四种经典平差模型的分析与设计

1、.3. 四中经典平差模型的分析与设计在生产实践中观测的数据可以通过以最小二乘原理为基本原理进行平差提高测量精度，但由于所设参数个数与观测个数和非必要观测个数的关系不同， 可以分为条件平差、 附有参数的条件平差、 间接平差、附有限制条件的间接平差四种。通过对它们的分析， 可以很好地解决生产实践中的实际问题， 亦可为以后的某些理论推导作必要的准备。3.1 条件平差模型条件平差的函数模型：AV+W=0其中a1a2anwav1b1b2bn， W=wbv2A=， V=r1r2rnwrvn随机模型：D=02Q法方程：N aa KW0其中：N aaAQAT解之得K= N aa1W误差方程：V= QAT K观

2、测量平差值：L LV平差值函数：f ( L1L2L n )其权函数式为df1 * dL1f 2 * dL2f n* dLn , f ifLi单位权方差的估值：2VTPV, 0VTPV0rr.平差值函数的协因数阵：Qf T Qf( AQf )T N aa1 AQf条件平差的基本向量的协因数和互协因数3.2 附有限制参数的条件平差模型在一个平差问题中，如果观测值个数为n，必要观测数为t，则多余观测数r=n-t 。若不增选参数，只需列出r 个条件方程，这就是条件平差方法。如果又选了u 个独立量为参数（ 0<u<t ）参加平差计算，这就可建立含有参数的条件平差作为平差的函数模型，这就是附有

3、参数的条件平差方法。A* VB* xW0c ,nn ,1c ,uu,1c,1式中， V 为观测值L 的改正数，x 为参数近似值X 0 的改正值，即u ,1LLV , XX 0x随机模型：D=02Q02P 1为了求出能使V T PVmin 的一组解，按求函数条件极值的方法，组成函数V T PV2K T ( AVBxW )式中， K 是对应于条件方程的联系数向量，为求的极小值，将其分别对V 和 x 求一阶导数并令其等于零，则有.V2V TP 2KTA 02K TB 0x由两式转置之后第一式左乘P 1 ，再加式得其基础方程A VB xW 0c,n n,1c,u u,1c,1VP1ATKn ,1n ,

4、n n,c c,1BTK0u ,cc ,1解算此基础方程， 通常是将其中的改正数方程代入条件方程，得到一组包含K 和 x 的u ,1对称线性方程组，即AQAT KBxw0BTK0令 Na,aAQAT ,上式也可写成：N a,a KBxW0BTK 0上式称为附有参数的的条件平差的法方程。解上面的的第一式得，KN aa1 (BxW )又以 B T N aa1 左乘的第一式，并与第二式想减，且令N bb BT N aa1B , 得：N bb xBN aa1W0解之，得xN bb1 BT N aa1W求出 x 后，即可求得K ，最后可以求定V ：VQAT N aa1 ( Bx W )继而，可计算平差值

5、.LLV , XX 0x平差值的权函数式为dF T dLFxt dX单位权方差的估值：2VTPVVTPV,VTPV0c u0rr平差值函数的协因数阵：QF T QL L F F T QLX Fx FxT QX L F FxT QX X Fx其中， QLL 、 QL X、 Q XL 、 Q XX 可以通过查表获得它们的的公式LWXKVLL QQATQAT N aa1QAT QKKQVVQ QVVBQX XWAQN aaBQ X XN aa QKKN aaQ KK AQBQXX BT N aa1 AQXQXX BTQXX BTN bb1N bb1 BT N aa1 AQN aa1 AQ00K11Q

6、KKAQQ KK N aaN aaN aaQ AQ0KKN aa10BQ XX BTVQVVQAT0QATQKKQAT QKK AQQKK N aa0LQ QVVQAT N aa1QAT N aa10Q QVVBQ XX BTBNbb10.3.3 间接平差模型在一个平差问题中，当所选的独立参数X 的个数等于必要观测数t 时，可将每个观测值表达成这 t 个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，这就是间接平差。间接平差的函数模型为LB Xdn ,1n,t t ,1n,1平差时，对参数X 都要取近似值X 0 ，令XX 0xlL(BX 0d )由此可得误差方程VBxl上面中的：

7、a1b1t1Ba2b2t2anbntnVv1v2vnTxx1x2xnT按最小二乘原理，上式的x 必须满足 V T PVmin 的要求，因为t 个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得VTPV2VTP VVTPB 0xx经转置后得间接平差的基础方程：BTPV0VBxl解此基础方程，一般是先消去V ，得BT PBxBT Pl0令N BBBT PB， WB T Pl.上式可简写成N BB xW0上式称为间接平差的法方程。解之，得x N BB1W将求出的 x 代入误差方程，即可求得改正数，从而平差结果为LLV , XX 0x单位权中误差：VT PVVTPV0n tr平差参数 X 的协方差阵

8、：DXX02QXX02 NBB1平差参数的协方差阵权函数式：dF T x协因数：Q? ?F T Q ? FF T Nbb1 FXX方差：D02 Q3.4 附有限制条件的间接平差模型在一个平差问题中，多余观测数r=n-t ，如果在平差中选择的参数个数u>t 个，其中包含了 t 个独立参数，则参数间存在 s=u-t 个限制条件。平差时列出 n 个观测方程和 s 个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型点的平差方法，就是附有限制条件的间接平差。附有限制条件的间接平差的函数模型：V?lB xn 1n uu 1n 1?W0C xxs u u1s 1s 1其中，R(B)=u ， R(C)=s ，

9、u<n ，s<n即 B 为列满秩阵， C 为行满秩阵随机模型：D2Q2p100nn在附有限制条件的间接平差的函数模型中，待求量n 个改正数和 u 个参数，而方程个.数为 n+u ，少于待求量的个数，故是有无穷多组解的一组相容方程。为此，应在无穷多组解中求出能使 V T PVmin 的一组解。按求条件极值法组成函数：VT PV2K sT (Cx?Wx?)式中 K是对应于限制条件方程的联系数向量为求得极小值将其对x 取偏导并令其s,1 s等于零，则有?TVTC2VTT2VP?2K sPB 2K s C 0xx转置后，得BT PVC T K s0由此的附有限制条件的间接平差的基础方程VBx? lCx? Wx?0TTB PVC Ks0上方程组中的个数是n+s+u，待求未知数的个数n 个改正数， u 个参数和 s 个联系数，故有唯一解。解之，得K sNCC1 (CN BB1WWx )?11 T111 T1x( NBB NBBCNCCCNBB )WNBBCNCCWx(NBB BT PB,WBT Pl , NCCCNBB1CT )由上式解得 x 之后，进而可求得V，最后可求出参数和观测值的平差：L?LV?0?XXx单位权方差的估值：2V TPVV