多元函数微分法PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分法多元函数微分法.)1(dtdvvzdtduuzdtdz 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz )2()(),(),(),(twwtvvtuuwvuzz 第1页/共32页zuvwt以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz第2页/共32页 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz (3) 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数

2、， 且函数的偏导数， 且函数),(vufz 在在对应点对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个的两个偏偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . 第3页/共32页, ,xxu v z证 ： 给 一 增 量则都 有 一 偏 增 量),(),(yxuyxxuux ),(),(yxvyxxvvx ),(),(vufvvuufzxx 可微，可微，又又),(vufz )()(22vuovBuAzxxxx )( ovvfuufxx 由偏导定义可得：由偏导

3、定义可得：第4页/共32页 xz)(lim0 xoxvvfxuufxxx xoxvvfxuufx )(lim0 000( )( )limlimlimxxxooxx 而第5页/共32页2200( )limlimxxxuvox 2200( )limlimxxxuvoxx 0 xvvzxuuzxz 第6页/共32页uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vzvy),(vufz ),(yxu ),(yxv 从从而而第7页/共32页zwvuyx第8页/共32页特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuu

4、fyz 令令,xv , yw 其其中中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区两者的区别别区别类区别类似似zyxuyx第9页/共32页例例 1 1 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz. 解解:tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 第10页/共32页例例 2 2 设设vez

5、usin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . 解解: xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 第11页/共32页例例3. 设设f，g为连续可微函数为连续可微函数),(),(xyxgwxyxfz 求求xwxz 解解 设设 xy令zffyxx).()1(21yffgyxwxz (1) ,wy gx),(),(21xyxyfxyxf 第12页/共32页 例例 4 4 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和

6、和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf 12fyzf第13页/共32页 zxw2)(21fyzfz 122ffyfyzzz zf1zvvfzuuf 111112fxyf zf2zvvfzuuf 222122fxyf于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 第14页/共32页例例5 设设,),(yxeuyxufz 其中其中f具有二阶连续偏导数，求具有二阶连续偏导数，求yxz 2解解xyuxu

7、feffxufxz xyxuyuyuyuufyufefefyufyxz )(2xyyxuyuyuyyuufxefefefxef 2第15页/共32页的偏导数。的偏导数。练习：求练习：求),(22yxxyfz xyxxyfyyxxyfzx2),(),(222221 解：解：)2(),(),(222221yyxxyfxyxxyfzy 。、的二阶偏导数的二阶偏导数求求222222),(yzxzyxxyfz yxyxxyfyyxxyfzxx2),(),(22122211 解：解：xxyxxyfyyxxyf2)2(),(),(22222221 2),(222 yxxyf第16页/共32页xyyxxyfx

8、yxxyfzyy)2)(,(),(22122211 22222122(,)(,) ( 2 )( 2 )fxy xyxfxy xyyy 2),(222 yxxyf第17页/共32页 练习练习 设设),sin,2(xyyxfz 其中其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求具有连续的二阶偏导数，求yxz 2解解,cos2vuxfyfxz )sin(coscos)sin(22vvvuvuvuuxffxyxfxffyxz vvvuvuuxfxfxyfxyxfcoscossin)cossin2(2 vvvuvuvuuxfxyxfyxfxffsincoscoscossin22 第18页/共32页全微分形式不

9、变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、第19页/共32页dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 第20页/共32页.,arctan1yxzzxyz求求、设、设例例 222)(1)(1)(arctanxyxydxxdyxyxydxyddz 解：解：22yxydxxdy 2222,yxxzyxyzyx 利用全微分求偏导数是求偏导数利用全微分求偏导数是求偏导数的一个比较简捷的技

10、巧的一个比较简捷的技巧 第21页/共32页.,),(2zyxuuuzxyzxyfu求求：设：设例例 ),(zxyzxydfdu 解：解：)()()(321zxdfyzdfxydf )()()(321zdxxdzfydzzdyfxdyydxf dzxfyfdyzfxfdxzfyf)()()(322131 )(31zfyfux )(21zfxfuy )(32xfyfuz 第22页/共32页3( , , ),( , ),( , )uf x y zyx t tx z例 ：求的偏导数。123 (1)duf dxf dyf dz解：12 (2)dydxdt12 (3)dtdxdz利用一阶微分形势不变性利用

11、一阶微分形势不变性第23页/共32页121212()dydxdtdxdxdz 12122()dxdz 12121223()duf dxfdxdzf dz xu则则12121()ff zu2223ff 第24页/共32页称含有未知函数偏导数的方程为偏微分方程；满足偏微分方程的多元函数称为偏微分方程的解.根据题意对已知的变量进行适当的或者规定的变量代换，来简化所给的表达式或者达到求解方程的目的；解题思路：将新变量作为中间变量，原来变量作为自变量，采用多元复合函数求偏导公式写出各偏导，再结合题意继续后续过程.三、变量代换：三、变量代换：第25页/共32页22,0ux vxyzzyxxy例1：在自变量

12、变换下，求方程的解。为中间变量。为中间变量。为自变量，为自变量，解：视解：视vuyx,xvvzxuuzxz .xvzuz2 2zzyyv 且有 yzxxzyxyvzyuz2 vzxy 2, 0 uz22( )()zf vf xy为所求.第26页/共32页2: 设变换设变换 可把方程可把方程 ayxvyxu20622222 yzyxzxz简化为简化为 ，求常数，求常数a。02 vuz解法一解法一 ,vzuzxz ,2vzauzyz ,22222222vzvuzuzxz ,4422222222vzavuzauzyz .)2(2222222vzavuzauzyxz 第27页/共32页将上述结果代入原方程，经整理后得将上述结果代入原方程，经整理后得. 0)6()510(2222 vzaavuza062 aa依题意依题意a应满足应满足0510 a且且解之得解之得 a=3。第28页/共32页解法二解法二 将将z视为以视为以x，y为中间变量的为中间变量的u，v的二元复合函数的二元复合函数由题设由题设可解得可解得2,22 avuyavaux从而从而,2 aaux,2 aavx,2 aauy,2 aavyyzaxzaauyyzuxxzuz 212)(2