多元函数分析性质之间的关系精品资料

1、多元函数分析性质之间的关系本文主要介绍了二元函数连续性， 偏导性存在及可微性的基础知识， 对它们分别进行了总结证明和进一步的讨论， 总结出这三个概念之间的关系， 并举出例子加以论证支撑。 由浅入深，从简单开始，逐步深入，做深入探究多元函数连续性，偏导数及可微性之间的关系。一、二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义（一）二元函数的连续性定义1设 f 为定义在点集DR 2 上的二元函数，P0D ( 它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点）。对于任给的正数，总存在相应的正数，只要PU（ P0;)D ,就有f (P)f ( P0 ) <,则称f 在 D 上任何点都关于集合D 连续，在不误解的

2、情况下，也称f 在点P0 连续。若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续，则称 f 在点 P0 连续。由上述定义知道：若 P0 是 D 的孤立点，则 P0 必定是 f 关于 D 的连续点；若P0 是 D 聚点，则 f 关于 D 在 P0 连续等价于limf ( P)f ( P0 )P P0P D（二）二元函数的可微性定义 2 设函数 zf ( x, y)在点p0 ( x0 , y0 ) 的某领域U ( p0 ) 内有定义，对于 U ( p0 ) 中的点p( x, y）（x0x, y0y) ，若函数f在点p0 处的全增量z表示为zf ( x0x, y0y)f ( x, y)A xB yo()

3、 ,其中A,B 是仅与点P0 有关的常数，x2y2，o() 是较高阶的无穷小量，则称函数f在点P0 处可微，并称上式中关于x ，y 的线性函数 A xB y 为函数f在点P0 的全微分，记作dz |p0df ( x0 , y0 )A xB y由上可知dz 是z的线性主部，特别当|x |， |y |充分小时，全微分dz可作为全增量z的近似值，即f( ,)f(x0,y0)(）()x yA x x0B y y0有时也把(,)( , )x( )z f x0x y0yf x yAB y o写成如下形式z A x B xxy， 这 里li mli m0( x, y )( 0,0)( x, y )(0,0)

4、（三）二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若f ( x0x)f ( x0 )A xo( x), 其中A f ' (x0 ) 。同样，若二元函数 f 在点（ x0 , y0 ) 可微，则 f 在（x0 , y0 ) 处的全增量 可由zf (x0x, y0y)f ( x0 , y0 )A xB yo( )表 示 。 现 在 讨 论 其 中 A 、 B 的 值 与 函 数 f的关系。为此，在式子z AxB yxy 中令 y0( x0) ，这时得到z 关于 x的偏增量x z，且有xzA xx 或者x zAx现让x0 ，由上式得 A的一个极限表达式Alimx zlimf ( x0x, y0 )

5、f ( x0 , y0 )x 0xx 0x容易看出，上式右边的极限正是关于x 的一元函数 f (x, y0 ) 在 x x0 处的导数。类似地，令 x 0( y 0) ，由zA xB yxy 又得到B limy zlimf ( x, y0y)f ( x, y)0y00，它是关于 y 的一元x 0yy 0函数 f ( x0 , y) 在 yy0 处的导数。综上所述，可知函数 zf ( x, y) 在点 ( x, y) 处对 x 的偏导数，实际上是00把 x 固定在 x0 ，让 y 有增量y ，如果极限存在 ，那么 次极限 称为函 数zf ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 点处对 y 的

6、偏导数，记作 f y (x0 , y0 ) 。因此，二元函数当固定其中一个自变量时， 它对另一个自变量的导数称为偏导数，可定义如下：定义 3设函数 zf ( x, y), ( x, y)D . 若 (x0 , y0 )D , 且 f ( x, y0 ) 在x0 的某一领域内有定义，则当极限limx f ( x0 , y0 )limf (x0x, y0 )f ( x0, y0 )xx存在时，称x 0x 0这 个极 限 为 函 数 f 在 点 (x0,y0) 关于x的偏导数，记作fx ( x0, y0）或fx (x0 , y0 )注意 1 这里符号，专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号d 相xy

7、dx仿，但没有差别。（x0y0,) 存在关于x(或y)的偏导数，f至注意 2 在上述定义中， f 在点少在 （ x, y) yy0, xx0（或 ( x, y) xx0 , y y0) 上必须有定义。若函数 zf (x, y) 在区域 D 上每一点（x, y) 都存在对 x（或对 y ）的偏导数，则得到函数 zf ( x, y) 在区域 D 上对 x（或对 y ）的偏导函数（也简称偏导数），记作f x( x, y) 或 f ( x, y)f y ( x, y)或 f ( x, y)xy也可简单的写作f z , zx 或fxf y , zy或fy二、二元函数三个概念的结论及证明（一）二元函数连续

8、性的结论总结及证明一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数f ( x, y) 来说，即使它在某点P0 ( x0 , y0 ) 即存在关于 x 的偏导数f x ( x0 , y0 ) ， 又 存在 关于 y 的偏导 数 f y ( x0 , y0 ) ， f ( x, y) 也 未必 在点P0 ( x0 , y0 ) 连续，如下定理有：定理 1 设函数 zf ( x, y) 在点 P（x, y) 的某邻域 U (P ）内有定义，若0000f (x0 , y) 作为 y 的一元函数在点 yy0 连续， f x (x, y) 在 U ( P0 ) 内有界，则f

9、(x, y) 在点 P0 (x, y) 连续。证明：任取 (x0x, y0 y)U(P0), 则f(x0,y)f(x0,y0)x y0f ( x0 x, y0y) f ( x0, y0y)f ( x0, y0y) f ( x0 , y0 )（ 1）由于 fx( x, y) 在 U ( P ) 存在，故对于取定的 y0y ， f ( x, yy) 作00为 x 的一元函数在以 x0 和 x0x为端点的闭区间上可导。从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理，存在（0,1），使f ( x0x, y0y)f (x0 , y0y)f x( x0x, y0y) x将它代入（1）式，得由于f x(x0(x0

10、x, y0f ( x0x, yy)x, y0y) xU(P0)y)f (x0 , 故 f xf ( x0 , y0 )y0y)f (x0 , y0 ) （2）(x0x, y0y) 有界，因而当 ( x0 ,y)(0,0) 时有f ( x0x, y0y). x0又据定理的条件知， f( x , y) 在 yy连续，故当 (x, y) (0,0) 时，00又有f ( x0 , x0y)f ( x0 , y0 )0.所以，由（ 2）知，有lim f( xx, y0y)f ( x, y)0.x0000y0这说明f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续。推论1设函数zf ( x, y

11、) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域 U ( p0 )内有定义，若f (x0 , y) 作为y 的一元函数在点yy0 连续， f x ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续，则 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续。证明 由于 f x (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 连续，故 fx ( x, y) 必在点 P0 (x0 , y0 )的某邻域内有界，因而据定理1， f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续。推论 2 设函数 zf ( x, y) 在点 P( x, y) 的某邻域 U (P ) 内有定义，若0000f( x, y) 在 U (P ) 有界， fy( x, y ) 存在，则 f ( x, y) 在点 P( x, y) 连续。x000000证明：由于 f y ( x0 , y0 ) 存在，故 f ( x0 , y) 作为 y 的一元函数在点yy0连续，从而据定理1 可得， f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续。同理可证如下的定理2 及其推论。定理 2设函数 zf ( x, y) 在点 P( x, y) 的某邻域U (P ) 有定义，0000fy( x, y) 在U ( p ) 内有界， f (x, y) 作为 x 的一元函数在点xx连续，则000f (x