符号计算系统Mathematica及其应用

1、众所周知，高等数学中许多重要方法，如求极限、众所周知，高等数学中许多重要方法，如求极限、求导数、求不定积分、求定积分、解常微分方程、向量求导数、求不定积分、求定积分、解常微分方程、向量运算、求偏导数、计算重积分、级数展开等，只靠笔算运算、求偏导数、计算重积分、级数展开等，只靠笔算难以完成难以完成.为提高读者用高等数学解决实际问题的能为提高读者用高等数学解决实际问题的能力， 本章将对力， 本章将对符号计算系统符号计算系统 Mathematica 及其在上述运及其在上述运算中的应用进行简单介绍算中的应用进行简单介绍 第一节第一节 初识符号计算系统初识符号计算系统Mathematica 第二节第二节

2、 用用MathematicaMathematica做高等数学做高等数学 第十四章第十四章 符号计算系统符号计算系统MathematicaMathematica及其应用及其应用 第一节第一节 初识符号计算系统初识符号计算系统Mathematica 一一、算术运算算术运算 二、二、代数运算代数运算 四、四、Notebook与与Cell 三、三、系统的帮助系统的帮助 五、五、常用函数常用函数 六、六、变量变量 七、七、自定义函数自定义函数 八、八、表表 九、九、解方程解方程 十、十、Which语句语句 十一、十一、Print语句语句 第第一一节节 初初识识符符号号计计算算系系统统 M Ma at t

3、h he em ma at ti ic ca a 大家知道， 计算机是应数值计算的需要而诞生的 今大家知道， 计算机是应数值计算的需要而诞生的 今天，计算机已从单纯的数值计算功能发展到文字处理、天，计算机已从单纯的数值计算功能发展到文字处理、数学推理与图形变换等功能，正在不断改变着我们的工数学推理与图形变换等功能，正在不断改变着我们的工作及生活方式，使人类的劳动效率及生活水平都在不断作及生活方式，使人类的劳动效率及生活水平都在不断提高随着计算机的逐步普及，人们对计算机的依赖程提高随着计算机的逐步普及，人们对计算机的依赖程度越来越高 数学软件包就是为方便广大工程技术人员、度越来越高 数学软件包就

4、是为方便广大工程技术人员、大专院校师生及科学技术人员用计算机处理数学问题而大专院校师生及科学技术人员用计算机处理数学问题而提供的软件工作平台数学软件包不仅能方便的进行数提供的软件工作平台数学软件包不仅能方便的进行数值计算，而且能方便的进行数学表达式的化简、因式分值计算，而且能方便的进行数学表达式的化简、因式分解、多项式的四则运算等数学推理工作，一般称后者为解、多项式的四则运算等数学推理工作，一般称后者为符号计算因此，数学软件包又称为符号计算因此，数学软件包又称为符号计算系统符号计算系统 Mathematica系统是目前世界上应用最广泛的符号系统是目前世界上应用最广泛的符号计算系统，它是由美国伊

5、利诺大学复杂系统研究中心主计算系统，它是由美国伊利诺大学复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计算机科学教授任、物理学、数学和计算机科学教授Stephen Wolfram 负责研制的该系统用语言编写，博采众长，具有简负责研制的该系统用语言编写，博采众长，具有简单易学的交互式操作方式、强大的数值计算功能及符号单易学的交互式操作方式、强大的数值计算功能及符号计算功能、人工智能列表处理功能以及像和计算功能、人工智能列表处理功能以及像和ascal语言那样的结构化程序设计功能它有语言那样的结构化程序设计功能它有DosDos环境下及环境下及Windos环境下的几种版本这里主要介绍环境下的几种版本这里主要介绍

6、Windos环境环境下的下的2.21版本在高等数学中的应用，其他版本类似版本在高等数学中的应用，其他版本类似 双双击击 Mathematica 之之图图标标 ，启启动动 Mathematica系系统统，计计算算机机屏屏幕幕出出现现 Mathematica 的的工工作作窗窗口口（见见下下图图） ，此此时时可可以以通通过过键键盘盘输输入入要要计计算算的的表表达达式式 一、用一、用athematicaathematica作算术运算作算术运算例例 1 1 计计算算 100！ 解解 在在主主工工作作窗窗口口用用户户区区 （见见下下页页图图） 中中， 输输入入 100！ 注意：在上图中，注意：在上图中，I

7、n1：= 与与 Out1= 均是在运算均是在运算后由系统自动给出的，用户不能自己输入后由系统自动给出的，用户不能自己输入. 例例 2 2 求求表表达达式式 2 42- -1 10 0（4 4+ +1 1）的的值值 解解 在工作窗口输入表达式在工作窗口输入表达式 2*4 2*422- -10/(4+10/(4+1 1) )后后, ,单击运算按钮单击运算按钮，得运算结果，得运算结果 3030（见下图）（见下图）. .由上例不由上例不难看出难看出 + +、- -、 * *、/ /、 分别为分别为 MathematicaMathematica 系统中的加、系统中的加、减、乘、除及乘方的运算符号，其运算

8、规律与初等数学减、乘、除及乘方的运算符号，其运算规律与初等数学中的规定是一致的 下图中中的规定是一致的 下图中,%,%代表上一个语句的输出结代表上一个语句的输出结果果, ,该例中指该例中指 30.30. 例例 3 3 分分别别求求面面积积为为 6 60 0 c cm m2 2的的圆圆盘盘的的半半径径与与直直径径（保保留留 1 10 0 位位有有效效数数字字） 解解 In1:=N(In1:=N(6060Pi)(1/2),Pi)(1/2),1010 Out1=Out1= 4.370193722 4.370193722 In2:=In2:=NN2*2*OutOut11,10,10 Out2=Out2

9、= 8.740387445 8.740387445 N(60/Pi)(1/2),20N(60/Pi)(1/2),20 中的中的i i 代表圆周率代表圆周率，它是它是 MathematicaMathematica 系统中提供的系统中提供的数学常数数学常数, , 系统中系统中的数学常数还有 （自然对数的底） 、的数学常数还有 （自然对数的底） 、 I I （虚单位（虚单位1）等等 N(60/Pi)(1/2),10N(60/Pi)(1/2),10 表 示 在 计 算 表 达 式表 示 在 计 算 表 达 式 (60/Pi)(1/2)(60/Pi)(1/2)的值时保留的值时保留 1010 位有效数字位

10、有效数字 N N表达表达式式, ,mm为为 MathematicaMathematica 系统中的系统中的求值函数求值函数，它表示对，它表示对给定的表达式求出具有给定的表达式求出具有 m m 位有效数字的数值结果位有效数字的数值结果 athematicaathematica 的一个重要的功能是进行代数公式的一个重要的功能是进行代数公式演算，即符号运算演算，即符号运算 例例 4 4 设有多项式设有多项式 3 3x2 2+2+2 x- -1 1 和和 x2 2- -1 1， (1) (1) 求二者的和、差、积、商；求二者的和、差、积、商； (2) (2) 将二者的积展开成单项式之和；将二者的积展开

11、成单项式之和； (3) (3) 将二者的积进行分解因式将二者的积进行分解因式 解解 In1:= In1:=p1=3*x2+2xp1=3*x2+2x- -1 1 Out1=Out1=- -1+2x+3x1+2x+3x2 2 In2:=In2:=p2=x2p2=x2- -1 1 Out2=Out2=- -1+x1+x2 2 In3:= In3:=p1+p2p1+p2 Out3= Out3=- -2+2x+4x2+2x+4x2 2 二、代数运算二、代数运算In4:In4:=p1=p1- -p2p2 Out4= Out4=2x+2x2x+2x2 2 In5: In5:=p1*p2=p1*p2 Out5

12、= Out5=( (- -1+x1+x2 2)()(- -1+2x+3x1+2x+3x2 2) ) In6: In6:=p1/p2=p1/p2 （- -1+21+2x+3xx+3x2 2） Out6=Out6=- - -1+x1+x2 2 In7:= In7:=Factorp1*p2Factorp1*p2 Out7=Out7=( (- -1+x)(1+x)1+x)(1+x)2 2( (- -1+1+3x)3x) In8:= In8:=Expandp1*p2Expandp1*p2 Out8= Out8=1 1- -2x2x- -4x4x2 2+2x+2x3 3+3x+3x4 4 由例由例 4 4

13、 可以看出多项式间的加、减、乘、除运算符可以看出多项式间的加、减、乘、除运算符号分别为号分别为+ +、- -、；、；FactorFactor多项式多项式 表示将其中括表示将其中括号内的多项式分解因式；号内的多项式分解因式；ExpandExpand多项式多项式 表示将其中括表示将其中括号内的多项式展开成按升幂排列的单项式之和的形式号内的多项式展开成按升幂排列的单项式之和的形式 值值得得注注意意的的是是，上上面面提提到到的的 N N 表表达达式式，m m 、F Fa ac ct to or r 多多项项式式 、E Ex xp pa an nd d 多多项项式式 均均是是 M Ma at th he

14、 em ma at ti ic ca a 系系统统中中的的函函数数，其其中中 N N，F Fa ac ct to or r，E Ex xp pa an nd d 分分别别为为其其函函数数名名（函函数数名名的的第第一一个个字字母母必必须须大大写写） 事实上，事实上，MathematicaMathematica 系统中含有丰富的函数后系统中含有丰富的函数后面将结合具体内容介绍有关函数命令面将结合具体内容介绍有关函数命令 单击帮助按单击帮助按钮 或 在 “钮 或 在 “ HelpHelp ” 菜单 中 选 择” 菜单 中 选 择“Search for Help onSearch for Help o

15、n”则调出与”则调出与下页下页图图类似的帮助类似的帮助对话框， 然后在第一个文本框内输入要查询的函数 （或对话框， 然后在第一个文本框内输入要查询的函数 （或命令）的前几个字符，则在第二个文本框内显示以输命令）的前几个字符，则在第二个文本框内显示以输入字符开头的函数（或命令）列表，选择要查找的函入字符开头的函数（或命令）列表，选择要查找的函数（或命令） ，单击“显示”数（或命令） ，单击“显示” 命令按钮便调出该函数命令按钮便调出该函数（或命令）的使用规则说明（或命令）的使用规则说明 三、系统的帮助Notebook 是是 Mathematica Mathematica 系统提供给用户的最基系统

16、提供给用户的最基本的工作环境它就像字处理软件中的文档本的工作环境它就像字处理软件中的文档Notebook上方有主菜单（下图上方有主菜单（下图 1）及工具按钮条）及工具按钮条(下图下图 2)借助于借助于主菜单或工具按钮条可进行编辑、保存、打印及打开等主菜单或工具按钮条可进行编辑、保存、打印及打开等操作操作 图图1图图2四、Notebook与CellCell 是组成是组成 Notebook 的基本单元，也称为单元一的基本单元，也称为单元一个输入、一个输出或一个图形都是一个单元（个输入、一个输出或一个图形都是一个单元（Cell） ，一） ，一个个 Cell 的全部内容由靠窗口右边的方括号括起来，这个

17、的全部内容由靠窗口右边的方括号括起来，这个方括号就像方括号就像 Cell 的手柄，单击这个方括号就选定了这个的手柄，单击这个方括号就选定了这个Cell，然后就可以对这个，然后就可以对这个 Cell 进行移动、复制、剪切、进行移动、复制、剪切、计算的按钮操作或执行菜单命令计算的按钮操作或执行菜单命令 若干个若干个 Cell 可以组织成一个组可以组织成一个组(Cells)，组的标志是，组的标志是一个外层大括号括着几个小括号通过在“一个外层大括号括着几个小括号通过在“Cell”主菜单”主菜单中选择“中选择“Group Cell”命令实现对若干个选定的单元”命令实现对若干个选定的单元（Cell）进行组

18、“组”操作；通过先单击“组”）进行组“组”操作；通过先单击“组” 括号，括号，再在“再在“Cell”主菜单中选定“”主菜单中选定“ UnGroup Cell” 命令实现命令实现对选定的“组”对选定的“组” 进行解散一个组的操作进行解散一个组的操作 关关于于菜菜单单命命令令及及键键盘盘命命令令请请分分别别参参见见表表 1 及及表表 2: 菜单命令菜单命令 键盘命令键盘命令 意义意义 Formatted Ctrl+T 设定设定 Cell 的格式的格式 Group Cells Ctrl+G 将多个将多个 Cell 组成组成一个组一个组 Ungroup Cells Ctrl+U 解散一个组解散一个组

19、菜单命令菜单命令 键盘命令键盘命令 意义意义 Evaluate Selection Shift+Enter 计算当前选定计算当前选定的单元的单元 Evaluate Next Input Ctrl+ Enter 计算下一个输计算下一个输入入 Interrupt Alt+. . 中断中断 表表1表表2另另外外，要要想想在在同同一一个个单单元元（Cell）中中进进行行换换行行操操作作，只只需需在在需需要要换换行行的的地地方方打打回回车车键键（Enter）即即可可. MathematicaMathematica 中的数学函数是根据定义规则命名中的数学函数是根据定义规则命名的就大多数函数而言，其名字通常

20、是英文单词的全的就大多数函数而言，其名字通常是英文单词的全写 对于一些非常通用的函数， 系统使用传统的缩写 如写 对于一些非常通用的函数， 系统使用传统的缩写 如“积分积分”用其全名用其全名 IntegrateIntegrate，而，而“微分微分”则用其缩写则用其缩写名名 D D（这两个函数（这两个函数在本在本章章第二第二节中要专门介绍） 下面给节中要专门介绍） 下面给出些常用函数的函数名出些常用函数的函数名 Expz Expz 自然数自然数e e为底的指数函数为底的指数函数 Logz Logz 自然数自然数e e为底的对数函数为底的对数函数 LogbLogb，z z 自然数自然数 b b 为

21、底的对数函数为底的对数函数 五、常用函数五、常用函数SinzSinz，Cosz Cosz 正弦函数与余弦函数正弦函数与余弦函数 TanzTanz，Cotz Cotz 正切与余切函数正切与余切函数 SeczSecz，Cscz Cscz 正割与余割函数正割与余割函数 ArcSinzArcSinz，ArcCosz ArcCosz 反正弦函数与反余弦函数反正弦函数与反余弦函数 ArcTanzArcTanz，ArcCotz ArcCotz 反正切与反余切函数反正切与反余切函数 ArcSeczArcSecz，ArcCscz ArcCscz 反正割与反余割函数反正割与反余割函数 如如上上三三角角函函数数与与

22、反反三三角角函函数数中中的的参参量量为为弧弧度度 S Sq qr rt t z z 求求 z z 的的 2 2 次次方方根根 z z ( (1 1/ /n n) ) 求求 z z 的的 n n 次次方方根根 当当 z z 0 0 时时，如如上上两两个个函函数数均均有有惟惟一一的的值值；当当 z z a .注注意意 x x- - a a 中中的的箭箭头头“- - ”是是由由键键盘盘上上的的减减号号及及大大于于号号组组成成的的. . 该该语语句句给给函函数数 fx中中的的变变量量临临时时赋赋予予数数值值 用用临临时时赋赋值值语语句句给给变变量量赋赋的的值值，只只在在该该语语句句有有效效 在在 M

23、Ma at th he em ma at ti ic ca a 中中，所所有有的的输输入入都都是是表表达达式式，所所有有的的操操作作都都是是调调用用转转化化规规则则对对表表达达式式求求值值一一个个函函数数就就是是一一条条规规则则, ,定定义义一一个个函函数数就就是是定定义义一一条条规规则则 定定义义一一个个一一元元函函数数的的规规则则是是 f f x x_ _ : := =或或 f f x x_ _ = =的的后后面面紧紧跟跟一一个个以以 x x为为变变量量的的表表达达式式，其其中中 x x_ _称称为为形形式式参参数数 七、自定义函数七、自定义函数调用自定义函数调用自定义函数fx_fx_时时

24、, ,只需用实在参数只需用实在参数( (变量或数值变量或数值等等) )代替代替其其中的形式参数中的形式参数 x_x_即可即可 如果用如果用fx=fx=表达式定义一个函数， 那么这个规则表达式定义一个函数， 那么这个规则只对成立，既中只对成立，既中 fxfx中中的不能用任何其他的东西取的不能用任何其他的东西取代 在运行中， 可用代 在运行中， 可用fx_:=fx_:= 清除函数 清除函数 fx_fx_的定义，的定义，用用 ClearfClearf清除所有以清除所有以 f f 为函数名的函数定义为函数名的函数定义 例例2 2 定 义 函 数定 义 函 数f=f=x2 2+ +x+cos+cosx,

25、 , 先 分 别 求先 分 别 求x =1,3.1,Pi/2 =1,3.1,Pi/2 时的函数值时的函数值; ;再求再求 f(f(x 2 2) ) 解解 I In n 1 1 : := = f f x x_ _ : := =x x 2 2+ +S Sq qr rt t x x + +C Co os s x x I In n 2 2 : := =f f 1 1. . Out2=2.5403Out2=2.5403 In3:=f3.1In3:=f3.1 Out3=10.3715 Out3=10.3715 In4:=fNPi/2.In4:=fNPi/2. Out4=3.72072Out4=3.7207

26、2 In5:=fx2In5:=fx2 Out5=xOut5=x4 4+Sqrtx+Sqrtx2 2+Cosx+Cosx2 2 在在 O Ou ut t 5 5 中中，由由于于系系统统不不知知到到变变量量 x 的的符符号号，所所以以没没有有对对x进进行行开开方方运运算算 1 1表表的的生生成成 系统将表定义为有关联的元素组成的一个整体用系统将表定义为有关联的元素组成的一个整体用表可以表示数学中的集合、向量、矩阵，也可以表示数表可以表示数学中的集合、向量、矩阵，也可以表示数据库中的一组记录据库中的一组记录 一维表的表示形式是用花括号括起来的且中间用一维表的表示形式是用花括号括起来的且中间用逗号分开

27、的若干元素如：逗号分开的若干元素如： 11，2 2，100100，x x，yy 表示由表示由 1 1，2 2，100100，x x，y y 这这 5 5 个元素组成的一维表个元素组成的一维表 二二维维表表的的表表示示形形式式是是用用花花括括号号括括起起来来的的且且中中间间用用逗逗号号分分开开的的若若干干个个一一维维表表, ,如如: : 1 1, ,2 2, ,5 5 , , 2 2, ,4 4, ,4 4 , , 3 3, ,6 6, ,8 8 , , a a, ,b b , , 1 1, ,2 2 均均是是二二维维表表, ,二二维维表表就就是是“表表中中表表” 八、表八、表2 2表表的的元元

28、素素 对对于于一一维维表表 b b 用用 b b i i 或或 P Pa ar rt t b b, ,i i 表表示示它它的的第第 i i个个元元素素( (分分量量) ); ;对对于于二二维维表表 b b，b b i i 或或 P Pa ar rt t b b, ,i i 就就表表示示它它的的第第 i i 个个分分表表（分分量量） ，其其第第 i i 个个分分表表中中的的第第 j j 个个元元素素用用 b b i i, ,j j 来来描描述述 In1In1：= b=3,6,9,11= b=3,6,9,11 In2 In2：=b2=b2 Out2=6 Out2=6 3 3表表的的运运算算 设设表

29、表 b b1 1、b b2 2 是是结结构构完完全全相相同同的的两两个个表表表表 b b1 1 与与 b b2 2的的和和、差差、积积、商商等等于于其其对对应应元元素素间间的的相相应应运运算算（分分母母不不能能为为零零） 如如： In1:=b1=1,2,3,4;In1:=b1=1,2,3,4; In2:=b2=2,4,6,8;In2:=b2=2,4,6,8; In3:=b1+b2In3:=b1+b2 Out3=3,6,9,12Out3=3,6,9,12 In4:=b1In4:=b1b2b2 Out4=Out4=1,1,2,2,3,3,44 In5:=b1*b2In5:=b1*b2 Out5=2

30、,8,18,32Out5=2,8,18,32 In6:=b1/b2In6:=b1/b2 Out6=Out6=21,21,21,21 上上面面输输入入语语句句I In n 1 1 和和I In n 2 2 均均以以分分号号( (; ;) )结结尾尾, ,则则不不输输出出运运算算结结果果 此此外外, ,一一个个数数或或一一个个标标量量乘乘一一个个表表等等于于这这个个数数( (或或这这个个标标量量) )分分别别乘乘表表中中每每个个元元素素 1. Solve Solve 是解方程或方程组的函数，其形式为是解方程或方程组的函数，其形式为Solveeqns, vars，其中，其中 eqns 可以是单个程也

31、可以是方可以是单个程也可以是方程组， 单个方程用程组， 单个方程用 exp= =0 (其中其中 exp 为关于未知元的表为关于未知元的表达式达式) 的形式；的形式； 方程组写成用大括号括起来的中间用逗方程组写成用大括号括起来的中间用逗号分割的若干个单个方程的集合，如由两个方程组成的号分割的若干个单个方程的集合，如由两个方程组成的方程组应写成方程组应写成exp1= =0,exp2= =0；vars 为未知元表，为未知元表，其形式为其形式为, 2, 1xnxx.如：如： In1: =Solvex2-1= =0,x （*解方程解方程012x*） Out1= x -1, x 1 （*方程方程012x的

32、两的两个解个解*） 九、解方程九、解方程In2:=Solve2x+y= =4,x+y= =3,x,y（*解方程组解方程组3, 42yxyx*） Out2= x - 1, y - 2（*输出方程组输出方程组3, 42yxyx的两个解的两个解*） 值得注意的是值得注意的是 Solve 语句把所求方程的根先赋给未语句把所求方程的根先赋给未知元后再连同未知元及赋值号知元后再连同未知元及赋值号 用花括弧括起来作为用花括弧括起来作为表的一个元素放在表中，如表的一个元素放在表中，如 Out1= x -1, x 1若想在运算过程中直接引用若想在运算过程中直接引用 Solve 的输出结果，的输出结果，可按变量替

33、换形式（可按变量替换形式（fx/.xa）把所需要的根赋给某一）把所需要的根赋给某一变元变元. In3: = j=% Out3= x -1, y -2 In4: =x1=x/j1,1 (* j1,1等价于等价于 x -1 *) Out4=1 (*变量变量 x1 的值的值*) In5: =x2=y/ j1,2 (* j1,2 等价于等价于 x- 2 *) Out5=2 (*变量变量 x2 的值的值*) Which 语句的一般形式为：语句的一般形式为： Which条件条件 1, 表达式表达式 1, 条件条件 2, 表达式表达式 2 ,条条件件 n, 表达式表达式 n 十、十、WhichWhich语句

34、语句Which 语语句句的的执执行行过过程程：从从计计算算条条件件 1 开开始始，依依次次计计算算条条件件 i (i=1,n),直直至至计计算算出出第第一一个个条条件件为为真真时时为为止止，并并将将该该条条件件所所对对应应的的表表达达式式的的值值作作为为 Which 语语句句的的值值用用 Which 语语句句可可以以方方便便的的定定义义分分段段函函数数 Print 为输出命令为输出命令,其形式为其形式为 ； Print表达式表达式 1, 表达式表达式 2 , 执行执行 Print 语句， 依次输出表达式语句， 依次输出表达式 1， 表达式， 表达式 2 ,等等表达式，两表达式之间不留空格表达式

35、，两表达式之间不留空格,输出完成后换行通常输出完成后换行通常Print 语句先计算出表达式的值，再将表达式的值输语句先计算出表达式的值，再将表达式的值输出若想原样输出某个表达式或字符出若想原样输出某个表达式或字符,需要对其加引号，需要对其加引号，参见下例中的参见下例中的 Print 语句语句 十一、十一、PrintPrint语句语句思考题思考题 1 1. .F Fa ac ct to or r x x 2 2+ +2 2x x- -3 3 的的运运行行结结果果. . 2.2.在在 M Mathematicaathematica 的主工作面中， 表达式的主工作面中， 表达式 FactorFact

36、or（x2+xx2+x- -4 4）的运行结果如何？）的运行结果如何？ 3 3. 给给出出下下列列语语句句的的运运行行结结果果. In1:=b1=2,4,6,8,10; In2:=b2=Tableb1i-b1i-1,i,2,5 In3:=b3=Insertb2,b11,1 In4:=b4=b1*b3 In5:=Log100,10000 In6:=LogE10 In7:=Log100 In8:=Sqrt2+Sqrt2 4.如何在一个语句中给出如何在一个语句中给出xsin在在 x=15， 4545， 6060，7575，9090的值的值? 第二节第二节 用用MathematicaMathemati

37、ca做高等数学做高等数学 七、七、求偏导数求偏导数一、一、求极限求极限 二、二、求导运算求导运算 三、三、做导数应用题做导数应用题 四、四、做一元函数的积分做一元函数的积分 五、五、 解常微分方程解常微分方程 六、六、做三维图形做三维图形 八、八、计算重积分计算重积分 九、九、级数运算级数运算 十、十、 做数值计算做数值计算 第第二二节节 用用 M Ma at th he em ma at ti ic ca a 做做高高等等数数学学 在在 MathematicaMathematica 系统中，求极限的函数为系统中，求极限的函数为 LimitLimit，其形式如下：其形式如下： Limitfx,

38、x Limitfx,x- -aa, , 其中其中 fxfx是以是以 x x 为自变量的函数或表达式，为自变量的函数或表达式，x x- -aa 中的中的箭头“箭头“- - ”是由键盘上的减号及大于号组成的”是由键盘上的减号及大于号组成的. .求表达求表达式的左极限和右极限时，分别用如下形式实现：式的左极限和右极限时，分别用如下形式实现： Limitfx,xLimitfx,x- -aa，DirectionDirection- -11 ( (左极限左极限) ) Limitfx,x Limitfx,x- -aa，DirectionDirection- - - -1 1 ( (右极限右极限) ) 一、用

39、一、用MathematicaMathematica做高等数学做高等数学例例 1 1 求下列极限求下列极限: : (1) (1) xxx1elim20; (2) ; (2) xx102lim; (3) ; (3) xx2lim0; ; (4)(4)xxarctanlim; ; (5) (5) xxarctanlim. . 解解 In1:=In1:= Limit(E(2*x) Limit(E(2*x)- -1)/x,x1)/x,x- -00 (*(* 计算计算xexx1lim20 *) *) Out1=2Out1=2 In2:=In2:=Limit2(1/x),xLimit2(1/x),x- -0

40、,Direction0,Direction- - - -1 1 (*(* 计算计算xx102lim*)*) Out2=Out2=InfinityInfinity (* Infinity (* Infinity 为正无为正无穷大穷大 *) *) In3:=In3:=Limit2x,xLimit2x,x- -0,Direction0,Direction- -11 (*(* 计算计算xx2lim0*)*) Out3=Out3=1 1 In4:=In4:=LimitArcTanx,xLimitArcTanx,x- -InfinityInfinity (*(* 计算计算 xxarctanlim *) *

41、) Out4=Out4=2Pi In5:=In5:=LimitArcTanx,xLimitArcTanx,x- - - -InfinityInfinity (*(* 计算计算 xxarctanlim *) *) Out5=Out5=2Pi 注注意意：如如上上用用（* * * *）括括起起来来的的内内容容为为对对其其前前面面的的输输入入语语句句 I In n n n 的的注注释释. . 在在 Mathematica 系统中， 用系统中， 用 Df,x表示表示 f(x)对对 x 的一的一阶导数，用阶导数，用 Df,x,n表示表示 f(x)对对 x 的的 n 阶导数阶导数.在一定范在一定范围内，也能

42、使用微积分中的撇号（撇号为计算机键盘上围内，也能使用微积分中的撇号（撇号为计算机键盘上的单引号）标记来定义导函数，其使用方法为：若的单引号）标记来定义导函数，其使用方法为：若 fx为一元函数为一元函数,则则 fx给出给出 fx的一阶导函数的一阶导函数,fx0给出给出函数函数 fx在在 x=x0处的导数值处的导数值.同样同样 f x给出给出 fx的二阶的二阶导函数导函数,f x给出给出 fx的三阶导函数的三阶导函数. 例例 2 2 求下列函数的一阶导函数求下列函数的一阶导函数 （1）8xy ; （2）xxysin8. 二、用二、用MathematicaMathematica进行求导运算进行求导运

43、算解解 In1: =Dx8,x Out1=8x7 In2:=Dx8*Sinx,x Out2=x 8Cosx +8x7Sinx 例例 求函数求函数xxy28e的的 2 阶导函数阶导函数. 解解 In3:= Dx8*E(2*x),x,2 (* 求求 函函 数数xxy28e 的的二二阶阶导导函函数数*) Out3=56 E2x x6+32 E2x x7+4 E2x x8 大家知道，导数应用指的是：用导数的性态来研大家知道，导数应用指的是：用导数的性态来研究函数的性态，主要包括函数的单调性、凹向、极值究函数的性态，主要包括函数的单调性、凹向、极值与最值的求法以及一元函数图形的描绘与最值的求法以及一元函

44、数图形的描绘. 由于对函数由于对函数单调性、凹向等问题的研究，不但需要进行求导运算单调性、凹向等问题的研究，不但需要进行求导运算而且还需要进行解方程及条件判断等工作因此，本而且还需要进行解方程及条件判断等工作因此，本节在用节在用 Mathematica 做导数应用题的过程中，经常使做导数应用题的过程中，经常使用用 Mathematica 系统中的系统中的 Solve,Wich,Print 这三个函这三个函数数 例例 设函数设函数xbxxaxf2ln)(在在11x，22x处都取得极值，试定出处都取得极值，试定出 a，b的值，并问这时的值，并问这时)(xf在在11x，22x处是取得极大值还是极小值

45、？处是取得极大值还是极小值？ 三、用三、用MathematicaMathematica做导数应用题做导数应用题解解 In1:= fx_:=a*Logx+b*x2+x In2:=Solvef 1=0, f 2=0,a,b （*解方程解方程求驻点求驻点*） In3:=c=%; （* 将方程组的解赋给变量将方程组的解赋给变量 c *） In4: =a=a/.c1,1;（* 等价于等价于 a=a/.a23 *） In5: =b=b/.c1,2;（* 等价于等价于 a=a/.a16 *） In6: =e1=f 1; In7: =e2=f 2; In8: =Whiche1= =0,Print失效失效,e1

46、0,Printf1极小值极小值,e10,Printf2极小值极小值,e2 -1 + 2 Ex - x 例例 求求微微分分方方程程02 yyy的的通通解解 解解 In2:=DSolveyx+2*yx+yx=0,yx,x C1 x C2 Out2=yx - - + - （* C1 ， Ex Ex C2 为任意常数为任意常数*） 本节我们用本节我们用 Mathmatica 做向量运算和三维图形做向量运算和三维图形Mathmatica 用表来表示向量任何不是向量的量都作为用表来表示向量任何不是向量的量都作为标量下面结合具体问题介绍向量间的加法（标量下面结合具体问题介绍向量间的加法（+） 、减法） 、减

47、法（-） 、点积（） 、点积（ ） 、叉积等运算以及向量的模、向量夹角的） 、叉积等运算以及向量的模、向量夹角的求法，以及函数求法，以及函数 Plot3DPlot3D、 ParametricPlot3D ParametricPlot3D 在描绘空在描绘空间曲面的图形时的具体应用间曲面的图形时的具体应用 例例 设设向向量量 ,432,2kjibkjia 求求向向量量,baba, ,a的的模模， b的的模模及及向向量量 a与与向向量量 b的的夹夹角角余余弦弦与与夹夹角角 解解 In1:=aIn1:=a=1,=1,- -1,21,2(* (* 输入向量输入向量 a *)a *) In2:=In2:=

48、b=2,3,b=2,3,- -44(* (* 输入向量输入向量 b b *)*) 六、用六、用MathematicaMathematica做向量运算和三维图形做向量运算和三维图形In3:=In3:=a+b a+b （* *计算向量计算向量 a与与 b的和的和 * *） In4:=In4:=a a- -b b（* *计算向量计算向量 a与与 b的差的差 * *） In5:=In5:=a.ba.b（* *计算向量计算向量 a与与 b的点积的点积 * *） In6:=In6:=Deti,j,k,1,Deti,j,k,1,- -1,2,2,3,1,2,2,3,- -44 （* *计算计算向量向量 a与

49、与 b的叉积的叉积 * *） In7:=In7:=Sqrta.a Sqrta.a （* *计算向量计算向量 a的模的模 * *） In8:=In8:=Sqrtb.b Sqrtb.b （* *计算向量计算向量 b的模的模 * *） In9:=In9:=a.b/(Sqrta.a*Sqrtb.b) a.b/(Sqrta.a*Sqrtb.b) （* *计算向量计算向量 a与与 b的夹角余弦的夹角余弦 * *） In1In10:=0:=ArcCosN%ArcCosN%（* *计算向量计算向量 a与与 b的夹角的夹角* *） Out1Out1=1, =1, - -1, 21, 2 Out2=Out2=2,

50、 3, 2, 3, - -44 Out3Out3=3, 2, =3, 2, - -22 Out4=Out4= - -1, 1, - -4, 64, 6 Out5=Out5=- -9 9 Out6=Out6=- -2 i + 8 j + 5 k2 i + 8 j + 5 k Out7=Out7=Sqrt6Sqrt6 Out8=Out8=Sqrt29Sqrt29 Out9=Out9=- -3 Sqrt3 Sqrt583 Out10=Out10=2.321682.32168 在在In6:=In6:=Deti,j,k,1,Deti,j,k,1,- -1,2,2,3,1,2,2,3,- -44中，中，D

51、etDet 为计算行列式的函数其调用格式为：为计算行列式的函数其调用格式为：DetDetm,m,其中其中m m 为一方阵，为一方阵，m m 用行、列相同的二维表用行、列相同的二维表, 表示，二维表从左到右依次表示方阵的第一行、第二表示，二维表从左到右依次表示方阵的第一行、第二行，行，, ,直至最后一行注意：在使用函数直至最后一行注意：在使用函数 DetDet 时，必须时，必须保证每一个子表所含元素个数相同（即行列式的每行所保证每一个子表所含元素个数相同（即行列式的每行所含元素个数相同） ， 必须保证子表个数与每一个子表所含含元素个数相同） ， 必须保证子表个数与每一个子表所含元素个数相同（即行

52、列式的每列所含元素个数相同） 元素个数相同（即行列式的每列所含元素个数相同） 例例 1010 做出曲面做出曲面22yxz的图形：的图形： 解解 In1:=In1:=Clearx,y,z,r,tClearx,y,z,r,t InIn2 2:=:=xr_,t_:=r*Costxr_,t_:=r*Cost InIn3 3:=:=yr_,t_:=r*Sintyr_,t_:=r*Sint InIn44:=:=zr_,t_:=r2zr_,t_:=r2 （* * In2In2、InIn3 3 、InIn4 4 定义了柱坐标系下抛物定义了柱坐标系下抛物面面22yxz的参数方程的参数方程* *） InIn55:

53、=:=ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,t,0,2Pi,r,0,2r,t,t,0,2Pi,r,0,2 （* *描绘抛物面描绘抛物面22yxz的图形的图形* *） 图图形形输输出出见见下下页页. . ParametricPlot3D ParametricPlot3D 描述的是含描述的是含 2 2 个参数的三维空个参数的三维空间曲面其调用格式为：间曲面其调用格式为： ParametricPlot3DxParametricPlot3Dxt t, ,u u,y,yt t, ,u u,z,zt t, ,u u,t,t,tm

54、intmin, ,maxmax,u u, ,uminumin, ,umaxumax, 其中其中xxt t, ,u u,y,yt t, ,u u,z,zt t, ,u u为用参数表示的直角坐为用参数表示的直角坐标系下的三个坐标标系下的三个坐标 x x、y y、z z 的表达式的表达式 t,t,tmintmin, ,maxmax 和和 u u, ,uminumin, ,umaxumax 分别为参数分别为参数 t t 和和 u u 从小到大的变化范从小到大的变化范围围 在在In1:=In1:=Clearx,y,z,r,tClearx,y,z,r,t中，函数中，函数ClearClears1,s2,s1

55、,s2, 的作用是清的作用是清除除 s1,s2,s1,s2,的值 为了提高的值 为了提高运算的准确度，在用运算的准确度，在用 MathematicaMathematica 编程求值时，用编程求值时，用ClearClears1,s2,s1,s2, 语句先清除所用变量的值是非常好的语句先清除所用变量的值是非常好的习惯习惯 Mathmatica Mathmatica 系统提供了非常丰富的作图函数 建议同系统提供了非常丰富的作图函数 建议同学们通过阅读学们通过阅读 MathmaticaMathmatica 手册及查阅在线帮助对系统的手册及查阅在线帮助对系统的做图功能进行更多得了解做图功能进行更多得了解

56、 与在与在 Mathematica 系统中求一元函数的导数类似，系统中求一元函数的导数类似，求多元函数求多元函数 f 的偏导数仍用求导算子的偏导数仍用求导算子 D 完成 具体调用格完成 具体调用格式如下：式如下： Df，x给出偏导数给出偏导数 Df，x，n给出高阶偏导数给出高阶偏导数 Df，x1，x2,.给出高阶混合偏导数给出高阶混合偏导数 例例 1 11 1 求求函函数数z z=sinx+xcosy 的的两两个个一一阶阶偏偏导导数数和和四四个个二二阶阶偏偏导导数数 七、用七、用MathematicaMathematica求偏导数与多元函数的极值求偏导数与多元函数的极值解解 In1：=Clea

57、rx,y In2：=fx_,y_：=Sinx+x*Cosy In3：=Dfx,y,x In4：=Dfx,y,y In5：=Dfx,y,x,2 In6：=Dfx,y,y,2 In7：=Dfx,y,x,y In8：=Dfx,y,y,x Out3=Cosx + Cosy Out4=Siny)(x - Out5=Sinx- Out6=Cosy)(x - Out7=Siny- Out8=Siny- 例例 1212 求函数求函数xyyxz333的极值的极值 解解 In1：=Clearf,x,y,p,a,b,p1,p2,A,B,C1 In2：=fx_,y_：=x3+y3-3*x*y In3：=a=Dfx,y

58、,x； In4：=b=Dfx,y,y； In5：=Ax_,y_=Dfx,y,x,2 In6：=Bx_,y_=Dfx,y,x,y In7：=C1x_,y_=Dfx,y,y,2 In8：=px_,y_：=Bx,y2-Ax,y*C1x,y In9：=Solvea=0,b=0,x,y； In10：=p1=px,y/.%1； In11：=p2=px,y/.%2； In12 ： =Whichp10,Print(0,0) 不 是 极 值 点不 是 极 值 点,p10&A0,00, Printf0,0=,f0,0,是极大值是极大值,p10, Printf0,0=,f0,0,是极小值是极小值,p1=0,

59、Print失效失效 In13 ： =Whichp20,Print(1,1) 不 是 极 值 点不 是 极 值 点,p20&A1,10, Printf1,1=,f1,1,是极大值是极大值,p20, Printf1,1=,f1,1,是极小值是极小值,p2=0,Print失效失效 Out12= (0,0)不是极值点不是极值点 Out13=f1,1= -1 是极小值是极小值 在在 Mathmatica 系系统统中中， 与与求求定定积积分分类类似似， 仍仍用用函函数数Integrate 计计算算重重积积分分，其其调调用用格格式式如如下下： Integratef,x,xmin,xmax,y,ymi

60、n,ymax 例例 1 13 3 计算二重积分计算二重积分 ed dxyDxx y，D: :10 x， 01y. . 解解 In1: :=Clearx,y In2: :=Integratex*Expx*y,x,0,1,y,-1,0 Out2=E1 八、用八、用MathematicaMathematica计算重积分计算重积分例例14 算 二 重 积 分算 二 重 积 分 Dyxyxdd ，D是 由是 由2,xyxy所围成的区域所围成的区域. . 解解 In1:=:=Clearx,y In2:=:=Integratex*Sqrty,x,0,1,y,x2,Sqrtx Out2=556 用用 Mathematica