复变函数与积分变换级数PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换级数复变函数与积分变换级数& 1. 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 2. 级数的概念级数的概念第1页/共77页 1. 复数列的极限复数列的极限定定义义,), 2 , 1(nnnniban 其其中中设设复复数数列列： ，iba 又设复常数：又设复常数：时时的的极极限限，当当称称为为复复数数列列那那么么，恒恒有有若若 nNnNnn, 0, 0 定理定理1.lim,limlimbbaannnnnn 证明证明 nnnNnN恒恒有有即即，”已已知知“, 0, 0lim.,lim 收收敛敛于于此此时时，也也称称复复数数列列时时，或或当当记记作作nnnnn

2、第2页/共77页.lim,lim)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn 故故又又 .lim)()(22, 0, 0lim,lim nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa故故又又，恒恒有有即即，”已已知知“第3页/共77页2. 级数的概念级数的概念 nnn 211 niinns121 级数的前面级数的前面n项的项的和和-级数的部分和级数的部分和称为级数的和称为级数的和ssnn lim称称为为收收敛敛级级数数 1nn 不收敛不收敛称称为为发发散散级级数数 1nn -无穷级数无穷级数定义定义), 2 , 1( nibannn 设复

3、数列：设复数列： 收收敛敛若若部部分分和和数数列列ns第4页/共77页例例1解解的敛散性。的敛散性。判别判别 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和为为级级数数收收敛敛定理定理2都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 都都收收敛敛。和和由由定定理理， 111111lim,limlim)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas 证明证明第5页/共77页A 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。.

4、 0lim: nn 收收敛敛的的必必要要条条件件级级数数 1nn 性质性质定理定理3.1111 nnnnnnnn 收收敛敛，且且收收敛敛若若证明证明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba 收敛。收敛。得得由定理由定理均绝对收敛，均绝对收敛，和和由比较判定法由比较判定法 1112nnnnnnba 1111,nnnnnkknkk 第6页/共77页A 收收敛敛. .收收敛敛若若 11nnnn ?)1(:(1 nnni例例如如定义定义.11111条条件件收收敛敛为为收收敛敛，则则称称发发散散，而而若若为为绝绝对对收收敛敛；收收敛敛，则则称称若若 nnnnnnnnnn 由定理由定理3

5、的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式:22有有nnnnbaba 定理定理4都都收收敛敛。和和收收敛敛级级数数 111nnnnnnba 第7页/共77页解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散， nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2) 1(21) 1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn例例2否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条

6、件件又又 nnn第8页/共77页例例3的敛散性。的敛散性。讨论讨论 0!nnnz解解敛敛。在在复复平平面面上上处处处处绝绝对对收收令令 000!,nnrnnnnnzenrnzrz练习：练习：的敛散性。的敛散性。讨论讨论 011nnien 的敛散性。的敛散性。讨论讨论 02cosnnin2cosnneein 第9页/共77页& 1. 1. 幂级数的概念幂级数的概念& 2. 2. 收敛定理收敛定理& 3. 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 4. 收敛半径的求法收敛半径的求法& 5. 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质第10页/共77页1

7、. 幂级数的概念幂级数的概念定义定义 设复变函数列：设复变函数列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn级数的最前面级数的最前面n项的项的和和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-级数的部分和级数的部分和000000lim()()(1),(), lim()(1),nnnnzDs zs zzs zs z若，称级数在 收敛其和为不存在，称级数发散-称为称为复变函数项级数复变函数项级数。第11页/共77页若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数。)()()()(21zfzfzfzsn -级数级数(

8、1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz当当称为称为幂级数幂级数并并不不失失一一般般性性。研研究究级级数数中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 第12页/共77页2. 收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1 （阿贝尔阿贝尔（Able）定理定理）.,)0(000级级数数必必绝绝对对收收敛敛的的则则对对满满足足收收敛敛在在若若级级数数zzzzzzcnnn .,00级级数数必必发发散散的的则则对对满满

9、足足发发散散若若级级数数在在zzzzz 第13页/共77页 ,2,1 ,0,max00202010 nMzczczczccMnnNN故故取取 证明证明，即即则则收收敛敛0lim,)1(000 nnnnnnzczc nnzcNnN000，恒恒有有，1,00 qzzzz则则若若,00nnnnnnMqzzzczc ,0收收敛敛由由于于 nnMq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc绝对收敛。绝对收敛。 0nnnzc第14页/共77页(2)用反证法，用反证法，3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径收收敛敛，有有设设 01011,nnnzczzz由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述

10、定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上在复平面上处处收敛。处处收敛。！收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证知知由由 00)1(nnnzc(ii)除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。第15页/共77页.)3(:)3(:发发散散数数外外，级级在在圆圆周周收收敛敛；内内，级级数数定定理理，在在圆圆周周由由 zczcAble., 0, 0)(00发发散散使使得得收收敛敛使使得得 nnnnnnccii

11、i 显然，显然， 否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，部分染成蓝色， 逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色, , 逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故蓝蓝两两色色的的分分界界线线。为为红红、一一定定,RzcR ： 播放播放第16页/共77页RRc第17页/共77页A ( (i) )幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具

12、体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的叫做幂级数的收敛半径收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.第18页/共77页4. 收敛半径的求法收敛半径的求法的的收收敛敛半半径径求求法法，有有关关于于幂幂级级数数)3(0 nnnzc定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，则则若若zzcczczcinnnnn

13、nnn 111limlim, 0)(证明证明发发散散，时时时时，即即当当绝绝对对收收敛敛；时时即即时时当当 00,11,1,1nnnnnnzczzzczz 第19页/共77页!,01矛矛盾盾收收敛敛 nnnzc.1:0也也发发散散时时，当当以以下下证证 nnnzcz 0001,nnnzzc z用反证法 设在外有一点，收敛:1,011定理得定理得，由，由满足满足再取一点再取一点Ablezzz .1,10 Rzcznnn故故发散发散时，时，当当即即发发散散 ,00 nnnzc收收敛敛都都有有时时，对对若若 00)(nnnzczii ;0 Rzcnnn故故在复平面上处处收敛，在复平面上处处收敛，第2

14、0页/共77页.,0)(00也也发发散散发发散散，从从而而有有外外，对对一一切切时时，除除当当 nnnnnnzczczziii . 0!0,001101000 Rzczzzzcznnnnnn故故收收敛敛，矛矛盾盾，满满足足则则收收敛敛否否则则，如如果果有有一一点点定理定理3(根值法根值法) 000/1limRcnnn，则则若若第21页/共77页 定理定理3(根值法根值法) 000/1limRcnnn，则则若若 定理定理2(比值法比值法) 000/1lim1Rccnnn，则，则若若第22页/共77页例例1的收敛范围及和函数。的收敛范围及和函数。求幂级数求幂级数 nnnzzzz201121 nnz

15、zzs又又zzn 11解解11lim1 Rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 时，时，当当., 0lim1级级数数发发散散时时，当当 nnzz 综上综上 .1;111,0时时当当发发散散时时当当且且和和函函数数为为收收敛敛zzzznn第23页/共77页例例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1)(ch)2(1 nnzni.)ln()3(1nninz nnncc1lim 1)1(lim pnnn1 R,1时时当当 z,1时时当当 z,)1(1 nnn级级数数为为,11 n

16、n级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2,1上上在在圆圆周周 z 1122,1nnnnnz是是收收敛敛的的该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。第24页/共77页nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2( nnncc1lim 11cos11coslim nnn1 R,11上上在在圆圆周周 z 11)1(cos)1)(ch(nninnenzni 1)1)(ch(, 0)1(coslimnninnznien发发散散。 综上综上该级数发散该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，时时，当当11 z时时，当

17、当11 z;)1)(ch)2(1 nnzni第25页/共77页22211lnln( )2nnncinn R222lnln2ln)arg(ln)ln()3( ninininiinin其其中中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim 故故0)2(ln1lim2122 nn.)ln()3(1nninz 故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.第26页/共77页5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q 代数运算代数运算2010)()(rRzgzbrRzfzannnnnn 设设Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(21rrR 其中

18、：其中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算第27页/共77页rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0内内解解析析，且且在在设设Rzzgazgfnnn 0)()(-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级数幂级数的代换运算在的代换运算在函数展成幂级函数展成幂级数中很有用数中很有用。例例3.)(10abazcbznnn 这这里里，复复常常数数的的幂幂级级数数，表表成成形形如如把把解解)()(11abazbz 代换代换 abzgabaza

19、b1)(11111第28页/共77页Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122解解 abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代换代换展开展开还原还原第29页/共77页q 分析运算分析运算定理定理4Rzzfzcnnn )(0设设.)()(内内解解析析在在Rzzfi 1001( )( )()()nnnnnnnnniif zc zc znc zzRzdzcdzzcdzzfiiincnncnnnc 00)()(-幂级数的逐项

20、求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算 0101)(nnnznzcdf 或或RazCRz ,第30页/共77页& 1. 泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开式第31页/共77页1. 泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）以下定理给出了肯定回答：以下定理给出

21、了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。任何解析函数都一定能用幂级数表示。由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。第32页/共77页定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）,2 , 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中时时当当上上各各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级数的处在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)

22、(!1 分析：分析：代入代入(1)得得第33页/共77页Dk 0z0100()()1),2)()(*)()nnnffzzzz比较有，1( )( )2)2kff zdiz又( )0000001000100()()()!1( )()2()1( )()1)2()nnnnnnnnknnnknfzc zzzznfdzzizfzzdizz第34页/共77页) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得证！得证！nnnzzzf)()()(0010 第3

23、5页/共77页证明证明(不讲不讲)00:,:1( )( )2kkzrzrDzkCauchyff zdiz 设为 内任一点 由积分公式, 100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz 2000000011()()(3)nzzzzzzzzzz第36页/共77页0020010( )00000( ),21( )1( )( )22( )2()()( )2()()()()()(4)!( )kkknnknnfkifff zddizizzzfdizzzfdizfzf zfzzznf zzTalor两端乘以沿着 逐项积分得函数在 处的级数。(不讲不讲)第37页/共77页0000(4),( )!zr

24、zrkrkDf zzTaylorzD级数的收敛范围是以 为中心， 为半径的圆域圆 的半径 可以任意增大只要圆 及其内部包含在 内即可，所以在解析点 处的级数收敛半径至少等于从 到 的边界上各点的最短距离。证毕证明证明（不讲不讲）第38页/共77页收收敛敛圆圆周周上上. .只只能能在在收收敛敛半半径径还还可可以以扩扩不不然然的的话话, ,不不可可能能在在收收敛敛圆圆外外, ,奇奇点点又又不不可可能能在在收收敛敛圆圆内内. .所所以以奇奇点点圆圆内内解解析析在在收收敛敛这这是是因因为为在在收收敛敛圆圆上上, , 奇奇点点因因此此, ,大大, ,)()2(zfA 000,)()()(zRzfzRTa

25、lorzzfzf即即之之间间的的距距离离, ,的的最最近近的的一一个个奇奇点点到到等等于于从从展展开开式式的的收收敛敛半半径径的的在在解解析析点点那那么么有有奇奇点点, ,若若( (1 1) )第39页/共77页2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数。级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(020201

26、0事实上，设事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:导导性性质质得得，再再由由幂幂级级数数的的逐逐项项求求则则00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此类类推推得得，第40页/共77页由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。级数为：时当Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0(

27、)0( )0()()(2-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：第41页/共77页.!3!21), 2 , 1 , 0(1)(3200)( Renzzzzeneeznzzzznz该该级级数数的的收收敛敛半半径径在在复复平平面面上上解解析析3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开开式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解第42页/共77页 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 Rzz它们

28、的半径它们的半径在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212!)!12()1(!)!12(221kkkkkkkzkzii 1121753!)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzz第43页/共77页A 上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn第44页/共77页(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性

29、质得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01)3(逐逐项项积积分分得得的的展展开开式式两两边边沿沿将将的的路路径径内内任任意意取取一一条条从从在在收收敛敛圆圆cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1第45页/共77页A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范

30、围为 z1.1,11, 1)1(111)2(22422 RizzRxxxxnn有有两两个个奇奇点点在在复复数数域域中中容容易易看看出出看看清清楚楚, ,在在实实数数域域中中的的不不容容易易为为什什么么它它的的收收敛敛半半径径在在实实数数域域中中第46页/共77页定理定理0000(1)( )( )()(2)( )( )nnnf zzf zzczzf zDf zD函数在点 解析在 的某一邻域内可展成幂级数。函数在区域 内解析在 内可展成 幂级数。第47页/共77页0( )f zz小结：在点 解析，则0000(1) ( )(2) ( )(3) ( )0(4) ( )f zzf zzCRf zzf z

31、z在点 的某一邻域内可导。的实部和虚部在点 的某一邻域内有连续偏导数且满足方程。在点 的某一邻域内连续且沿邻域内的任一条正向封闭路线的积分为 。在点 的某一邻域内可展成幂级数。第48页/共77页& 1. 预备知识& 2. 双边幂级数& 3. 函数展开成双边幂级数& 4. 展开式的唯一性第49页/共77页由由4.34.3 知知, f (z) 在在 z0 解析解析，则，则 f (z)总可以总可以在在z0的的某一个圆域某一个圆域 z - z0 R 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数。的幂级数。若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不

32、可能展开的邻域中就不可能展开成成z - z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1 z - z0 R2 内内解析，那么，解析，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，1( )0,1,(1):01011.f zzzzzzz在都不解析 但在圆环域及内处处解析 nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10时时当当第50页/共77页011111( )(1)11(1)zf zzzzz当时， nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1 z - z0 R2 内解析内解析,

33、, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即1 12111(1)(1)(1)111(1)(1)1znnzzzzzzz 第51页/共77页 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在的解析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定邻域内的性质以及定义义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。第52页/共77页1. 1. 预备知识预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域积分公式的推广到复连通域-见第三章第见第三章第18

34、题题10210201210( ):,:,f zD RzzRkzzrkzzRrRkkD DrzzR设在内解析。作圆周：且、：，Dz0R1R2rRk1k2D1z有，有，对对1Dz 211( )1( )( )22kkfff zddiziz第53页/共77页2. 2. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常数都是常数及及其中其中), 2,

35、1, 0(0 nczn负幂项部分：负幂项部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc第54页/共77页级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在z - z0= =R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+; 在在 z - z0 =R 2外发散。外发散。 则则若若令令对对于于级级数数,1),3(0zz (4),RRR对变数级数为幂级数 设其收敛半径为则当级数收敛，级数发散。201211()(4)nnnnnnnnczzcccc)4(,11,1100则则级级数数代代回回得得将将令令RRzzzz 0101,( ).zzRs zzzR

36、当收敛 且和为；当发散第55页/共77页z0R1R2有有公公共共收收敛敛域域21RR z0R2R1无无公公共共收收敛敛域域21RR 121020(2)(3)(),( )( )( )nnnRRRzzRczzs zs zs z当且仅当时，级数及有公共收敛区域即圆环域：，此时，称收敛 且和。第56页/共77页.)()4(2010以以逐逐项项求求积积和和逐逐项项求求导导和和函函数数是是解解析析的的而而且且可可内内的的在在级级数数RzzRzzcnnn A 02100)3(zzRR：，收收敛敛域域为为此此时时可可以以可可以以1201()nnnRRc zz（） 当时，称处处发散。(2)(2)在圆环域的边界在

37、圆环域的边界 z - z0 =R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。点点收收敛敛，有有些些点点发发散散可可能能有有些些)(0第57页/共77页.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的的任任何何一一条条简简单单闭闭曲曲线线内内绕绕是是其其中中则则内内解解析析在在设设zDcndzzzzficzzczfRzzRDzfcnnnnn 3. 3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 第58页/

38、共77页证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 记为记为I1记为记为I2，时时，当当1002 zzzk ，时时，当当记记为为1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfiI 的的推推导导得得：重重复复 3第59页/共77页 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(2102021011001020102111

39、1 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI :,2)(1逐项积分得逐项积分得并沿并沿两边乘以两边乘以kif 第60页/共77页式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：), 2, 1, 0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数

40、的解析部分和主要部分。第61页/共77页A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的内不是处处内不是处处在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那展成级数，那 么就利用洛朗（么就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。第62页/

41、共77页4. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的简简单单闭闭曲曲线线，内内任任何何一一条条绕绕为为设设0第63页/共77页的的正正向向积积分分得得：并并沿沿为为任任一一整整数数将将上上式式两两边边乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R

42、2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,级级数数就就是是展展开开成成级级数数在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 第64页/共77页A 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。例例1解解展展开开成成洛洛朗朗级级数数。在在求求 zzz0sin 012)!12()1(1sinnnnnzzzz z0 !5!31!5!314253zzzzzz第65页/共77页.03级级数数内内展展开开成成在在将将Laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01级级数数内内展展成成在在将将Laurentzez nttntte!1! 2112在在复复平平面面