Ch8.2 正态总体均值的假设检验(浙大ppt课件

1、概率论与数理统计概率论与数理统计单个正态总体单个正态总体 均值的检验均值的检验两个正态总体均值差的检验两个正态总体均值差的检验小结小结第二节第二节 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验 1. 知，关于知，关于 的检验的检验Z检验检验 在上一小节中已讨论过正态总体在上一小节中已讨论过正态总体 , 当当 知时关于知时关于 的检验问题的检验问题.在这些检验问在这些检验问题中，我们都是利用在题中，我们都是利用在 为真时服从为真时服从 分分布的统计量布的统计量 来确定回绝域。这种检验法常来确定回绝域。这种检验法常称为称为 Z检验法。检验法。0Xn(0,1)N0H2( ,)N 2022(,)N 一

2、、单个总体 均值 的检验),(2 N)( ,. 12检检验验的的检检验验关关于于为为已已知知Z ),( 2 N体体在上节中讨论过正态总在上节中讨论过正态总: ,02的的检检验验问问题题关关于于为为已已知知时时当当 . : , : )3( ; : , : )2( ; : , : )1(010001000100 HHHHHH假假设设检检验验假假设设检检验验假假设设检检验验 一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验00 (0,1) , /. HNXZnZ讨论中都是利用为真时服从分布的统计量来确定拒绝域的这种检验法称为检验法)( ,. 22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t . , ,

3、 ),(22 显显著著性性水水平平为为未未知知其其中中设设总总体体NX . : , : 0100的拒绝域的拒绝域求检验问题求检验问题 HH , , 21的的样样本本为为来来自自总总体体设设XXXXn , 2未未知知因因为为 . / 0来来确确定定拒拒绝绝域域不不能能利利用用nX , 22的无偏估计的无偏估计是是因为因为 S, 来取代来取代故用故用 S . / 0来作为检验统计量来作为检验统计量即采用即采用nSXt 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服服从正态分布从正态分布, 均为未知均为未知. 现测得现测得16只元件的只元件的寿命如下寿命如下:1704852601492

4、50168362222264179379224212101280159问能否有理由以为元件的平均寿命大于问能否有理由以为元件的平均寿命大于225(小时小时)?2, 例例1 1解解 ,225:,225:100 HH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s查表得查表得7531. 1)15(05. 0 t 6685. 0/0 nsxt .225 , 0小小时时大大于于认认为为元元件件的的平平均均寿寿命命不不故故接接受受 H,差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方定理四定理四 P143分分别别是是具具有有与与设设21,2121nnYY

5、YXXX, ),(211 N相同方差的两正态总体相同方差的两正态总体的的样样),(222 N,本本,且且这这两两个个样样本本互互相相独独立立,1111 niiXnX设设,1212值值分别是这两个样本的均分别是这两个样本的均 niiYnY,)(11112121 niiXXnS 212222)(11niiYYnS则有则有);1, 1(/(1)2122212221 nnFSS ),2(11)()(212121 nntnnSYXw , (2)22221时时当当 ,2)1()1(212222112 nnSnSnSw其中其中.2wwSS 证明证明 (1) 由定理二由定理二),1()1(1221211 nS

6、n ),1()1(2222222 nSn , , 2221独立独立由假设由假设SS 分分布布的的定定义义知知则则由由F222222211211)1()1()1()1( nSnnSn . )1, 1(/ 2122212221 nnFSS 即即1), 1(21 nnF 221221, nnNYX 因为因为212111)()( nnYXU 所以所以(2),1()1( 122211 nSn 由由),1()1(222222 nSn ,且它们相互独立且它们相互独立分布的可加性知分布的可加性知故由故由2 ),1 , 0(NV2222)1( Sn ),2(212 nn ,相互独立相互独立与与由于由于VU)2/

7、(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt.分分布布的的定定义义按按 t 2211)1( Sn 二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN. . ,),(,),( , 22212121注注意意两两总总体体的的方方差差相相等等且且设设两两样样本本独独立立样样本本的的为为来来自自正正态态总总体体的的样样本本为为来来自自正正态态总总体体设设 NYYYNXXXnn 利用利用t检验法可以检验具有一样方差的两正检验法可以检验具有一样方差的两正态总体均值差的假设态总体均值差的假设. , , , 2212221均为未知均为未知方差方差是样本是样本分别是总体

8、的样本均值分别是总体的样本均值又设又设 SSYX .)( : , : 211210的拒绝域的拒绝域为已知常数为已知常数求检验问题求检验问题 HH . 取显著性水平为取显著性水平为 : 统计量作为检验统计量统计量作为检验统计量引入引入 t,11)(21nnSYXtw .2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其其中中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt根据第六章根据第六章2定理四知定理四知,其回绝域的方式为其回绝域的方式为,11)(21knnsyxw , 00HHP拒绝拒绝为真为真 knnSYXPw2111)(21).2( 212/ nntk 得得故回绝域为故回绝域为 21

9、11)(nnsyxtw ).2(212/ nnt 关于均值差的单边检验问题的回绝域见表关于均值差的单边检验问题的回绝域见表8.1, 当两个正态总体的方差均为知当两个正态总体的方差均为知(不一定相不一定相等等)时时,我们可用我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值检验法来检验两正态总体均值差的假设问题差的假设问题, 见表见表8.1 . 0 的的情情况况常常用用 例例 2转转）测测定定冰冰自自和和用用两两种种方方法法（。C72. 0BA)./(C0克克计计以以卡卡的的水水的的融融化化热热变变为为。测得以下数据：测得以下数据：02.8000.8002.8003.8005.8097.7904.8003

10、.8003.8004.8002.8004.8098.79：方法方法A97.7895.7903.8097.7997.7998.7994.7902.80：方法方法B设这两个样本相互独立，设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体且分别来自正态总体),(),(2221 NN和和.,221均未知均未知 :)05. 0 （取取显显著著性性水水平平试检验假设试检验假设, 0210 H, 0211 H解解分别画出对应于方法分别画出对应于方法A和方法和方法B的数据的箱线的数据的箱线图图(图图83略略)，显差别的，显差别的，如图这两种方法所得的结果具有明如图这两种方法所得的结果具有明如今来检验上述我们看到的假设如

11、今来检验上述我们看到的假设.,0H故拒绝故拒绝.BA测得的融化热要大测得的融化热要大比方法比方法认为方法认为方法,131 n,024. 022 As，82 n2203. 0 Bs2ws8/113/1 wBsxxtA 33. 3.7291. 1 )2813(05. 0 t ,98.79B x,02.80 Ax1971222BAss .0007178. 0 三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验( t 检验检验 )这种方法常称为逐对比较法这种方法常称为逐对比较法.两种方两种方法等的差别法等的差别,有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品,或两种仪器或两种仪器,我们常在一样的条件下做对比实验我

12、们常在一样的条件下做对比实验,得到一批成对的察看值得到一批成对的察看值.然后分析察看数据作出然后分析察看数据作出推断推断.得到得到9对察看值如下对察看值如下:,xI,yI例例3 3 有两台光谱仪有两台光谱仪用来丈量资料中某种用来丈量资料中某种金属的含量金属的含量,为鉴定它们的丈量结果有无显著差别为鉴定它们的丈量结果有无显著差别,制备了制备了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均匀性它们的成分、金属含量、均匀性等各不一样等各不一样), 如今分别用这两台机器对每一试块如今分别用这两台机器对每一试块丈量一次丈量一次, 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 0

13、10. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx问能否以为这两台仪器的丈量结果有显著的差别问能否以为这两台仪器的丈量结果有显著的差别?)01. 0( 此题中的数据是成对的此题中的数据是成对的, 即对同一试块一对即对同一试块一对 我们看到一对与另一对之间的差别是由各种我们看到一对与另一对之间的差别是由各种要素要素, 如资料成分、金属含量、均匀性等要素引起如资料成分、金属含量、均匀性等要素引起数据数据,的的.由于各试块的特性有广泛的差别，由

14、于各试块的特性有广泛的差别， 解解表中第一表中第一行不能看成是一个样本的样本值行不能看成是一个样本的样本值.表中第二行也不表中第二行也不能看成是一个样本的样本值能看成是一个样本的样本值. 而同一对中两个数据的差别那么可看成是仅而同一对中两个数据的差别那么可看成是仅素素,而只思索单独由仪器的性能所产生的影响而只思索单独由仪器的性能所产生的影响.于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因由这两台仪器性能的差别所引起的由这两台仪器性能的差别所引起的. 这样这样, 局限局限表中第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差,iiiyxd ),( , 221 dn

15、Nddd来来自自正正态态总总体体设设 ., 2均均为为未未知知这这里里 d假设两台机器的性能一假设两台机器的性能一样样, ,21属属随随机机误误差差则则各各对对数数据据的的差差异异nddd随机误差可以以为服从正态分布随机误差可以以为服从正态分布, , 其均值为零其均值为零.需检验假设需检验假设, 0:0 DH ; 0:1 DH ,221sddddn样样本本方方差差的的样样本本均均值值设设,3554. 3)8(, 9005. 0/ ttnn 现现在在.3554. 3/ nsdtD由察看值得由察看值得,06. 0 d,01227. 0 Ds467. 19/1227. 006. 0 t3554. 3

16、 即知拒绝域为即知拒绝域为 , )1(/0 2/ ntnsdt拒绝域为拒绝域为的值不落在拒绝域内，的值不落在拒绝域内，现现t，故故接接受受0H.著差异著差异机器的测量成果并无显机器的测量成果并无显认为两台认为两台做以下的实验以比较人对红光或绿光的反响做以下的实验以比较人对红光或绿光的反响时间以秒计时间以秒计. 实验在点亮红光或绿光的同时，实验在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，启动计时器， 要求受试者见到红光或绿光点亮时，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，就按下按钮， 切断记时器，切断记时器， 这就能测得反响时间这就能测得反响时间.测得的结果如下表：测得的结果如下表：例例4 4是是来

17、来自自正正态态总总体体设设)8 , 2 , 1( iYXDiii的的样样本本，),(2DDN .,2均未知均未知DD 取取试试检检验验假假设设( 10. 000. 005. 003. 007. 017. 009. 013. 061. 038. 041. 027. 046. 058. 032. 043. 051. 038. 036. 024. 053. 041. 023. 030. 0 yxdyx绿绿光光红红光光)05. 0 显显著著性性水水平平, 0:0 DH ; 0:1 DH , 8 n现现在在,0625. 0 dx,0765. 0 ds而而311.028/ ddsx8946. 1 解解 )

18、7(05. 0t ，故拒绝故拒绝0H，认认为为0D 即认为人对红光的反应即认为人对红光的反应时间，时间，时间小于对绿光的反应时间小于对绿光的反应也就是人对红光的也就是人对红光的反响要比绿光快反响要比绿光快.三、小结三、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:; . 1检检验验的的检检验验单单个个总总体体均均值值Z ; . 221检检验验的的检检验验两两个个总总体体均均值值差差t 正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 ) ( 显显著著性性水水平平为为 4)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nn