窄带高斯过程包络与相位的分布

1、6.3 窄窄带高斯过程包络与相位的分布带高斯过程包络与相位的分布赵艺群赵艺群314560086.3 窄窄带高斯过程包络与相位的分布带高斯过程包络与相位的分布窄带高斯过程的包络和相位窄带高斯过程的包络和相位6.3.1 包络和相位的一维概率分布包络和相位的一维概率分布已知窄带过程的一般表达式为：已知窄带过程的一般表达式为：由上节内容，已知由上节内容，已知 ， 和和 具有如下关系：具有如下关系：ttAttAtttAtttAtttAtXsc00000sin)(cos)()(sinsin)()(coscos)()(cos)()()(tA)(t)(,)(tAtAsc)()(arctan)()(tan)()

2、()()(122tAtAtAtAttAtAtAcscssc)(sin)()()(cos)()(ttAtAttAtAsc6.3.1 包络和相位的一维概率分布包络和相位的一维概率分布则则 和和 之间的函数关系为之间的函数关系为其中，其中， 为垂直分量为垂直分量 在固定时刻的采样，也都是随机在固定时刻的采样，也都是随机变量。则反变换关系为：变量。则反变换关系为：ttA,stAA,ctctststctstctstctAAAAgAAAAgAarctan),(),(2t221tstAA,ct)(,)(tAtAscttstttAAhAAAhAsin),(cos),(tt2tt1ct6.3.1 包络和相位的一

3、维概率分布包络和相位的一维概率分布 求解思路：求解思路： 首先根据已知的窄带高斯过程垂直分量首先根据已知的窄带高斯过程垂直分量Ac(t),As(t)的统计的统计特性，来研究特性，来研究Act，Ast的统计特性，从而得到的统计特性，从而得到Act，Ast的联的联合概率密度合概率密度 。 从从 出发，利用雅克比变换得到出发，利用雅克比变换得到 的的联合概率密度联合概率密度 。 最后对最后对 的联合概率密度的联合概率密度 积分，求边积分，求边缘概率密度缘概率密度 。 ),(stctAAaafsc),(stctAAaafscttA,),(ttAafttA,),(ttAaf)()(ttAfaf和6.3.

4、1 包络和相位的一维概率分布包络和相位的一维概率分布1.1.求求 都是高斯随机变量。都是高斯随机变量。 已知已知X(t)X(t)是一个平稳高斯过程，由于是一个平稳高斯过程，由于 是是 的线性变换，所以的线性变换，所以 也为平稳高斯过程。又也为平稳高斯过程。又 均为均为 的线性组的线性组合，故合，故 也是平稳高斯过程，所以也是平稳高斯过程，所以 均为高斯变量。均为高斯变量。 ),(stctAAaafscstAA,ct)(tX)(tX)(tX)(,)(tAtAsc)()(tXtX和)(,)(tAtAscstcAA ,tttXttXtAttXttXtAsc0000cos)(sin)()(sin)(c

5、os)()(6.3.1 包络和相位的一维概率分布包络和相位的一维概率分布 根据根据 的性质，的性质， ， 具有零均值和方差具有零均值和方差 。则有：则有： 根据根据 的性质，同一时刻的两个状态互不相关，即的性质，同一时刻的两个状态互不相关，即 互不相关。而对于高斯随机变量来说，互不相关与统计独立等互不相关。而对于高斯随机变量来说，互不相关与统计独立等价，所以价，所以 相互独立。相互独立。)(),(tAtAsc2)(),(tAtAsc)(),(tAtAscstAA,ctstAA,ct22220XAAstctscAEAE6.3.1 包络和相位的一维概率分布包络和相位的一维概率分布 根据以上性质，则

6、其概率密度为：根据以上性质，则其概率密度为：2. 求求2222(,)()()1exp22cscsA ActstActAstctstfaafafaaa),(ttAaf),(),(stctAAttAaafJafsc)sin,cos(ttttAAaafJsc6.3.1 包络和相位的一维概率分布包络和相位的一维概率分布其中雅克比行列式为：其中雅克比行列式为：则则 的联合概率密度为：的联合概率密度为：ttA,20 , 02exp2),(),(),(222ttttstctAAtstctAAttAaaaaafaaafJafscsc0cossinsincosttttttttsttsttcttctaaaaaaa

7、aaJ6.3.1 包络和相位的一维概率分布包络和相位的一维概率分布 3. 求求 包络的一维概率密度包络的一维概率密度瑞利分布瑞利分布 相位的一维概率分布相位的一维概率分布均匀分布均匀分布 从上述分析可以看出：从上述分析可以看出： 这说明，在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独这说明，在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独 立的随机变量。立的随机变量。)()(ttAfaf和2021),()(0ttttAtdaaff0)2exp(),()(22220ttttttAtAaaadafaf)()(),(ttAttAfafaf6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布包络和相位各自的二维概率分布求包

8、络和相位的二维概率密度的步骤如下：求包络和相位的二维概率密度的步骤如下： 先求出四维概率密度先求出四维概率密度 ，然后转换为，然后转换为最后再推导出最后再推导出 和和 。1.1.求求 假定窄带随机过程假定窄带随机过程X(t)X(t)的功率谱密度的功率谱密度 关于载波频率关于载波频率 偶对偶对称称),(2211scscAAaaaafsc),(2211aafA),(21aafA),(21f),(2211scscAAaaaafsc),(),(),(21212211ssAccAscscAAaafaafaaaafscsc)(GX06.3.2 包络和相位各自的二维概率分布包络和相位各自的二维概率分布u二维

9、高斯变量二维高斯变量(Ac1，Ac2)的协方差矩阵为：的协方差矩阵为： 平稳高斯过程平稳高斯过程 的的 和和u二维高斯变量（二维高斯变量（X，Y）的联合概率密度形式：）的联合概率密度形式：220022122111）（）（）（）（）（）（ccccccccccccccAAAAAAAAAAAAAARRCCCCCCCCC)(tAc)()(ccAARC2)0(cAC)(2)()(2)(exp21),(22222x2x2222XYYXYXYXYYXYYXXYCmymymxCmxCyxf6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布包络和相位各自的二维概率分布二维高斯变量（二维高斯变量（X，Y）的联合概率密度形式

10、：）的联合概率密度形式：二维高斯变量二维高斯变量 的联合概率密度：的联合概率密度：)(2)()(2)(exp21),(22222x2x2222XYYXYXYXYYXYYXXYCmymymxCmxCyxf)(2)(2exp)(21),(24222212122421ccccAcccAcAccARaaaRaRaaf),21ccAA（6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布包络和相位各自的二维概率分布二维高斯变量二维高斯变量 的联合概率密度：的联合概率密度：二维高斯变量二维高斯变量 的联合概率密度：的联合概率密度：),21ccAA（),21ssAA（)(2)(2exp)(21),(2422221212

11、2421ccccAcccAcAccARaaaRaRaaf)(2)(2exp)(21),(24222212122421ssssAsssAsAssARaaaRaRaaf6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布包络和相位各自的二维概率分布 四维高斯变量四维高斯变量 的联合概率密度为：的联合概率密度为：),2221ssccAAAA（)(2)(2)(exp)()2(1),(),(),(24212122222221224221212211scsscscAssccAssccAssAccAscscAARaaaaRaaaaRaafaafaaaaf）（）（scAARR6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布包络和

12、相位各自的二维概率分布2. 求求 和和 的关系为：的关系为： 雅克比行列式为：雅克比行列式为：),(2211aafA222242222232111121111111sin),(cos),(sin),(cos),(AAhAAAhAAAhAAAhAscsc0cossin00sincos0000cossin00sincos21222222111111aaAAAAJ),2121ssccAAAA（),2221AA（6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布包络和相位各自的二维概率分布四维随机变量四维随机变量 的联合概率密度为：的联合概率密度为：),2221AA（其他；，, 02,00,)(2)cos()(

13、2)(exp)()2(),(),(2121241221222122422122112211aaRaaRaaRaaaaaafJaafscsscAAAscscAAA6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布包络和相位各自的二维概率分布3. 求求 和和 各自的二维联合概率密度各自的二维联合概率密度 和和 其中，其中， 第一类零阶修正贝尔赛尔第一类零阶修正贝尔赛尔(Bessel)(Bessel)函数函数 )(tA)(t),(21aafA),(21f 其他，, 00,)(2)(exp)()()(),(),(212422212242102421212020221121aaRaaRRaaIRaaddaafaafsscsAAAAA