复变函数63_辐角原理及其应用

1、6.3.1 对数留数6.3.2 辐角原理6.3.3 儒歇定理6.3 辐角原理及即应用辐角原理及即应用6.3.1 对数留数对数留数1( )2( )Cfzdzif z定义：形如定义：形如积分称为积分称为f(z)的对数留数的对数留数主要作用：推出辅角原理主要作用：推出辅角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多项式零点个数的问题显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点.)()( zfzf对数留数因对数留数因此而得名此而得名1ln( ( )2Cdf zi 证 如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有引理引理6.4 (1)设设a为为f(z)的的n级零点

2、级零点,( )Re( )z afzsnf z (2)设设b为为f(z)的的m级极点级极点( )()( ),nf zzag z1( )()( )()( ),nnfzn zag zzag z( )( )fzf za必为函数的一级极点一级极点,且必为函数 的一级极点一级极点,且( )( )fzf z ( )Re( )z bfzsmf z其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)0.于是 (2)如b为f(z)m级极点 在点b的去心邻域内有( )( )( )( ).fzgznf zz ag z在点a的邻域内解析,( )( )gzg z1( )Re( )z afzscnf z的一级极点,且( )( )()

3、mh zfzzb( )( ).( )( )fzmhzf zzah z( )( )fzf z a必为 h(z)在点b的邻域内解析,且h(b)0.1( )()( )( )()mh zzbmh zfzzb( )( )h zh z在点b解析的一级极点,且故b为( )( )fzf z( )Re( )z afzsmf z 定理定理6.9 设设C是一条围线是一条围线,f(z)合条件合条件:12( )(,)(,),( )CfzdzN f CP f Cif z(6.26) 证证 由第五章习题由第五章习题(二二)14,可知可知f(z)在在C内部至多只内部至多只有有限个零点和极点有有限个零点和极点.设设ak(k=1

4、,2,p)为为f(z)在在C内内部的不同零点部的不同零点,其阶数相应地为其阶数相应地为nk; bj (j=1,2,q)为为f(z)在在C内的不同极点内的不同极点,其阶数相应地为其阶数相应地为mj,(1)f(z)在在C内部除可能有极内部除可能有极 点外是解析的点外是解析的;(2)f(z)在在C上解析且不为零上解析且不为零则则有有式中式中N(f,C)与与P(f,C)分别表示分别表示f(z)在在C内部的零内部的零点与极点的个数点与极点的个数即：即：f(z)在在C内是亚纯的内是亚纯的(2)可改为可改为f(z)在在C上连续且不为零上连续且不为零特别注意几阶算几个特别注意几阶算几个.在在C内部及内部及C上

5、除去在上除去在C内部有一级极点内部有一级极点ak(k=1,2,p)及及bj(j=1,2,q)均是解析的均是解析的.()()fzfz1112( )( )( )ReRe( )( )( )kjpqCz az bkjfzfzfzdzssif zf zf z11()( ,)( ,)pqkjkjnmN f CP f C故由留数定理故由留数定理6.1,及引理及引理6.4得得则根据引理则根据引理(6.4)知知,例例 计算积分计算积分91041| | zzIdzz910101044111101| | |()zzzzIdzdzzz12100210()ii6.3.2 6.3.2 辐角原理辐角原理Cargf(z)表示

6、表示z沿沿C之正向绕行之正向绕行一周时一周时argf(z)的的改变量改变量2( , )( , )arg ( ).cN f CP f Cf z(6.27)特别说来特别说来,如如f(z)在周线在周线C上及上及C之内部均解析之内部均解析,且且f(z)在在C上不为零上不为零,则则(6.28)(2) f(z)在在C内是亚纯的内是亚纯的(3) f(z)在在C上连续且不为零上连续且不为零(1) C是一条周线是一条周线 辐角辐角 原理原理 2arg ( )( , ).cf zN f C 1122( )dln( ) d( )dCCfzdzf zzif ziz xyOuvOw=f(z) 12d ln( )Cf z

7、i 12d|ln( )|Cf zi darg ( )Cif z 000dln|( )|ln|()|ln|()|Cf zf zf z 10darg ( )arg( )CCf zf z 1222arg( )( )arg( )( )CCCf zfzidzf zif zi 622arg( )Cf z 例例6.21 设设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C: |z|=3,试验证试验证 辐角原理辐角原理argf(z)=arg(z-1)(z-2)2(z-4)N(f(z),C)=3argf(z)=arg(z-1)+arg (z-2)2+arg (z-4)=arg(z-1)+2arg (z-2)+ar

8、g (z-4)xyOuvOw=z-1|w+1|=3|z|=3w=z-2|w+2|=3w=z-4|w+4|=3=6 例例6.22 设设n次多项式次多项式 p(z)=a0zn+ a1zn-1+ +an=0 (a0 0）在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面Rez0,及及. 0| )()(| )()(|zzfzzf设设C是一条周线是一条周线,函数函数f(z)及及 (z)满足条件满足条件: (1)它们在它们在C的内部均解析的内部均解析,且连续到且连续到C;(2)在在C上上, |f(z)| (z)|f(z)与与 f(z)+ (z) 在在C内部有同样多的零

9、点内部有同样多的零点,即即 ).(arg)()(argzfzzfcc(6.30)由关系式由关系式1( )( )( )( )( )zf zzf zf z(6.31) 这样一来这样一来,这两个函数这两个函数f(z)与与 f(z)+ (z)都满足定都满足定理理6.9的条件的条件.由于这两个函数在由于这两个函数在C的内部解析的内部解析,于是于是由由(6.28),下面只须证明下面只须证明1( )arg ( )( )arg ( )arg( )ccczf zzf zf zC0z1( )( )zf z图6.1410( )arg.( )czf z根据条件(2),当z沿C变动时. 1| )()(|zfz将z平面上

10、的围线C变成平面上的闭曲线 ,1( )( )zf z借助函数20arg1 即是说,点 不会围着原点 =0 绕行. 11( )( )zf z 全在圆周| -1|=1的内部.推论推论1: 设设n次多项式次多项式 p(z)=a0zn+ atzn-t+an(a00）满足条件：满足条件：|at|a0|+ |at-1|+ |at+1+ +|an|则则p(z)在单位圆在单位圆|z|a0|+ |at-1|+ |at+1+ +|an| (z)|由儒歇定里得由儒歇定里得p(z)=f(z)+ (z)与与f(z)在单位圆内有同样多在单位圆内有同样多的零点，即为的零点，即为n-t个个推论推论2: n次方程次方程 (p(

11、z)=)a0zn+ a1zn-1+ +an=0 (a0 0） 在复数域内有且仅有在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根）个根（几重根就算几个根）1.首先证明存在首先证明存在R0，有有n个根个根R方程在圆方程在圆|z|0无根证证明明1.令，令， f(z)=a0zn, (z)= a1zn-1+ +an=0 则当则当|z|=R时，时， | (z)| a1zn-1|+ +|an| = | a1|Rn-1+ +|an-1|R+|an| ( | a1|+ +|an-1|+|an|) Rn-1 1限定限定| a1|+ +|an|a0|R所以只要取所以只要取101|max,|naaRa有有:当当|z|=R

12、时时,| f(z)| (z)|, f(z), (z)在在|z|R上解析上解析 N(f(z)+ (z),C)=N(f(z),C)=n即即：N(p(z),C)=n2. z0: |z0|=R0R，需证需证:|p(z0)|0| (z0)| | a1z0n-1|+ +|an| = | a1|R0n-1+ +|an-1|R0+|an| ( | a1|+ +|an-1|+|an|) R0n-1 |a0|R0n=|f(z0)| |p(z0)|=|f(z0)+ (z0)| |f(z0)|-| (z0)|0 p(z0)=a0z0n+ a1z0n-1+ +an 0 定理6.11如函数如函数f(z)在在D内单叶解析内单叶解析 则在则在D内内f (z)0. 证证: (反证法反证法) 若有D的点z0使 f (z0)0,则z0必为f(z)- f(z0)的一个n级零点(n2).由零点的孤立性,故存在 0 ,使在圆周 C: |z-z0|= 上: f(z)- f(z0)0,在C的内部, f(z)- f(z0)及f /(z)无异于z0的零点.命m表|f(z)- f(z0)|在C上的下确