x) ya,b 上连续 . 这种区域的特