高中全程复习方略配套平面向量的基本定理及向量坐标运算（数学文人教A湖南专用）ppt课件

1、第二节 平面向量的根本定理及向量坐标运算三年三年8 8考考 高考指数高考指数: :1.1.了解平面向量根本定理及其意义；了解平面向量根本定理及其意义；2.2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示；掌握平面向量的正交分解及坐标表示；3.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.4.了解用坐标表示的平面向量共线的条件了解用坐标表示的平面向量共线的条件. .1.1.平面向量根本定理的运用、坐标表示下向量的线性运算及向平面向量根本定理的运用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的运用是调查重点量共线条件的运用是调查重点. .2.2.题型以客观题为主，

2、与三角、解析几何等知识交汇那么以解题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇那么以解答题为主答题为主. .1.1.平面向量根本定理平面向量根本定理前提：前提：e1,e2e1,e2是同一个平面内的两个是同一个平面内的两个_._.条件：对于这一平面内的任一向量条件：对于这一平面内的任一向量a, _a, _实数实数1,21,2满足满足a=_.a=_.结论：不共线的向量结论：不共线的向量e1,e2e1,e2叫做表示这一平面内一切向量的叫做表示这一平面内一切向量的一组基底一组基底. .不共线向量不共线向量有且只需一对有且只需一对1e1+2e21e1+2e2【即时运用】【即时运用】判别以下关于基底的说法

3、能否正确判别以下关于基底的说法能否正确( (请在括号内打请在括号内打“或或“).).(1)(1)在在ABCABC中，中， 可以作为基底可以作为基底. .( )( )(2)(2)可以表示一个平面内一切向量的基底是独一的可以表示一个平面内一切向量的基底是独一的. .( )( )(3)(3)零向量不能作为基底零向量不能作为基底. .( )( )【解析】由基底的定义可知【解析】由基底的定义可知(1)(3)(1)(3)正确；正确；(2)(2)只需是同一平面只需是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故内两个不共线的向量都可作为一组基底，故(2)(2)错误错误. .答案：答案：(1) (2)(1)

4、(2) (3) (3)AB AC 、2.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)向量的夹角向量的夹角定义：如图，两个定义：如图，两个_a_a和和b b，作作 那么向量那么向量a a与与b b的夹角的夹角是是_._.范围：向量范围：向量a a与与b b的夹角的范围是的夹角的范围是_._.当当0 0时时,a,a与与b_.b_.当当180180时时,a,a与与b_.b_.当当=90=90时时,a,a与与b_.b_.非零向量非零向量或或AOBAOB0 0180180同向同向反向反向垂直垂直OA,OB ，ab(2)(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个向

5、量正交分解是把一个向量分解为两个_的向量的向量. .(3)(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与在直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向一样的两个单位向轴方向一样的两个单位向量量i,ji,j作为基底，由平面向量根本定理知，该平面内的任一作为基底，由平面向量根本定理知，该平面内的任一向量向量a a可表示成可表示成a=xi+yja=xi+yj，由于，由于a a与数对与数对(x,y)(x,y)是一一对应是一一对应的，因此向量的，因此向量a a的坐标是的坐标是_，记作，记作a=(x,y) a=(x,y) ，其中，其中a a在在x x轴上的坐标是轴上的坐标是_，a

6、a在在y y轴上的坐标是轴上的坐标是_相互垂直相互垂直(x,y)(x,y)x xy y(4)(4)规定规定相等的向量坐标相等的向量坐标_，坐标，坐标_的向量是相等的向量；的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无关，只与其相对位置有关系置无关，只与其相对位置有关系 一样一样一样一样【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：在思索：在ABCABC中，向量中，向量 与与 的夹角为的夹角为ABCABC，能否正，能否正确？确？提示：不正确提示：不正确. .求两向量的夹角时，两向量起点应一样求两向量的夹角时，两向量起点

7、应一样. .向量向量 与与 的夹角为的夹角为-ABC.-ABC.(2)(2)知知A(2A(2，0)0)，a=(x+3a=(x+3，x-3y-5)x-3y-5)，假设，假设a= a= ，O O为原点，为原点，那么那么x=_,y=_.x=_,y=_.【解析】【解析】答案：答案：-1 -2-1 -2AB BC AB BC OAOA(2 0).，ax32x1.x3y50y2 ，解得3.3.平面向量坐标运算平面向量坐标运算向量的向量的加、减加、减法法实数与实数与向量的向量的积积向量的向量的坐标坐标1122xyxy_.若 （ ， ），（ ， ），则，ababab1212xxyy（，）1212xx ,yy（

8、）x,yR_ 若（），则aa1122AxyBxyAB_ 若起点 （ ， ），终点 （ ， ），则xy（，）2121xxyy（，）【即时运用】【即时运用】(1)(1)知知a=(1a=(1，1)1)，b=(1b=(1，-1)-1)，那么，那么 =_.=_.(2)(2)知点知点A(-1A(-1，-5)-5)和向量和向量a=(2,3).a=(2,3).假设假设 ，那么点，那么点B B的的坐标为坐标为_._.(3)(3)设设 那么实数那么实数p p、q q的值分别为的值分别为_、_._.12abAB3 a( 1,2),(1, 1),(3, 2),pq , 且abccab【解析】【解析】(1) (1) (

9、2)(2)设设B(x,y)B(x,y)，那么，那么 =(x,y)-(-1,-5)=3(2,3), =(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).(3)(3(3)(3，-2)=p(-1-2)=p(-1，2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),答案：答案：(1)( (1)( ， ) (2)(5 ) (2)(5，4) (3)1 44) (3)1 411 131()11().22 222,，abAB pq3p1,.2pq2q4 32124.4.平面向

10、量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设设 那么那么abab_._.1122(x ,y ),(x ,y ),abx1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=0【即时运用】【即时运用】(1)(1)知知a=(-1,3),b=(x,-1),a=(-1,3),b=(x,-1),且且a a、b b共线，那么共线，那么x=_.x=_.(2)(2)设设a=(1,1),b=(-1,0),a=(1,1),b=(-1,0),假设向量假设向量a+ba+b与向量与向量c=(2,1)c=(2,1)共线，那么共线，那么=_.=_.【解析】【解析】(1)ab,(-1)2-3x=0,x= .(1)ab,(-1)2-3x=0,

11、x= .(2)a+b=(1,1)+(-1,0)=(-1,),(2)a+b=(1,1)+(-1,0)=(-1,),又又(a+b)c,(-1)1-2=0,=-1.(a+b)c,(-1)1-2=0,=-1.答案：答案：(1) (2)-1 (1) (2)-1 1313 平面向量根本定理及其运用平面向量根本定理及其运用【方法点睛】用平面向量根本定理处理问题的普通思绪【方法点睛】用平面向量根本定理处理问题的普通思绪先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的方先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的方式，再经过向量的运算来处理式，再经过向量的运算来处理. .【提示】在基底未给出的情况下

12、，合理地选取基底会给解题带【提示】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理. .【例【例1 1】如下图，在平行四边形】如下图，在平行四边形ABCDABCD中，中，M M，N N分别为分别为DCDC，BCBC的中的中点，知点，知 试用试用c,dc,d表表示示 【解题指南】直接用【解题指南】直接用c,dc,d表示表示 有难度，可换一个角有难度，可换一个角度，由度，由 表示表示 进而求进而求AM,AN ,cdAB AD. ,AB AD 、AB AD ，AN AM ,AB AD. ,【规范解答】方法一【规

13、范解答】方法一: :设设那么那么 将代入得将代入得 代入代入得得AB,AD, ab1ANNB()2 adb1AMMD()2 bca11()()22 adca42,33adc14242()().23333 bcdccd4242ABAD.3333 ，dccd方法二方法二: :设设由于由于M M，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点，的中点，所以所以因此因此即即AB,AD. ab11BNDM22 ，ba21(2)3212(2)23adccbadabbcd4242AB,AD.3333 dccd【反思【反思感悟】感悟】1.1.以平面内恣意两个不共线的向量为一组基底，以平面内恣意两个不共线的向量为一

14、组基底，该平面内的恣意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，该平面内的恣意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同基底不同, ,表示也不同表示也不同. .2.2.利用知向量表示未知向量，本质就是利用平行四边形法那么利用知向量表示未知向量，本质就是利用平行四边形法那么或三角形法那么进展向量的加减运算或数乘运算或三角形法那么进展向量的加减运算或数乘运算. .【变式训练】知梯形【变式训练】知梯形ABCDABCD，如下图，如下图， ，M M、N N分分别为别为ADAD、BCBC的中点的中点. .设设 试用试用e1,e2e1,e2表示表示2DCAB 12AD,AB ,eeDC ,BC MN.

15、,【解析】【解析】又又又由又由 得得22DCAB2DC, ,e21DC.2 eBCBAADDC ,2121211BC.22 eeeeeMNMAABBN 11MNDAABBC22 121221113().2224 eeeee 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【方法点睛】两向量相等的充要条件【方法点睛】两向量相等的充要条件两向量两向量a=(x1,y1)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等，即坐标分别相等，即 ，利用向量相等可列出方程组求其，利用向量相等可列出方程组求其中的未知量，从而处理求字母取值、求点的坐标及

16、向量的坐标中的未知量，从而处理求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题等问题. .1212xxyy【例【例2 2】(1)(1)设平面向量设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),a=(3,5),b=(-2,1),那么那么a-2ba-2b等于等于( )( )(A)(7(A)(7，3)3)(B)(7(B)(7，7)7)(C)(1(C)(1，7)7)(D)(1(D)(1，3)3)(2)(2)知知A(2A(2，3)3)，B(5B(5，4)4)，C(7C(7，10)10)，求求 ；假设假设 , ,求求m,n.m,n.【解题指南】【解题指南】(1)(1)由向量的坐标运算法那么求解即可由向量的坐标运算法那

17、么求解即可. .(2)(2)利用利用 为点为点B B的坐标减去点的坐标减去点A A的坐标求解的坐标求解. .利用向量相等列出关于利用向量相等列出关于m,nm,n的方程组求解的方程组求解. .AB ABmACnBC AB 【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).A.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).(2)(2) =(5 =(5，4)-(24)-(2，3)=(33)=(3，1).1). =(7 =(7，10)-(210)-(2，3)=(53)=(5，7)7)， =(7 =(7，10)-(510)-(5，4)=(24)=(2，6)

18、6)， =m(5,7)+n(2,6) =m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n)=(5m+2n,7m+6n) =(3 =(3，1)1)，AB AC BC mACnBC ABmACnBC 5m2n3m1.7m6n1n1 ,【互动探求】本例中第【互动探求】本例中第(2)(2)题条件不变，问题变为：题条件不变，问题变为：“假设假设 试求试求为何值时，点为何值时，点P P在一、三在一、三象限的角平分线上象限的角平分线上. .又该如何求解？又该如何求解？【解析】设【解析】设P(x,y),P(x,y),那么那么假设点假设点P P在一、三象限的角平分线上在一、三象限的角平分线上. .那么那么5

19、+5=4+7,= .5+5=4+7,= .APABAC(R), AP(x,y)(2,3)(x2,y3). ABAC(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3 5 ,1 7 ). x235 ,x55 ,APABAC,y317 .y47 . 12【反思【反思感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及求向量的坐标表示等问题，关键是了解平面向量线性运算以及求向量的坐标表示等问题，关键是了解平面向量线性运算和坐标方式的性质与规律和坐标方式的性质与规律. .解题过程中要留意方程思想的运用解题过程中要留意方程思想的运用及正确运用运算法那么及正确运用运

20、算法那么. .【变式备选】知【变式备选】知A(1A(1，-2)-2)、B(2B(2，1)1)、C(3C(3，2)2)和和D(-2D(-2，3)3)，以以 为一组基底来表示为一组基底来表示 【解析】由题知【解析】由题知 =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12 =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12，8).8).又又 为平面内不共线的向量，为平面内不共线的向量，故根据平面向量根本定理，一定存在实数故根据平面向量根本定理，一定存在实数m m、n n，使得，使得AB AC 、ADBDCD. AB(13) AC(2 4) AD( 35) BD( 4 2) , , , , ,C

21、D( 5,1), ADBDCD AB AC ,ADBDCDm ABn AC ,(-12(-12，8)=m(18)=m(1，3)+n(23)+n(2，4)4)，也就是也就是(-12(-12，8)=(m+2n8)=(m+2n，3m+4n)3m+4n)，可得可得 ，解得，解得 . .m2n123m4n8 m32n22 ADBDCD32AB22AC. 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示【方法点睛】利用两向量共线解题的技巧【方法点睛】利用两向量共线解题的技巧(1)(1)普通地，在求与一个知向量普通地，在求与一个知向量a a共线的向量时，可设所共线的向量时，可设所求向量为求向量为a(R)a(R)

22、，然后结合其他条件列出关于，然后结合其他条件列出关于的方的方程，求出程，求出的值后代入的值后代入aa即可得到所求的向量即可得到所求的向量. .(2)(2)假设知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用假设知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“假设假设 那么那么abab的充要条件是的充要条件是x1y2=x2y1x1y2=x2y1解题解题比较方便比较方便. .1122(x ,y ),(x ,y ),ab【提示】【提示】1.1.留意留意0 0的方向是恣意的的方向是恣意的. .2.2.假设假设a a、b b为非零向量，当为非零向量，当abab时，时，a,ba,b的夹角为的夹角为0 0或或1801

23、80，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错求解时容易忽视其中一种情形而导致出错. .【例【例3 3】知】知a=(1,0),b=(2,1),a=(1,0),b=(2,1),(1)(1)当当k k为何值时，为何值时，ka-bka-b与与a+2ba+2b共线共线. .(2)(2)假设假设 且且A A、B B、C C三点共线，求三点共线，求m m的值的值. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)利用向量共线的充要条件列出关于利用向量共线的充要条件列出关于k k的方程求的方程求解即可解即可. .(2)(2)可引入参数可引入参数使使 求求m m，或利用，或利用 的坐标形的坐标形式求式求m.m.AB23 ,

24、BCm ababABBC AB BC 【规范解答】【规范解答】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).ka-bka-b与与a+2ba+2b共线，共线，2(k-2)-(-1)2(k-2)-(-1)5=0,5=0,即即2k-4+5=0,2k-4+5=0,得得k= .k= .(2)(2)方法一方法一:A:A、B B、C C三点共线，三点共线，即即 , ,解得解得m= .m= .12ABBC. 2,23(m ),3m abab3

25、2方法二：方法二： =2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m), =(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),AA、B B、C C三点共线，三点共线， ，8m-3(2m+1)=0,8m-3(2m+1)=0,即即2m-3=0,m= .2m-3=0,m= .AB23 abBCm abAB BC 32【反思【反思感悟】感悟】1.1.利用知列方程求解参数是解该类问题利用知列方程求解参数是解该类问题的关键的关键. .2.2.假设假设 ，那么，那么A A、B B、C C三点共线，留意这一结三点共线，留意这一结论的运

26、用论的运用. .AB AC 【变式训练】知向量【变式训练】知向量 =(3 =(3，-4)-4)， =(6 =(6，-3)-3)， = =(5-m,-3-m),(5-m,-3-m),假设点假设点A A、B B、C C能构成三角形，那么实数能构成三角形，那么实数m m满足的满足的条条件是件是_._.【解析】由于【解析】由于 =(3 =(3，-4)-4)， =(6 =(6，-3)-3)， =(5-m,-3-m) =(5-m,-3-m)，所以所以 =(3 =(3，1)1)， =(-m-1,-m). =(-m-1,-m).由于点由于点A A、B B、C C能构成三角形，所以能构成三角形，所以 与与 不共

27、线，不共线，而当而当 与与 共线时，有共线时，有 解得解得m= ,m= ,故当点故当点A A、B B、C C能构成三角形时实数能构成三角形时实数m m满足的条件是满足的条件是m .m .答案：答案：m m OAOB OC OAOB OC AB BC AB BC AB BC 31m 1m,121212【变式备选】向量【变式备选】向量a=(x,1),b=(9,x),a=(x,1),b=(9,x),假设假设a a与与b b方向相反，方向相反，那么那么x=_.x=_.【解析】由于【解析】由于ab,ab,所以所以x2=9x2=9，所以，所以x=x=3.3.又由于又由于a a与与b b 方向相反，所以方向

28、相反，所以x=-3.x=-3.答案：答案：-3-3【易错误区】忽视向量平行的充要条件致误【易错误区】忽视向量平行的充要条件致误【典例】【典例】(2021(2021湖南高考湖南高考) )设向量设向量a,ba,b满足满足且且a a与与b b的方向相反，那么的方向相反，那么a a的坐标为的坐标为_._.【解题指南】设【解题指南】设a=b (0),a=b (0),利用利用 列出关于列出关于的方的方程求解即可程求解即可. .2 52,1 ,ab2 5a【规范解答】【规范解答】aa与与b b方向相反，方向相反，可设可设a=(2,1)=(2,).a=(2,1)=(2,).由由 解得解得=-2,=-2,或或=

29、2(=2(舍舍) )，故，故a=(-4,-2).a=(-4,-2).答案：答案：(-4(-4，-2)-2)0 , ab252 5 ,a【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时有两点容易出错在解答本题时有两点容易出错: :(1)(1)误认为误认为“a与与b的方向相反的方向相反 ab”致使设致使设a=b出现增解出现增解(4(4，2)2)(2)(2)知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解或无法解题解或无

30、法解题. .备备考考建建议议解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几点易错，在备考时要高度关注点易错，在备考时要高度关注: :(1)(1)遗漏零向量，零向量与任一向量平行遗漏零向量，零向量与任一向量平行(2)(2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件混淆向量共线与向量垂直的充要条件1.(20211.(2021宿州模拟宿州模拟) )设设 x,yR x,yR且且A A、B B、C C三三点共线点共线( (该直线不过点该直线不过点O)O)，那么，那么x+y=( )x+y=( )(A)-1(A)-1(B)1(B)1(C)0(C)0(D)2(D)2【解析】选【解析】选B.B.如图，设如图，设那么那么x=1-,y=,x+y=1.x=1-,y=,x+y=1.OBxOAyOC ,ABAC,