第六讲生产函数与规模报酬

1、第六讲 生产函数与规模报酬主要学习问题：一、生产与技术 二、产出弹性与生产要素的分配三、利润最大化的选择四、生产成本分析五、利润函数与生产供给 一、生产与技术一、生产技术与生产函数 1、技术 生产技术是生产的投入、要素与产出量之间的关系。 生产的投入要素又称生产要素。通常我们将生产要素分为三类：劳动、原料与资本品。 生产技术是对企业的一种可行性约束。一般来说，企业决策面临三类约束：一是资金约束，又称预算约束；二是市场需求约束；三是生产技术约束。2、生产集 是用来表示在一定的技术水平下的投入产出的可能性集。 在一个具体的生产计划中，厂商可能有许多个投入组合，但不一定每一个都在技术上可行。 3、生

2、产函数 生产的可能性边界就叫生产函数。是用于表示投入产出关系的数学等式。是给定生产投入品的前提下的最大可能产出点的集合。 不同的生产函数内含着不同的生产技术水平。4、常见的生产函数 （1）固定比例的生产函数（里昂惕夫函数） 产出Y是X1和X2的函数；产出量究竟是多少，取决于少的那一种生产要素的量。在日常生活中，我们叫做“短边规则”。图形如下图：1212( ,)min,.(6.1)yf x xx x1()Q y2()Q y2x1xo里昂惕夫生产函数（2）线性生产函数 如 在这种情况下，增加一个单位的X1，同时减少一个单位的X2，就会正好相互抵消。这时，等产量线是一条直线。1212( ,)().(

3、6.2)yf x xxx（3）柯布道格拉斯函数11212121( ,).(6.3),1,1( ,).(6.4)yf x xAx xxL xKAyf L KL K如果2()Q y1()Q y3()Q y2x1xC-D生产函数o5、生产技术的性质 （1）单调性。 单调性是指如果你在至少一种生产要素上增加了投入，那么，产出量应该至少等于你原先的生产量。 这一性质有时被称为自由处置，即企业可以无代价地处置任何投入品，拥有超额的投入品至少不会损害企业。 （2）凸性。这是指，如果你有两种方法（X1,X2),(Z1,Z2)去生产Y单位的产出，那么，上述两种方法的加权平均至少能生产出同样多的产出量。二、短期与

4、长期 短期和长期的定义 短期和长期的相对性第二节 短期生产函数与生产决策 一、短期生产函数 二、总产量、平均产量与边际产量的相互关系 1、定义 2、产出曲线 劳动投入各区间各产量的变化：0 L 4TPL递增；MPL ；APL4 L 6TPL趋缓；MPL；APL6 L 9TPL；MPL 0；APL 总产量和边际产量的关系MPL = dQ / dL 0 L 0；二阶导数0）；MPL增加 L 4TPL拐点；MPL极大 4 L 0；二阶导数 9TPL下降（一阶导数0） ；MPL 0 总产量和平均产量的关系APL = Q / L 0 L 6TPL先增后降 ；APL 下降 平均产量和边际产量的关系APL

5、= Q / L ；MPL = dQ / dL 0 L APL L 6MPL = APL；APL极大 L 6MPL 1如，则称规模报酬递增；如，则称规模报酬递减；如，则称规模报酬不变。 2、生产力弹性表达式,1,1,1,eeeedQdXQEdXXXdQQEEE因设为要素变动率，为产出变动率。则，当即时，规模报酬递增；当即时，规模报酬递减；当即时，规模报酬不变。 3、等产量图表达式(见书） 规模报酬图示 四、扩张线（扩展线） 生产扩张线即为等斜线五、要素价格变动引起的替代效应与产量效应 类似于消费者价格变动的替代效应和收入效应（见书） 六、技术进步的测定 为了测定技术的进步，我们常设Q=A(t)f

6、(L,K),其中A(t)是时间t的函数，表示随时间的推移，A(t)也变化，A(t)指科学技术对于生产的影响。( ) ( ,)lnln( )ln( ,).(6.36)1( )( ,).(6.37)( )( ,)( )( ,)( )( ,)( ,)( ) ( ,)11.(6.38)6.LKQA t f L KQA tf L KdA tdf L KdQQA tf L KffA tdLdKdf L KA t df L KLKf L KA t f L KQQQdLdKQLQ KQ LQ KEEL QK Q由两边取对数得：两边取全微分得：把与代入（ 38( ( ).(6.39)( )( ( ).(6.40

7、)( )LKLKdQd A tdLdKEEQA tLKd A tdQdLdKEEA tQLK）,重写（6.37）得可见，技术进步率可由产出增加率减去劳动增长率乘劳动产出弹性与资本增长率乘资本产出弹性来获得。第五节 齐次生产函数与范围经济 一、齐次生产函数与欧拉定理 【定义】齐次生产函数：如果生产函数满足下列性质 1212(,)( ,)kf tx txt f x x则称该生产函数为k次齐次生产函数（这里t是任何正实数，k为任一常数）。（6.14）（）11 1122212121 1221212t1,k1,t1,k1,t1,k1,6.14t(,)(,)( ,)t1( ,).(6.43)xxtx f

8、tx txx f tx txktf x xx fx fkf x x显然，如则生产的规模报酬递增；若则生产规模报酬不变；若则生产规模报酬递减。（）式两边对 求导，有如令会有此式是说，若要素投入量 与分别与其边际产出量111212k,)ffffxxx与相乘，正好等于 乘产出量f(x之积。 （6.43）式通常称为欧拉定理。 欧拉定理有若干应用： 第一，齐次幂与产出弹性之间的关系。 12121212,.(6.44)kxxQQKQxQx对（6.43)式两边除以f(x ,x ),因Q=f(x ,x )就有这说明，如果生产函数是齐次生产函数，且是含两要素的生产函数，则要素的产出弹性之和等于齐次生产函数的幂

9、。1 12112121211,221212k1( ,). 6.45),( ,).(6.46)LKx fx ff x xfffMP fMPMPK MPf x xy第二，耗尽性分配定理。如果，即如果生产函数为一次齐次生产函数（生产规模报酬不变），则从（6.43）式有（）由于 与 分别为要素x 与x 的边际产量（所以，如设X =L,X =K,则 L这说明在规模报酬不变时，若按要素的边际物质产量去对生产要素L与K分别付酬，结果正好把总产量分光，即耗尽全部生产量。这就是耗尽性分配定理。 耗尽性定理可以有两方面的含义：（1）若生产的规模报酬不变（k=1），但要素的报酬超过了其边际生产量，这往往会造成总需求

10、超过总供给y，其结果是通货膨胀。我们常听说，工资增长率不要超过劳动生产率的增长，从道理上讲，是来自于耗尽性分配定理。1121211112212111 12112121212( ,),(1)(1)(1),(1)aaaaaaaaaaf x xAx xfaAxxfAa x xx fx faAx xa Ax xaya yyL xKayLfa yKf（2）相对收入分配比例也与耗尽性分配定理有关。如果q=则于是如果x则a1 aya1 ayf K,LaaAK L全部产出量 在劳动与资本两者之间分配的相对比例为与（）之比。这说明，柯布道格拉斯生产函数若是一次齐次，则这里的 与（1- ）实质上是资本与劳动在国民

11、收入中的相对份额。121212121X.xxxqq二、联合生产与范围经济、联合生产与生产转换线考虑一家企业，它只用一种要素 ，但同时生产两种产品Q 与Q 这样，我们得到一个生产隐函数 H(q ,q ,x)=0 .(6.47) 假定可以解出 ，则 x=h(q ,q ).(6.48)这时，以 数量表达的生产要素量便是两种产出量的函数。我们假定 是正值函数，并且在 与非负定义域内是一个增函数。0120121xxhqqxxxxx):（3）（2）（1）， 生产转换曲线是产出量的组合的集合。给定要素投入量 ，生产转换曲线由下式给定 = （ ， ）.(6.49） 即的所有组合都是用同样多的所生产的。 图6.12给出三条对应不同投入量 的生产转换曲线（每一条生产转换线上的点的斜率表示为多获得一单位的q ，多少q 必须牺牲掉。转换线凹向原点表示，随着q 的数量上升12，为多获一单位q ，需牺牲(放弃)更多的q 。2.范围经济 范围经济是与联合生产有关联的。当一个企业以同一种资源（或同样的资源量）生产一种以上的产出品时，由于生产活动维度的增加（即生产范围在横向上的扩展）所带来的效益增进（或利润上升，或成本节省），叫做范围经济。 如果生产的转换曲线是一条直线，则说明联合生产不会带来任何效益（当然也不会造成损失）