第11章逻辑代数初步_中职_数学第三册

1、11.1 二进制及其转换11.2 命题逻辑与条件判断11.3 逻辑变量与基本运算11.4 逻辑式与真值表11.5 逻辑运算律主要内容：逻辑代数的产生：逻辑代数的产生： 1849年英国数学家乔治年英国数学家乔治.布尔布尔(George Boole)首先提出，用来描首先提出，用来描述客观事务逻辑关系的数学方法述客观事务逻辑关系的数学方法称为称为布尔代数布尔代数。后来被广泛用于。后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为设计，所以也称为开关代数开关代数或或逻辑逻辑代数代数。 逻辑代数中用字母表示变量逻辑代数中用字母表示变量逻辑变量逻辑变量，每个逻辑变量

2、的取值只有两种可能每个逻辑变量的取值只有两种可能0和和1。它。它们也是逻辑代数中仅有的两个常数。们也是逻辑代数中仅有的两个常数。0和和1只表示只表示两种不同的逻辑状态，不表示数量大小。两种不同的逻辑状态，不表示数量大小。 日常生活中，我们经常会使用各种数字，如一部苹果iPhone 4S手机淘宝不同卖家的价格分别为3440.67元、4080.32元、4080.10元、3350.38元等。这些数都是十进制十进制数数。逢十进一逢十进一 在实际应用中，还使用其他的计数制，如三双鞋（两只鞋为一双）、两周实习（七天为一周）、4打信封（十二个信封为一打）、半斤八两（一斤十六两）、三天（72小时）、一刻钟（1

3、5分）、二小时（120分）等等。 这种逢几进一的计数法，称为进位计数进位计数制制。简称“数制数制”或“进制进制”。1. 数制的概念 用一组固定的数码(数字和符号)和一套统一的规则(逢N进一)来表示数目的方法。 数位数位：数码所在的位置。 基数基数：每个数位上可以使用的数码的个数。 位权数：每个数位所代表的数。11.1 二进制及其转换二进制及其转换特点:逢十进一2. 十进制 位置位置整数部分整数部分小数部分小数部分第三位第三位第二位第二位第一位第一位第一位第一位第二位第二位位权数位权数 .110210010-110-2100,1,2,3,4,5,6,7,8,9 个位、十位、百位、千位、万位、十分

4、位、百分位，千分位等等。数位：数码：基数：10。十进制位权数：十进制数的意义十进制数的意义是各个数位的是各个数位的数码数码与其与其位权数位权数乘积之和。乘积之和。例如，例如，365=3X 102+6X101+5X1002.68=2X100 +6X10-1 +8X10-2这种式子叫做这种式子叫做按权展开式按权展开式探究探究你一定也听说过二进制，与十进制类比，你能回答下面的问题你一定也听说过二进制，与十进制类比，你能回答下面的问题吗？吗？（1）二进制的基数是什么？）二进制的基数是什么？（2）二进制每个数位上有几个不同的数码？）二进制每个数位上有几个不同的数码？分别是什么？分别是什么？（3）二进制的

5、进位规则是什么？）二进制的进位规则是什么？位置整数部分第第3位位第第2位位第第1位位位权数位权数222120 二进制特点是逢二进一 基数：基数：2 数码：数码：0,1 位权数：位权数：3. 二进制 位置位置整数部分整数部分 第三位第三位 第二位第二位 第一位第一位位权数位权数 .021222二进制数的意义二进制数的意义是各个是各个数位的数位的数码数码与其与其位权数位权数乘积之和。乘积之和。n(110)2 = 122+121+020例例1.写出下列各数的按权展开式写出下列各数的按权展开式10(1)532（）10212.35（ ） （）231100（ ）（）24100011（ ） （）解：1210

6、010(1)532=5+3+21010（）010121212.35121010101035 （ ） （）232102231100100 212 （ ）（）543221041000111 20 20 20 21 21 2 （ ） （）P3 P3 练习练习 1 1例2 将下列二进制数转换成十进制数 步骤：将二进制数写为按权展开式形式； 计算按权展开式得十进制数.（1） (110)2 （2） (101011)2 P3 P3 练习练习 2 2解：22101 2111020 2 （1）（）10(6)54232101 20210101121 20 21 21 2 （ ） （）10(43)二进制二进制-十进

7、制十进制将这个二进制数写成各个数位的数码与其位权数将这个二进制数写成各个数位的数码与其位权数乘积之和的形式，然后计算出结果。乘积之和的形式，然后计算出结果。如何将一个十进制数换算成二进制数？如何将一个十进制数换算成二进制数？探究：十进制数8,21转换成二进制数分别是多少？把十进制化成把十进制化成2的各次幂之和的形式，并且各次幂的系的各次幂之和的形式，并且各次幂的系数只能是数只能是0和和1除除2取余法：不断用取余法：不断用2去除要换算的十进制数，若去除要换算的十进制数，若余数为余数为1，则相应数位的数码为，则相应数位的数码为1，若余数为，若余数为0，则相应数位的数码为则相应数位的数码为0，一直除

8、到商是一直除到商是1为止为止，然，然后按照从高位到地位的顺序写出换算结果。后按照从高位到地位的顺序写出换算结果。例3： 将十进制（101）10数换算成二进制数210112 5002 25121202 602 3111解：读数方向由下往上读数方向由下往上所以，102101= 1100101（） （）P35 P35 练习练习问题解决：1.你能将八进制各个数位的权数填在下表中吗位置位置整数部分整数部分 第三位第三位 第二位第二位 第一位第一位位权数位权数 .2.将（11）2和（11）8分别换算成十进制，它们相等吗？28081810211 =1 2 +1 23（ ）108(11)1 8 +1 8 =9

9、 P5 1（2）（4），2（1）（4），3（1）（3）作业： 日常生活中，我们经常会说一些判断性判断性的话。例如，“今年暑假只有一个星期”，“现在房价比十年前高”，“今天是晴天” 这些语句可以判断真假吗？正确的命题称为真命题，并记它的值为真(1)；错误的命题称为假命题，并记它的值为假(0)。11.2 命题逻辑与条件判断能够判断真假的陈述语句叫做命题.一、命题、命题探究探究1 1：下列语句哪些是命题，哪些不是命题？下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命如果是命题，指出其真假题，指出其真假。(1) 0.5(1) 0.5是整数是整数 (2 (2） x+yx+y=1=1(3)(3)如果一个三角形的

10、两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形(6)(6)禁止吸烟！禁止吸烟！(4)(4)你吃过午饭了吗？你吃过午饭了吗？(5)(5)火星上有生物火星上有生物. .(7)(7)平行四边形的两组对边平行且相等平行四边形的两组对边平行且相等.注意：注意：疑问句、祈使句、感叹句疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。都不是命题。判断一个语句判断一个语句是不是命题，是不是命题，关键是什么？关键是什么？关键在于是否能判关键在于是否能判断其真假，即判断断其真假，即判断其是否成立。其是否成立。(8)(8)今天天气真好啊！今天天气真好啊！(9)(9)在同一个平面内的

11、两条直线或者平行或者垂直在同一个平面内的两条直线或者平行或者垂直. .是是假命题假命题不是不是真命题真命题是是不是不是不是不是是是真命题真命题真命题真命题是是不是不是是是假命题假命题我们通常用小写字母p、q、r等来表示命题，例如 p：25; q:如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 命题p是假命题，所以命题p的值是假； 命题q是真命题，所以命题q的值是真练习：练习：p6 2二、复合命题二、复合命题 将一些简单命题用联结词联结，就构成复合命题联结词非(NOT)且(AND)或(OR)1. 非非(NOT) 设p是一个命题，则p的“非”（又称为否定）是一个新命题，记作p，读作“非

12、p”或“p的否定”p真值表如下： p ：南京是江苏省省会。 p ：南京不是江苏省省会。 p是真命题； p是假命题。pp真假假假真真例1：写出下列命题的非命题，并判断其真假（1）p：2+3=6（2）q：雪是白的解：(1):236,p它是一个真命题。(2):,p雪不是白的 它是一个假命题。练习练习 写出下列命题写出下列命题p的否定的否定 ：（）（）p：是大于的实数；：是大于的实数；（）（）p：矩形的对角线互相垂直；：矩形的对角线互相垂直；（）（）p：不是的倍数；：不是的倍数；（）（）p ：我们班上每个同学都能言善辩。：我们班上每个同学都能言善辩。是不大于的实数；是不大于的实数；解解：（）（）（）（

13、）（）（）（）（）:p:p:p:p矩形的的对角线不互相垂直；矩形的的对角线不互相垂直；16是是的倍数；的倍数；我们班上并非每个同学都能言善辩。我们班上并非每个同学都能言善辩。 一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记 作 p q ，读作“p且q”.2. 且且 例如：若 p : 今天下雨, q : 明天下雨， 则 p q : 今天下雨且明天下雨 .当p，q都是真命题时， 是真命题；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时， 是假命题.qp qp pq 真真真真真真假假真真假假pq“全真为真，全真为真，有假即假有假即假”真假假假 一般地，用联结词一般地，用联结词“或或

14、”把命题把命题p和命题和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作联结起来，就得到一个新命题，记作pq ，读作读作“p或或q ”.”.3. 或或 例如：若 p : 是的倍数； q : 是的倍数. 则 p q : 是或的倍数. 当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时， pq是真命题；当p ，q 两个命题都是假命题时，pq 是假命题.pqpq 真真真真真真假假真真假假“全假为假全假为假，有真即真，有真即真”假真真真例2、根据下列各组中的命题p和q ，写出p q 和 pq 所表示的命题，并判断它们的真假。2:pqpqpqpqpq（ ）8=3+4且34。：8=3+4或34。因为 是假的， 是假的，所以是

15、假的，也是假的。1: = +3:pqpqpq（）雪是黑的；：太阳从东方升起。（2）8 3 4；：34。（ ）60是3倍数；：60是5倍数。1:pqpqpqpqpq（）雪是黑的且太阳从东方升起。：雪是黑的或太阳从东方升起。因为 是假的， 是真的，所以是假的，是真的。解：3:6060pqpqpqpqpq（ ）是3的倍数且60是5的倍数。： 是3的倍数或60是5的倍数。因为 是真的， 是真的，所以是真的，也是真的。探究思考 金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里； 银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里； 铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里。 显然命题r是命题p的否定，则p与r必有一个为真。 题设这三个命题

16、里只有一个是真的，于是命题q：肖像不在这个盒子里是假命题。 即知肖像一定在这个银盒子里。L本节课学习了“非p”“ p且q ”“ p或q ”形式的命题，讨论了如何判断其真假性的方法：“非p”形式的命题的真假p与的真假相反； “ p且q ”形式的命题当p与q同时为真时为真，否则为假；（全真为真，有假即假） “ p或q ”形式的命题当p与q同时为假时为假，否则为真（全假为假，有真即真）课堂小结六、作业P.10 1、2观察两个开关相并联的电路 (如图) （1）将开关A、B与电灯L的状态列表如下 开关A开关B电灯L合上合上亮合上断开亮亮断开合上亮亮断开断开熄探究：探究：L11.3 逻辑变量与基本运算 （

17、2）规定开关“合上“为“1”，“断开”为“0”； “灯亮”为“1”，“灯灭”为“0”， 则上页表格可以写成下表. ABL111101011000 可以看到，电灯L是否亮，取决于开关A、B的状态，它们之间具有因果逻辑关系逻辑代数研究的就是这种逻辑关系 L一、一、逻辑常量与变量逻辑常量与变量 二、逻辑二、逻辑运算运算 1 1、“或或”运算运算 L“或或”运算的真值表运算的真值表A BA+B111 00 1001+1=11+0=10+1=10+0=0或运算法则y有 1出 1L例1.写出下列各式的运算结果 （1）1+1； （2）1+1+0 (3) 0+0 (4) 0+1+0解：（1） 1+1=1（2）

18、 1+1+0=1+0=1（4） 0+1+0=1+0=1（3） 0+0=0练习：练习：P132 2、“与与”运算运算 一个事件的发生依赖于两个条件，当且仅当这两个条件同时成立时，这个事件才发生，这种逻辑关系称为“与”逻辑关系。“与”运算又称为逻辑乘，其运算符号为“”。两变量“与”运算关系记为L = AB 读作“L等于A与B”例如，在两个开关相串联的电路中，开关A和B串联控制灯L。可以看出，仅当开关A、B中两个均闭合时，灯L才亮。因此，灯L与开关A、B之间的关系是“与”逻辑关系。L “与与”运算的真值表运算的真值表A BA B（或AB）111 00 1001 1=11 0=00 1=00 0=0与

19、的运算法则有 0出 0L“或运算。”与运算“运算法则是什么例2.写出下列各式的运算结果1 1 020 0(3) 1 1（）（ ）1 1 0 020 00(3) 1 11 （）（ ）解: 例3.写出下列各式的运算结果1 1 1 021 0 1 0 （）（ ）1 1 1 0 1 012 1 0 1 01 001 01 （）（ ）解: ”或“有1出1“与”有0出03 3、“非非”运算运算 一件事件的发生依赖于一个条件， 当这个条件成立，这个事件不发生； 当这个条件不成立，这个事件发生，这种逻辑关系称为“非”逻辑关系。如图，灯L亮否取决于开关A的状态，当A断开时，灯L亮；当A合上时，因为短路，灯L就不

20、亮。这里灯L和开关A的关系就是逻辑非，就做LA非运算的真值表非运算的真值表A0110A4、常用复合逻辑运算 逻辑运算的优先次序依次为“非运算”，“与运算”，“或运算” 。对于添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的运算。例4.写出下列各式的运算结果(1)1 011 00;(2)01 111 01.1 1 0 1 10 0+1 10=000 解：（）=0+1 00=1 00=1 0=1(2)0 1 1 1 1 0 1=0+0 0+1+1 0+1 =0+0+1+0+1=1例例1 1 填表：AB011100 10ABA+BBA1 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 01 10 0

21、1 11 11 1例例2 2 填表： A BAB 01001110AAAB1 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 00 0例例如图所示，开关电路中的灯L的状态，能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？试给出结果 分析分析这个电路是开关A，B，C相并联的电路，三个开关中至少有一个“合上”时，电灯L就亮所以使用逻辑加法 解解L=A+B+C L三、课堂小结 1、逻辑变量和逻辑关系的基本概念、逻辑变量和逻辑关系的基本概念 2、与、或、非及与或非复合逻辑运、与、或、非及与或非复合逻辑运算的概念与运算算的概念与运算五、作业P.1516 练习与习题练习与习题11.4 逻辑表与真值表1、

22、逻辑式 2、真值表 ABAB11100100BA01011 1 0=0=1解（）：2 1 0+1=0+1=1+1=1（ ）31 0+1=0+0=1+0=1（ ）1例例2 2 完成下面的真值表AB11011000ABA+BBA1001010011000110010 01 0练习1 填写下列真值表 A111111B1BA1 BA0 00 11 1 1 0 0 0 03、等值逻辑式 例例3 3 用真值表验证下列等式： 12()()ABABABABAB ABCC （） ；（ ） （ ）分析分析 真值表的行数取决于逻辑变量的个数，题目中有两个逻辑变量，真值表有四行 解解（1）列出真值表 ABABAB11

23、011000A+BBA01111101001001010000可以看出对于逻辑变量的任何一组值， ABAB与 的值都相ABAB同，所以解解（2）列出真值表 ABABABABAB11011000A+BBA()()A B A B可以看出对于逻辑变量的任何一组值， 与 ABAB()()AB AB的值都相同，所以 ()()ABABAB AB001000011111101111000010例例3 3 用真值表验证下列等式： 12()()ABABABABAB ABCC （） ；（ ） （ ）解解（3）列出真值表 例例3 3 用真值表验证下列等式： 12()()ABABABABAB ABCC （） ；（ ）

24、 （ ）ABCB+C111110101100011010001000()ABCA BA CA BA C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0练习2 填写下列真值表 A BABAB11011000ABBA练习2 填写下列真值表 ABABAB11011000A+BBA用真值表验证等式 ABAB 用真值表验证等式 ()()()ABBCCAAB BC CA练习3如图所示11-8,开关电路中的灯D的状态能否用开关A，B, C的逻辑运算来表示？若能，试给出该逻辑运算的结果分析分析这个电

25、路是开关A，B，C相并联的电路，三个开关中至少有一个“合上”时，电灯D就亮所以使用逻辑加法 解解D=A+B+C 四、课堂小结 1 1、逻辑式和真值表的概念、逻辑式和真值表的概念 2 2、逻辑式的运算；逻辑式的真值表；、逻辑式的运算；逻辑式的真值表；会用真值表验证等式是否成立会用真值表验证等式是否成立 练习与习题练习与习题(1)0 AA1 )2(A1 )3(A0)4( 根据逻辑常量的基本运算，不论逻辑变量A取1或0，你能得出下列各式的结果吗？常用逻辑运算律 利用运算律化简逻辑式的步骤（1）去括号（2）使得项数最少（3）使基本逻辑变量出现的次数最少112(3)()ABBABCBCA BC例：化简（）；（ ）(1)()ABBABB解：()ABBAB反演律结合律重叠律2= +BABCAC（ ）+BAC反演律还原律(3)()=(B)(