1第一章有理数

1、1.1 正数和负数第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数1.2.2 数轴1.2.3 相反数1.2.4 绝对值1.3 有理数的加减法 1.4 有理数的乘除法1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方1.5.2 科学计数法1.5.3 近似数结绳计数由记数、排序，产生数1,2,3.观察下列图片，体会数的产生和发展过程.由表示“没有”“空位”，产生数0由分物、测量，产生分数 ， ，2131？1.1 正数和负数思考：根据实际生活的需要，人们引进了另一种数.电电梯梯楼楼层层按按钮钮某年，我国花生产量比上年增长1.8%，油菜籽产量比上年增长-2.7%.像1-10，1.8这样大于0的数叫做正数.像-3，-1

2、，-2，-2.7这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号，如+3，+1.8，+0.5，.不过一般情况下省略“+”不写.注意0既不是正数，也不是负数.0只表示没有吗?思考：1.空罐中的金币数量;2.温度中的0;3.海平面的高度;4.标准水位;5.身高比较的基准;6.正数和负数的界点; 引入正、负数后，0不再简简单单的只表示没有.它具有丰富的意义,是正负数的分界点.解：（1）这个月小明体重增长2kg，小华体重增长 -1kg，小强体重增长0kg. （2）六个国家2001年商品出口总额的增长率：美国 -6.4%， 德国 1.3%，法国 -2

3、.4%， 英国 -3.5%，意大利 0.2%， 中国 7.5%.甲汽车向东行驶3km，乙汽车向西行驶1km.蔬菜店购进黄瓜50kg，蔬菜店售出黄瓜2kg.东西它们都表示相反的意义. 你会用正、负数来表示它们吗？用正、负数表示具有相反意义的量 我们以海平面高度为基准，珠穆朗玛峰的海拔高度比海平面高8848米，记为+8844.4米；鲁番盆地的海拔高度比海平面低155米，我们记为155米.0 根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负方法归纳课堂小结课堂小结1.正数是比零大的数，正数前面加“”号的数叫做负数.3.正数

4、和负数表示的是一对具有相反意义的量.2.0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界.正整数、零和负整数统称整数.整数和分数统称有理数.正分数和负分数统称分数.目前我们所学的小数都可以化成分数，所以把小数划分到分数一类.注意1.2 有理数正整数像1，2，3负整数1，2，3有理数正整数正分数负分数整数分数零负整数自然数根据有理数的定义分类有理数的分类有理数正整数负整数负分数正有理数负有理数正分数零按符号（正、负）来分类说明：分类的标准不同，结果也不同； 分类的结果应无遗漏、无重复； 零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 1.观察下面的温度计,读出温度，分别是：- -1 10 0- -5 50 0

5、5 51 10 01 15 52 20 02 25 53 30 0- -1 10 0- -5 50 05 51 10 01 15 52 20 02 25 53 30 0- -1 10 0- -5 50 05 51 10 01 15 52 20 02 25 53 30 0_C、 _C、 _C.1.2.2 数轴 2.在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境037.5-3-4.80 -3 -2 -1 1 2 31.什么是数轴？原点正方向单位长度规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴

6、.2.注意事项：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度.数轴的概念及画法0 -3 -2 -1 1 2 3议一议：怎样画数轴？在数轴上标出1、2、3、-1、-2、-3等各点.画直线，定原点.从原点向右(或上)的方向为正方向，从原点向左(或下)为负方向.选取适当长度为单位长度.0 -3 -2 -1 1 2 3. .在数轴上表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的_边，与原点的距离是_个单位长度；表示数-a的点在原点的_

7、边，与原点的距离是_个单位长度右aa左例1 在所给数轴上画出表示下列各数的点. 1，5，2.5， ，0 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5解:152142.50注意:把点标在线上；把数标在点的上方， 以便观看.214典例精析0 1 2 -2 -1例2 在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？ D C B A (4) D点表示-1.5 (1)A 点表示2； (2) B 点表示0.25；(3)C点表示-0.75；解:.左右0数轴上与原点距离是2的点有_个，这些点表示的数_；与原点的距离是5的点有_个，这些点表示的数是_.2-2两 2和-2

8、5和-5两 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有_个，它们分别在原点的_，表示_，我们说这两点_.归纳：两-a和a关于原点对称像5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如，-8的相反数是8，7的相反数是-7.一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0.1.2.3 相反数5-5-11a 的相反数是a ， a可表示任意有理数.求任意一个数的相反数，就可以在这个数前加一个“”号多重符号的化简（1.1）表示什么？（7）呢？（9.8）呢？它们的结果应是多少？问题：若把 a分别换成5，7，0时，这些数的相反数怎样表示？a = +5， - a = -（+5）a = -7

9、， - a = -（-7）a = 0， - a = 0在一个数前面加上“”仍表示这个数，“”号可省略两辆汽车从同一处O出发，甲向东方向行驶10km，到达A处，记作 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 km.+10-1010100OBA1.2.4 绝对值数轴上表示数a对应的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|结论：一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数. 0的绝对值是0.|10|=10 |-10|=10 |0|=0 .正数的绝对值是它本身正数的绝对值是它本身 (1)当a是正数时，a_； (2)当a是负数时，a； (3)当a=0时，a.)0(0)0()0(|aaaaa

10、aa-a00的绝对值是的绝对值是0负数的绝对值负数的绝对值是它的相反数是它的相反数思考: 若字母a表示一个有理数,a的绝对值等于什么?|a|0.利用数轴上点到原点的距离口答|5|=|3.5|= |-3|=|-4.5|=|0|=0 1000053.5-3-4.553.534.50说一说典例精析(1)绝对值等于0的数是_,(2)绝对值等于5.25的正数是_,(3)绝对值等于5.25的负数是_,(4)绝对值等于2的数是_.05.25-5.252或-2例2 填空例3 若|a|+|b|=0，求a,b的值. 解析：由绝对值的性质可得|a|0，|b|0. 解：由题意得|a|0，|b|0，又因为|a|+|b|

11、=0， 所以|a|=0，|b|=0，所以a=0,b=0.方法归纳：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.哈尔滨20北京10上海 0武汉 5广州10 借助数轴比较有理数的大小武汉5 北京10上海0 广州10 哈尔滨20下图表示某一天我国5个城市的最低气温，从低到高的顺序依次排列 20 10 0 5 10 小小 大大在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.没有最大的有理数，没有最小的有理数-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5例1 在数轴上表示数-3,-5,4,0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“”号连接.解： -3,-5,4,0在数轴上表示如图：将它们

12、按从小到大的顺序排列为：5 3 0 判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“”。整数分数正数负数有理数2016-4.90-12填一填3422 , + , 0.33是正数;176-8.4 , - , -9 是负数;3522 ,0,9 是整数;以上所给各数均为有理数.-8.4 ,+ ,0.33,- 是分数;35176例1 下列给出的各数，哪些是正数？哪些是负数？哪些 是整数？哪些是分数？哪些是有理数？解例2 给出下列说法：0是整数； 是负分数；4.2不是正数；自然数一定是正数；负分数一定是负有理数.其中正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个C当堂练习当堂练习2.下列各数：-2，5， ，0

13、.63，0，7，-0.05，-6，9， ， 其中正数有_个，负数有_个，正分数有_个，负分数有_个，自然数有_个，整数有_个.6642341.下列说法中，正确的是（ ）A.正整数、负整数统称为整数 B.正分数、负分数统称为分数C.零既可以是正整数，也可以是负整数D.一个有理数不是正数就是负数B（1）0是整数（ ）（2）自然数一定是整数（ ）（3）0一定是正整数（ ）（4）整数一定是自然数（ ）3.判 断：4填空：（1）有理数中，是整数而不是正数的是_； 是负数而不是分数的是_（2）零是_，还是_，但不是_，也不是_负整数和0负整数和0有理数整数正数负数（1）（2）（3）（4） 1.下列各图是数

14、轴吗？说明你的理由.0 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 -3 -2 -1 1 2 300当堂练习当堂练习 2.如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数解：点A，B，C，D，E表示的数分别是 0，-2，1，2.5，-3.3. 画出数轴并表示下列有理数： 1.5，2.2，2.5， ， ，0.3492 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5341.52.22.592 判断题：（1）5是5的相反数（ ）; （2）5是相反数（ ）; （3） 与 互为相反数（ ）; （4）5和5互为相反数（ ）.21221（5） 相反数等于它本身的数只有0 （6） 符号不同的两个数互

15、为相反数 练一练例1(1) 是_的相反数， (2) 是_的相反数， =_ (3) 是_的相反数， (4) 是_的相反数， 4_41.7_1 .7100_100 15157.17.11001004-4)51()51(典例精析 化简下列各数（先读后写） (1)-(+10) (2)+(-0.15) (3)+(+3) (4)-(-12) (5)+-(-1.1) (6)-+(-7)例2 解：(1)-(+10)=-10 (2)+(-0.15)=-0.15 (3)+(+3)=3 (4)-(-12)=12 (5)+-(-1.1)=+(+1.1)=1.1 (6)-+(-7)=-(-7)=7由内向外依次去括号1-

16、1.6是_的相反数，_的相反数是0.32下列几对数中互为相反数的一对为（ ） A 和 B 与 C 与35的相反数是_；a的相反数是_；)8()8()8()8()8()8(1.6-a-5C-0.3当堂练习当堂练习4若a=-13，则-a=_;若-a=-6，则a=_ 5若a是负数，则-a是_数；若-a是负数,则a是_数6. 的相反数是_，-3x的相反数是_. 2x2x136正3x正（1）一个数的绝对值是4 ，则这数是4. （2）|3|0. （3）|1.3|0.（4）有理数的绝对值一定是正数.（5）若ab，则|a|b|.（6）若|a|b|，则ab.（7）若|a|a，则a必为负数. （8）互为相反数的两

17、个数的绝对值相等.判断下列说法是否正确.练一练1.判断并改错：（1）一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数； ( )（2）一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数；( )（3）如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定相等； ( )（4）如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值一定不等；( )（5）有理数的绝对值一定是非负数； ( )当堂练习当堂练习0非负数非正数22._的相反数是它本身，_的绝对值 是它本身，_的绝对值是它的相反数3.| |的相反数是 ；若| |=2，则 = _. a31a13例1 计算：（1）（）（）；（2）（5）13；（3）0（7）； （4）（4.7）3.9典例精析

18、 解：（1）（）（） （） 12 （2）（5）13（138）8 （3）0（7）7 （4）（4.7）4.74.74.70互为相反意义的量可以全部抵消或部分抵消(1)(-0.6)+(-2.7)； (2)3.7+(-8.4)； (3)(-0.6)+3； (4)3.22+1.78；(5)7+(-3.3)； (6)(-1.9)+(-0.11)；(7)(-9.18)+6.18； (8)4.2+(-6.7).当堂练习当堂练习计算答案：(1)-3.3 (2)-4.7 (3)2.4 (4)5 (5)3.7 (6)-2.01 (7)-3 (8)-2.5 （1 1）(-2.48)+4.33+(-7.52)+(-2.

19、48)+4.33+(-7.52)+(4.33)4.33) （2）例2 计算解:原式=(-2.48)+(-7.52)+(+4.33)+(-4.33)=(-10)+0=(-10)+0=-10=-10561()()676 1.填空：（1）-4-（-3.2）= -4+ = ； （2）（-35）-（+12）= . 2.计算(口答)： (1)6-9； (2)(+4)-(-7)； (3)(-5)-(-8) ； (4)(-4)-9； (5)0-(-5)； (6)0-5 练一练答案：1.(1)3.2 -0.8 (2)-47-3 11 3 -13 5 -5 3.判断并说明理由（1）在有理数的加法中，两数的和一定比

20、加数大（ ）（2）两个数相减，被减数一定比减数大（ ）（3）两数之差一定小于被减数（ ）（4）0减去任何数，差都为负数（ ）（5）较大的数减去较小的数，差一定是正数（ ）4. 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是 8844 米，吐鲁番盆地的海拔高度是155 米，两处高度相差多少米？解：8844-（-155） =8844+155 =8999（米）答：两处高度相差8999米。5.某日哈尔滨、长春等五个城市的最高与最低气温记录如下表哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？城市哈尔滨长春沈阳北京大连最高气温2 3 3 12 6 最低气温12 10 8 2 2 解析 温差即最高气温与最低气温的差首

21、先要根据题意列式，利用法则求解，最后比较大小解：2(12)2(12)14()，3(10)3(10)13()，3(8)3(8)11()，12210()，6(2)6(2)8()故五个城市中哈尔滨的温差最大，为14 ；大连的温差最小，为8 .（1）（+7） （4） （2）（0.45）（0.55） （3） 0（9） （4）（4） 0 （5）（5）（）1计算：答案：（1）11 （2）0.1 （3）9 （4）4 （5）8当堂练习当堂练习2填空：（1）温度4比6高_ ； （2）温度7比2低_ ； （3）海拔高度13m比200m高_m； （4）从海拔20m到40m，下降了_m.10518760 计算：（1）

22、（2） 1151251161274.4)4118(524)25.18(做一做解：(1)原式7565121211111 10 (2)原式12( 18.2518)( 44.4)45000 例2 2015年中国空军在南海进行了军事演习，一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表： 此时飞机比起飞点高了多少千米?高度变化 上升4.5千米下降3.2千米 上升1.1千米下降1.4千米记 作 +4.5千米3.2千米+1.1千米1.4千米解：4.5(3.2)1.1(1.4) =(4.51.1)(3.2)（1.4) =(4.51.1)(3.2)（1.4) =5.6(4.6)=1(千米)答：此时飞机比起飞点高了1

23、千米 某公路养护小组乘车沿南北方向公路巡视维护，某天从地出发，约定向南行驶为正，到收工时的行驶记录如下：（单位：千米）8，5，7，4，6，13，4，12，11（1）问收工时，养护小组在地的哪一边？距离地多远？（2）若汽车行驶毎千米耗油0.5升，求从出发到收工共耗油多少升？练一练答案：(1)养护小组在地的南边，距离地18千米； (2)从出发到收工共耗油35升 当堂练习当堂练习1.若a= -2，b=3，c= -4 ，则a-(b-c)的值为 .4111211)43(2.计算：（1）11976810 （2）5.75（3） （5）3.125（3）9答案：（1）-19 （2）-10.875 （3）122被

24、乘数乘数积的符号积的绝对值结果571563064251.填空题3535+9090+180180100100当堂练习当堂练习043327823146573282125).()()()()()()(2.计算（1）（2）（3）35 0200015 35(2) 3(4)( 5) 3(4)(5) (3) 53(7 ) 535(7 ) (1) 5(6) (6 )5303060602020 5 (6) (6) 53(4)( 5) 3(4)(5)53(7 ) 535(7 ) (12)(5) 320有理数乘法的运算律 (8)(12)(0.125)( )(0.1) 13 60(1 ) 121314 ( )(81

25、4 ) 3413 (11)( )(11)2 (11)( ) 253515计算：答案 0.4 5 2 22练一练解法有错吗？错在哪里？ ? ? ? _ _ _ (24)( )58163413解: 原式 24 24 24 24 58163413计算： 8 18 4 15 41 4 37议一议正确解法： 特别提醒：1.不要漏掉符号,2.不要漏乘._ _ _ _ (24)( )58163413 8 18 4 15 12 33 21 (24) (24)( )(24) (24)( )13341658（1）23（-5）-（-3）（2）-7（-3）（-0.5）+（-12）（-2.6）1283当堂练习当堂练习答

26、案：(1) 13 (2)20.7计算：1 246124233 0474487 ( )();( )();( )();( )();( );( );( )()().( )()().4804932 计算：（1 1） （） （4 45 5 ）（）（2 2） ；） ； （2 2）0.50.57 78 8 （5 54 4 ） ；） ； （3 3） （） （7 7）（）（3 32 2 ）（）（7 75 5 ） 当堂练习当堂练习答案：(1) ；(2) ；(3)25571031.计算2.填空：（1）若 互为相反数，且 ，则 _， _； , a babab22ba（2）当 时， =_；0a aa（3）若 则 的符号

27、分别是_.,0,aabb,a b1010,0ab1. 把下列各数写成10的幂的形式：100 ，10000，100000000，即写成10（）2300=3100=310（ ） 32000=3.210000=3.210（ ） 345000000=3.45100000000=3.4510（ ） 试一试100=102 10000=104 100000000=108248读作“3.45乘10的8次方(幂)”BCDB当堂练习当堂练习例2 将下列大数用科学记数法表示（1）地球表面积约为510 000 000 000 000 平方米， 地球上陆地的面积大约为149 000 000 平方千米.解：510 000 000 000 000=5.11014 149 000 000=1.49108（2）2015年，中国有劳动力约为720 000 000人，失业下岗人员约为24 000 000人；每年新增劳动力12 000 000人，进城找工的农民约140 000 000人.解：720 000 000=7.2108 24 000 000=2.4107 12 000 000=1.2107 14 000 000=1.4107 例3 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？（1）2003年10月15