复变函数论第4章PPT学习教案

1、会计学1复变函数论第复变函数论第4章章4.1 复级数的基本性质1、复数项级数、复数项级数3、解析函数项级数、解析函数项级数2、一致收敛的复函数项级数、一致收敛的复函数项级数第1页/共61页(1) 定义定义(1,2,),nnnaibn 设设为为一一复复数数列列121 (4.1)nnn 表达式表达式称为复数项级数.nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和：1、复数项级数、复数项级数第2页/共61页1nn.lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn 若部分和数列若部分和数列sn(n=1,2,)有极限有极限s (有限复数有限复数),lim()nnss 即1nns 则称复数项无穷

2、级数则称复数项无穷级数 收敛收敛于于s若部分和数列若部分和数列sn无有限极限无有限极限, 则称级数则称级数 为为发散发散.1nn(2) 收敛与发散（敛散性）收敛与发散（敛散性）第3页/共61页注：注： 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性判别复数项级数敛散性的的基本方法基本方法是是: lim.nnss 求求极极限限第4页/共61页:,0 nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z第5页/共61页0lim1 nnnn 收敛收敛都收敛都收敛与与收敛

3、收敛 111nnnnnnba 充要条件必要条件复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件第6页/共61页 )1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解; 1 11发散发散因为因为 nnnna . 1121收敛收敛 nnnnb例例1所以原级数发散第7页/共61页补充证明：调和级数补充证明：调和级数 是发散的。是发散的。11 nn证：调和级数的部分和有：证：调和级数的部分和有：121224211121111121 11234222SSSSS 第8页/共61页38211111111 23456781113112222SS 由数学归纳法，得：由数学归纳法，得：212kkS 0,1,2,k 而而

4、2limlim12kkkkS 故故 不存在，即调和级数发散。不存在，即调和级数发散。limnnS第9页/共61页补充求：等比级数补充求：等比级数 的敛散性。的敛散性。11nnar解：等比级数的部分和为：解：等比级数的部分和为：111(1)11nnnknkaarrarSarrr(1)limlim11nnnnaraSrr当公比|r|1时，limlimnnnSna 当公比r=1时，,lim0,nnna nSSn为奇数当公比r=-1时，故不存在。为偶数综上所述，当公比综上所述，当公比|r|1时，等比级数收敛；时，等比级数收敛； 当公比当公比|r|1时，等比级数发散。时，等比级数发散。第11页/共61页

5、如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn .111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛 条件收敛非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛第12页/共61页例例2 2 1 112是否收敛？是否收敛？级数级数 nnni解解: 1112)1(11nnnnnini)31211()31211( i, 1 1发散发散级数级数因为因为 nn.原原级级数数仍仍发发散散,1)1(1收敛收敛虽虽 nnn 11nn 11)1(nnni第13页/共61页 !)8( 1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnni例

6、例3 3, !81收敛收敛 nnn故原级数收敛故原级数收敛, 且为且为绝对收敛绝对收敛.,!8!)8(nninn 因为因为所以由正项级数的所以由正项级数的比值判别法比值判别法知知:解解第14页/共61页)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和n , ), 2 , 1()( 为一复变函数序列为一复变函数序列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义. .表达式表达式称为称为复变函数项级数复变函数项级数, 记作记作 . )(1 nnzf(3) 复变函数项级

7、数第15页/共61页4.2 幂级数1、幂级数的敛散性2、收敛半径R的求法3、幂级数和的解析性4、例题5、小结第16页/共61页.zczczcczcnnnnn 22101的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,0时时当当 a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(1)幂级数的定义在复变函数项级数中, 形如第17页/共61页-阿贝尔Abel定理如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, z那末对的的级数必绝对收敛,如果在在级数发散, 那末对满足的级数必发散.满足2) 收敛定理第18页/共61页(3) 既存在使级数发散的正实数既存在

8、使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数.1) 1) 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除0 z外都发散.此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.2、收敛半径、收敛半径R的求法的求法第19页/共61页xyo1z .2z.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以的收敛范围是以a点为中心的圆域点为中心的圆域.收敛圆周收敛圆周在收敛圆周上是

9、收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.注意注意第20页/共61页方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2:2: 根值法根值法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R1,0;,0;0,.R , 0lim nnnc如果如果那末幂级数那末幂级数 的收敛半径为：的收敛半径为：2）收敛半径R的求法0)(nnnazc第21页/共61页.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf

10、00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 3) 幂级数的运算与性质第22页/共61页如果当如果当rz 时时,)(0 nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当Rz 时时, 0.)()(nnnzgazgf(2)幂级数的代换(复合)运算第23页/共61页4) 复变幂级数在收敛圆内的解析性 00)(nnnzzc设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为,R那末那末是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数 00)()(nnnzzczf,)(zf即即(1)(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的导数

11、可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 即即.)()(110 nnnzznczf第24页/共61页(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或 01.)(1d)(nnnzaazncf 第25页/共61页定理定理4.13 (1) 幂级数幂级数0)()(nnnazczf(4.5)的和函数的和函数f(z)在其收敛圆在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内解析内解析.3、幂级数和的解析性、幂级数和的解析性(2)在在K内内,幂级数幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶可以逐项求导至任意阶,即：即：()1( )!

12、(1)2()pppfzp cppcza (1)(1)()npnn nnpcza (p=1,2,) (4.6)(3) (p=0,1,2,). (4.7)()( )!ppfacp 第26页/共61页例例1 求幂级数求幂级数 nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为)1( ,11112 zzzzzzsnnn第27页/共61页1 zzsnn 11lim级数 0nnz收敛,1 z0lim nnz级数 0nnz发散.且有且有.1112 nzzzz收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域, 1 z由阿贝尔定理知:在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,第

13、28页/共61页例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1) 13nnnz(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2) 1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0 z时的情形)或或nnnnnnc31limlim 解解 (1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因为因为, 1 . 11lim3 nnn第29页/共61页所以收敛半径所以收敛半径, 1 R即原级数在圆即原级数在圆1 z内收敛内收敛, 在圆外发散在圆外发散, 收敛的收敛的p级数级数 ).13( p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周1 z上上, 级级数数 13131

14、nnnnnz第30页/共61页说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当 z原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数, 收敛收敛.,2时时当当 z发散发散.原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，(2)1limlim1 nnccnnnn,1 . 1 R即即第31页/共61页incncos 因为因为nnnnnnnneeeecc 111limlim 所以所以故收敛半径故收敛半径.1eR 0)(cosnnzin例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解),(21coshnneen , e 第32页/共

15、61页解解)4sin4(cos21 ii因为因为nnic)1( 所以所以nnncc1lim .2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie ;)2(4inne nnn)2()2(lim1 . 2 第33页/共61页例例5 把函数把函数bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的幂的幂级数级数, 其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数 .解解把函数bz 1写成如下的形式写成如下的形式: bz1)()(1abaz abazab 111代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 第34页/共61页时，时，当当1 aba

16、z,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 设设,时时那末当那末当Raz 级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz 第35页/共61页例例6 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因为因为. 1 R所以所以利用逐项积分利用逐项积分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z第36页/共61页例例7 求级数求级数

17、 01)12(nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解1212limlim 11 nnnnnncc因为因为.21 R所所以以,21时时当当 zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 第37页/共61页例例8 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中解解,21内内在在 z 1)(nnzzS和函数和函数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 第38页/共61页 这节课我们学习了幂级数的概念和阿

18、贝尔定这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质数的运算性质.思考题思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?第39页/共61页第40页/共61页(4.9)D定理：定理： 设设f(z)在区域在区域D内解析内解析,aD,只要只要K:|z-a|R含于含于D,则则f(z)在在K内能展成如下幂级数内能展成如下幂级数 0( )()nnnf zcza(4.8)其中系数其中系数( )11( )( )2()!nnnpffacdian(:|,0;0,1,2,)zR n且展式是唯一的且展式

19、是唯一的.1、泰勒定、泰勒定理理Ka第41页/共61页定义：定义： (4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.第42页/共61页()zzee( )0()|1znze2111.2!znezzzn ,sin ,coszezz例1 求函数 在z=0的泰勒展式。解：由于所以因此第43页/共61页,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz第44页

20、/共61页,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6(132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7(zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第45页/共61页利用定义求法利用定义求法利用已知的展开式来求利用已知的展开式来求利用级数的乘除运算求法利用级数的乘除运算求法利用待定系数利用待定系数利用逐项求导、逐项积分法利用逐项求导、逐项积分法利用微分方程求法利用微分方程求法3、解析函数展为幂级数或泰勒级数的方法第46页/共61页例例2 2 展开函数展开函数 成成 的幂级数

21、到的幂级数到 项项.zeezf )(z3z解解,)(zezeezf ,)()(2zzezezeeeezf zzzezezezeeeeeezf32)()(3)( 由此得由此得,)0(ef ,)0(ef ,2)0(ef .5)0(ef 所以所以.6532 ezezezeeze利用定义来求.第47页/共61页分析：分析：采用间接法即利用已知的展开式来求采用间接法即利用已知的展开式来求.解解)(21cos izizzzeeeze 因为因为21)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例3 3 求求 在在 的泰勒展式

22、的泰勒展式.zezfzcos)( 0 z第48页/共61页nnininnzzeenze 044!)2(21cos 所所以以.4cos!)2(0nnnznn )( z由于由于,214iei ;214iei 第49页/共61页例例4 4. sin 的幂级数的幂级数展开成展开成把把zzez分析：分析：利用级数的乘除运算较为简单利用级数的乘除运算较为简单.解解,! 0 nnznze因为因为,)!12()1(sin012 nnnnzz故乘积也绝对收敛故乘积也绝对收敛., 内绝对收敛内绝对收敛两级数均在两级数均在 z 2)010()01(0sin zzzez所以所以.30131532 zzzz)( z第5

23、0页/共61页例例5 5. 0 sec)( 的泰勒展开式的泰勒展开式在点在点求求 zzzf设设 nnzczczcczf2210)(又又,)()(2210 zczcczfzf由泰勒展式的唯一性由泰勒展式的唯一性, 0531 ccc又又,! 4! 21cos42 zzz所以所以)(! 4! 21seccos14422042 zczcczzzz解 利用待定系数法第51页/共61页 40242020! 4! 2! 2zccczccc 42! 45! 211sec zzz所以所以 2z比较两端系数得比较两端系数得, 10 c,! 212 c,! 454 c第52页/共61页例6 函数sec z 在 内解析，求它在这个圆盘内的泰勒展式。|2z解：我们利用幂级数的唯一性和除法来求它的泰勒展式，设2012sec.(|)2nnzcc zc zc zz2411seccos1.2!4!zzzz但是，我们有第53页/共61页因此，2420121.1.2!4!nnzzcc zc zc z故可以通过比较系数法或直接除法确定这些故可以通过比较系数法或直接除法确定这些系数，可以得到系数，可以得到245sec1.(|)2!4!2zzzz 第54页/共61页例例7 7. 1 )1(1 3内的