第13章_非正弦周期电流电路

1、Date:12/12/2021File:CA_CH13.1Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture主要教学内容主要教学内容第十三章第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱非正弦周期电流电路和信号的频谱第十四章第十四章 线性动态电路的复频域分析线性动态电路的复频域分析第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式第十六章第十六章 二端口网络二端口网络Date:12/12/2021File:CA_CH13.2Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 20

2、13. All rights reserved.Circuits Lecture1.1.了解非正弦周期信号及特点了解非正弦周期信号及特点；2.理解理解周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数；3.掌握掌握非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率；4.重点掌握重点掌握非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算。Date:12/12/2021File:CA_CH13.3Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture13.1 13.1 非正弦周期信号非正弦周

3、期信号1、正弦信号、正弦信号按正弦规律变化的信号按正弦规律变化的信号2、非正弦信号、非正弦信号不是按正弦规律变化的信号不是按正弦规律变化的信号Date:12/12/2021File:CA_CH13.4Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits LecturetiO2图中电流是正弦信号还是非正弦信号？图中电流是正弦信号还是非正弦信号？非正弦信号非正弦信号Date:12/12/2021File:CA_CH13.5Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rig

4、hts reserved.Circuits Lecture+ECuC模拟电子中常用的放大电路模拟电子中常用的放大电路uCUC0uCUC0uC+uC波形可以分解波形可以分解Date:12/12/2021File:CA_CH13.6Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture二、常见的非正弦信号二、常见的非正弦信号tiOtiO方波电流方波电流锯齿波锯齿波1、实验室常用的信号发生器、实验室常用的信号发生器可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；Date:12

5、/12/2021File:CA_CH13.7Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture激励是正弦电压，激励是正弦电压，电路元件是非线性元件二极管电路元件是非线性元件二极管整流电压是非正弦量。整流电压是非正弦量。tuOT/2TtuOT/2T半波整流半波整流全波整流全波整流Date:12/12/2021File:CA_CH13.8Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture半波整流电

6、路的输出信号半波整流电路的输出信号Date:12/12/2021File:CA_CH13.9Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波Date:12/12/2021File:CA_CH13.10Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture由语言、音乐、图像等转换过来的电信号，都不是由语言、音乐、图像等转换过来的电

7、信号，都不是正弦信号；正弦信号；由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变化的由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变化的规律，也是非正弦的；规律，也是非正弦的；使用的脉冲信号都不是正弦信号。使用的脉冲信号都不是正弦信号。Date:12/12/2021File:CA_CH13.11Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecturef(t)=f(t+kT)k=0 , 1 , 2,不是按正弦规律变化的非周期信号不是按正弦规律变化的非周期信号Date:12/12/2021File:CA_CH13.12

8、Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture1. 应用应用级数展开方法，将级数展开方法，将激励电压、激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和；电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和；2. 如果作用于如果作用于，根据，根据，分别计算在，分别计算在各个正弦量各个正弦量作用下在电路中产生的同频率正弦作用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量；电流分量和电压分量；3. 把所得分量按把所得分量按形式叠加。形式叠加。Date:12/12/2021File:CA_CH13.13C

9、ircuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture13.2 13.2 非正弦周期函数分解非正弦周期函数分解为傅里叶级数为傅里叶级数非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt Date:12/12/2021File:CA_CH13.14Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights res

10、erved.Circuits Lecturetusin4 Date:12/12/2021File:CA_CH13.15Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture)3sin31(sin4ttu Date:12/12/2021File:CA_CH13.16Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture)5sin513sin31(sin4tttu Date:12/12/2021File:

11、CA_CH13.17Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture)7sin715sin513sin31(sin4ttttu Date:12/12/2021File:CA_CH13.18Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture)7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu D

12、ate:12/12/2021File:CA_CH13.19Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture011( )sin()kkkf tAAkt1.1.三角级数三角级数谐波分析谐波分析0111(sincoscossin)kkkkkAAktAkt01(cossin)2kkkaakxbkx,200Aa 令令sin,kkkaAcos,kkkbA1,tx三角级数三角级数Date:12/12/2021File:CA_CH13.20Circuits Analysis IIPeng Kaixiang

13、2013. All rights reserved.Circuits Lecture2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性1,cos ,sin ,cos2 ,sin 2 ,cos,sin,xxxxkxkxcos0,kxdxsin0,kxdx三角函数系三角函数系(1,2,3,)k 正交：正交： 任意两个不同函数乘积在任意两个不同函数乘积在-, 上的积分等于上的积分等于0.Date:12/12/2021File:CA_CH13.21Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture, 0si

14、nsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中Date:12/12/2021File:CA_CH13.22Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture问题问题: : 1.若能展开若能展开, 是什么是什么?iiba ,2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )si

15、ncos(2)(10 Date:12/12/2021File:CA_CH13.23Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkkDate:12/12/2021File:CA_CH13.24Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All righ

16、ts reserved.Circuits Lecture nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nbDate:12/12/2021File:CA_CH13.25Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1

17、, 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅里叶系数傅里叶系数Date:12/12/2021File:CA_CH13.26Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture傅里叶级数傅里叶级数01(cossin)2kkkaakxbkx问题问题: :01( )?(cossin)2kkkaf xakxbkx条件Date:12/12/2021File:CA_CH1

18、3.27Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecturef(t)=f(t+kT)T为周期函数为周期函数f(t)的周期，的周期，k=0，1， 2，如果给定的周期函数满足如果给定的周期函数满足狄里赫利条件狄里赫利条件，它就，它就能展开成一个收敛的能展开成一个收敛的傅里叶级数傅里叶级数。 周期函数在一个周周期函数在一个周期内包含有限个最大值期内包含有限个最大值和最小值以及有限个第和最小值以及有限个第一类间断点，在一个周一类间断点，在一个周期内绝对可积。期内绝对可积。电路中的非正弦周期量都能满足这个

19、条件。电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。Date:12/12/2021File:CA_CH13.28Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture)sin()cos( )2sin()2cos( )sin()cos(2)(11121211110tkbtkatbtatbtaatfkk1110)sin()cos(2kkktkbtkaa五、傅里叶级数的两种形式五、傅里叶级数的两种形式1、第一种形式、第一种形式Date:12/12/2021File:CA_CH13.29Circuits Anal

20、ysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture2200)(2)(2TTTdttfTdttfTaTkdttktfTa01)cos()(22011)()cos()(1tdtktf)()cos()(111tdtktf221)cos()(2TTdttktfT系数的计算公式系数的计算公式Date:12/12/2021File:CA_CH13.30Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits LectureTkdttktfTb01)si

21、n()(22011)()sin()(1tdtktf)()sin()(111tdtktf221)sin()(2TTdttktfTDate:12/12/2021File:CA_CH13.31Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture01112121( )cos()2 cos(2) cos()mmkmkAftAtAtAkt011cos()2kmkkAAkt2、第二种形式、第二种形式A0/2称为周期函数的称为周期函数的恒定分量恒定分量（或直流分量）；（或直流分量）；A1mcos(1t+1)称为

22、称为1次谐波次谐波（或基波分量），其周期（或基波分量），其周期或频率与原周期函数相同；或频率与原周期函数相同；其它各项统称为其它各项统称为高次谐波高次谐波，即即2次、次、3次、次、4次、次、。Date:12/12/2021File:CA_CH13.32Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture3、两种形式系数之间的关系、两种形式系数之间的关系011( )cos()2kmkkAf tAkt1110)sin()cos(2)(kkktkbtkaatf第一种形式第一种形式第二种形式第二种形式A

23、0=a022kkkmbaAak=Akmcoskbk=- Akmsink)arctan(kkkabDate:12/12/2021File:CA_CH13.33Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture+-傅氏分解傅氏分解A0 /2u1u2+-u(t)u(t)分解后的电源相当于无限个电压源串联分解后的电源相当于无限个电压源串联对于电路分析应用的方法是对于电路分析应用的方法是叠加定理叠加定理Date:12/12/2021File:CA_CH13.34Circuits Analysis IIP

24、eng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期函傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期函数分解的结果，但数分解的结果，但。为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含，用用相对应的线段，相对应的线段，按按顺序把它们依次排列起来，顺序把它们依次排列起来，得到的图形称为得到的图形称为f(t)的的频谱频谱，称为，称为。102( )kTjjktkmkkA eajbf t edtTDate:12/12/2021File:CA_CH13.35Circuits Analy

25、sis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits LectureDate:12/12/2021File:CA_CH13.36Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture1、幅度频谱、幅度频谱各次谐波的振幅用相应线段依次排列。各次谐波的振幅用相应线段依次排列。2、相位频谱、相位频谱把各次谐波的初相用相应线段依次排列。把各次谐波的初相用相应线段依次排列。OAkmk141312111kmAk1kkDate:12/12/2021File

26、:CA_CH13.37Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱Of(t)t1tEm-Em2T2T解：解：f(t)在第一个周期内的表达式为在第一个周期内的表达式为f(t) =Em-Em20Tt TtT2Date:12/12/2021File:CA_CH13.38Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits

27、 Lecture根据公式计算系数根据公式计算系数TdttfTa00)(20Of(t)t1tEm-Em2T2TDate:12/12/2021File:CA_CH13.39Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture2011)()cos()(1tdtktfakOf(t)t1tEm-Em2T2T )()cos()()cos(1211011tdtkEtdtkEmm011)()cos(2tdtkEm=0Date:12/12/2021File:CA_CH13.40Circuits Analysis

28、IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture2011)()sin()(1tdtktfbk )()sin()()sin(1211011tdtkEtdtkEmm011)()sin(2tdtkEm01)cos(12tkkEm)cos(1 2kkEm当当k为偶数时：为偶数时：cos(k)=1bk=0当当k为奇数时：为奇数时：cos(k)=0kEbmk4Date:12/12/2021File:CA_CH13.41Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.C

29、ircuits Lecture由此求得由此求得111411( )sin()sin(3)sin(5)35mEf tttt一次谐波一次谐波Date:12/12/2021File:CA_CH13.42Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture111411( )sin()sin(3)sin(5)35mEf tttt三次谐波三次谐波基波基波+三次谐波三次谐波Date:12/12/2021File:CA_CH13.43Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013.

30、All rights reserved.Circuits Lecture111411( )sin()sin(3)sin(5)35mEf ttttOf(t)Em-Em1tDate:12/12/2021File:CA_CH13.44Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits LectureOf(t)Em-Em1t取到取到11次谐波时合成的曲线次谐波时合成的曲线比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成曲比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成曲线就越接近于原来的波形。线就越接近于原来的波形。Date:12/12

31、/2021File:CA_CH13.45Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits LectureOf(t)t1tEm-Em2T2T111411( )sin()sin(3)sin(5)35mEf ttttf(t) =Em-Em20Tt TtT2令令Em=1，1t=/2f(t) =1Date:12/12/2021File:CA_CH13.46Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture111411

32、( )sin()sin(3)sin(5)35mEf tttt7151311471513114正如计算正如计算e 的值的值! 212nxxxenx令令x=1得得!1!2111nef(t) = 1 =Date:12/12/2021File:CA_CH13.47Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture矩形信号矩形信号f(t)的频谱的频谱)5sin(51)3sin(31)sin(4)(111tttEmtfOAkmk17151311Date:12/12/2021File:CA_CH13.48C

33、ircuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture波形越接近正弦波，波形越接近正弦波，谐波成分越少；谐波成分越少；波形突变点越小，波形突变点越小，频谱变化越大。频谱变化越大。f(t)=10cos(314t+30)OAkmk11Date:12/12/2021File:CA_CH13.49Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecturef(t)=f(-t) 纵轴对称的性质纵轴对称的性质f(t)Ot

34、f(t)OtDate:12/12/2021File:CA_CH13.50Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture可以证明：可以证明：bk=01、偶函数、偶函数纵轴对称的性质纵轴对称的性质f(t) = f(-t)110)cos()(kktkaatf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展开式中只含有余弦项分量和直流分量展开式中只含有余弦项分量和直流分量Date:12/12/2021File:CA_CH13.51Circuits Analysis IIPeng Kaix

35、iang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture221)sin()(2TTkdttktfTb201021)sin()()sin()(2TTkdttktfdttktfTb201021)sin()()()sin()(2TTkdttktftdtktfTb201021)sin()()sin()(2TTkdttktfdttktfTb201201)sin()()sin()(2TTkdttktfdttktfTb=0Date:12/12/2021File:CA_CH13.52Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All r

36、ights reserved.Circuits Lecturef(t) = -f(-t)原点对称的性质原点对称的性质f(t)Otf(t)Ot2、奇函数、奇函数Date:12/12/2021File:CA_CH13.53Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture可以证明：可以证明：ak=0原点对称的性质原点对称的性质f(t) = -f(-t)2、奇函数、奇函数11)sin()(kktkbtf1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展开式中只含有正弦项分量展开式中只含有正弦

37、项分量Date:12/12/2021File:CA_CH13.54Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecturef(t)=-f(t+T/2)镜对称的性质镜对称的性质Of(t)tT2T3、奇谐波函数、奇谐波函数Date:12/12/2021File:CA_CH13.55Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture镜对称的性质镜对称的性质f(t) = - f(t+T/2)3、奇谐波函数、

38、奇谐波函数可以证明：可以证明：a2k =b2k =0 )3sin()3cos( )sin()cos(13131111tbtatbtaf(t)=1110)sin()cos()(kkktkbtkaatf展开式中只含有奇次谐波分量展开式中只含有奇次谐波分量Date:12/12/2021File:CA_CH13.56Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecturef(t)Ot判断下面波形的展开式特点判断下面波形的展开式特点f(t)是奇函数是奇函数展开式中只含有正弦分量展开式中只含有正弦分量f(t)又

39、是奇谐波函数又是奇谐波函数展开式中只含有奇次谐波展开式中只含有奇次谐波)3sin()sin(1311tbtbf(t)=Date:12/12/2021File:CA_CH13.57Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture系数系数Akm与计时起点无关（但与计时起点无关（但k是有关的），是有关的），这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振幅这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，并不会因计时起点的

40、变动而变动；并不会因计时起点的变动而变动；因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作相应地改变。相应地改变。由于系数由于系数ak和和bk与初相与初相k有关，所以它们也随计时有关，所以它们也随计时起点的改变而改变。起点的改变而改变。Date:12/12/2021File:CA_CH13.58Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture由于系数由于系数ak和和bk与计时起点的选择有关，所以函数与计时起点的选择有关，所以函数是否为奇函数或偶函数可能与计

41、时起点的选择有关。是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择有关。但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点无关。但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点无关。因此适当选择计时起点有时会使函数的分解简化。因此适当选择计时起点有时会使函数的分解简化。4、系数和计时起点的关系（、系数和计时起点的关系（2）Date:12/12/2021File:CA_CH13.59Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下画出例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下画

42、出整个周期的波形整个周期的波形Of(t)t1、只含有余弦分量、只含有余弦分量2、只含有正弦分量、只含有正弦分量3、只含有奇次谐波分量、只含有奇次谐波分量Date:12/12/2021File:CA_CH13.60Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits LectureOf(t)t1、只含有余弦分量、只含有余弦分量f(t)应是偶函数应是偶函数关于纵轴对称关于纵轴对称Date:12/12/2021File:CA_CH13.61Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013.

43、 All rights reserved.Circuits LectureOf(t)t2、只含有正弦分量、只含有正弦分量f(t)应是奇函数应是奇函数关于原点对称关于原点对称Date:12/12/2021File:CA_CH13.62Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits LectureOf(t)t3、只含有奇次谐波分量、只含有奇次谐波分量f(t)应是奇谐波函数应是奇谐波函数镜象对称镜象对称Date:12/12/2021File:CA_CH13.63Circuits Analysis IIPeng

44、Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture 给定函数给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使的部分波形如图所示。为使f(t) 的的傅立叶级数中只包含如下的分量：傅立叶级数中只包含如下的分量：tT/4Of(t)(1) (1) 正弦分量；正弦分量；(2) (2) 余弦分量；余弦分量；(3) (3) 正弦偶次分量；正弦偶次分量；(4) (4) 余弦奇次分量。余弦奇次分量。试画出试画出 f(t) 的波形。的波形。tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2(1) (1) 正弦分量；正弦分量；练习练习解解Date:12/12/2021File:C

45、A_CH13.64Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture(2) (2) 余弦分量；余弦分量；tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2(3) (3) 正弦偶次分量；正弦偶次分量；(4) (4) 余弦奇次分量。余弦奇次分量。tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2Date:12/12/2021File:CA_CH13.65Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Cir

46、cuits Lecture 20200)(cos 0)(sinttdkttdk三角函数的性质三角函数的性质 （1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数整数 （2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为 。 )(cos )(sin202202ttdkttdk13. 3 13. 3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率Date:12/12/2021File:CA_CH13.66Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lectur

47、e 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos202020 tdtptkttdptkttdptk pk Date:12/12/2021File:CA_CH13.67Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture1、有效值的定义、有效值的定义TdtiTI021Date:12/12/2021File:CA_CH13.68Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture假设一非正

48、弦周期电流假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数可以分解为傅里叶级数011( )cos()kmkki tIIktdttkIITITkkkm02110)cos(1则得电流的有效值为则得电流的有效值为Date:12/12/2021File:CA_CH13.69Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture有效值与各次谐波有效值之间的关系有效值与各次谐波有效值之间的关系23222120IIIII 12202kkmIII结论结论Date:12/12/2021File:CA_CH13.70C

49、ircuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture二、非正弦周期量的平均值二、非正弦周期量的平均值1、平均值的定义、平均值的定义TavdtiTI0|1非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值。平均值。Date:12/12/2021File:CA_CH13.71Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture2、正弦量的平均值、正弦量的平均值Tmavdt

50、tITI0|cos|1=2Im/它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各个值这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各个值变为对应的正值。变为对应的正值。=0.637Im=0.898ItOiIavImDate:12/12/2021File:CA_CH13.72Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture3、不同的测量结果、不同的测量结果对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表进对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪

51、表进行测量时，会有不同的结果。行测量时，会有不同的结果。用用磁电磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流的电流的恒定分量恒定分量；用用电磁电磁系或系或电动电动系仪表测量时，所得结果将是电系仪表测量时，所得结果将是电流的流的有效值有效值；用用全波整流全波整流磁电系仪表测量时，所得结果将是电磁电系仪表测量时，所得结果将是电流的流的平均值平均值。由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时，要由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择合适的仪表，并注意在各种不同类型表的读数注意选择合适的仪表，并注意在各种不同类型表的读数所示的含义。所示的含义。Date:12

52、/12/2021File:CA_CH13.73Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture例：计算有效值和平均值例：计算有效值和平均值Oti(A)T/4T解：有效值为解：有效值为10402101TdtTI =5A平均值为平均值为I0 =10*T/4T=2.5ADate:12/12/2021File:CA_CH13.74Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture三、非正弦周期电流电

53、路的功率三、非正弦周期电流电路的功率1、瞬时功率、瞬时功率任意一端口的瞬时功率（吸收）为任意一端口的瞬时功率（吸收）为011cos()kmkukpuiUUkt011cos()kmkkIIkt式中式中u、i取关联方向。取关联方向。Date:12/12/2021File:CA_CH13.75Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture2、平均功率、平均功率kkkIUIUIUIUPcoscoscos22211100 TdtiuTP01)cos()(ukkkmtkUUtu 10)cos()(ik

54、kkmtkIIti 10利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 结论结论kukikDate:12/12/2021File:CA_CH13.76Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture+u-i例：已知一端口的电压和电流，例：已知一端口的电压和电流，求电压和电流的有效值和一端口求电压和电流的有效值和一端口的平均功率。的平均功率。V)15120sin(40)1160sin(30)2730cos(2

55、010tttuA)15120sin(5)5290sin(4)3330cos(32ttti解：电压的有效值解：电压的有效值U=2222403020102222)240()220()220(10U电流的有效值电流的有效值2222)25()24()23(2IDate:12/12/2021File:CA_CH13.77Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture平均功率平均功率P = 102 + 203 + 304 +405P = 102 + 203 + 405P = 102 + 203cos6

56、0 + 405cos30 V)15120sin(40)1160sin(30)2730cos(2010tttuA)15120sin(5)5290sin(4)3330cos(32ttti30cos)25)(240(60cos)23)(220(210PDate:12/12/2021File:CA_CH13.78Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture12. 4 12. 4 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1、傅氏分解、傅氏分解把给定的非正弦周期电源电压或电流把给定的非正弦周

57、期电源电压或电流分解分解为为傅里叶级数；傅里叶级数；高次谐波取到哪一项为止，要看所需要准确高次谐波取到哪一项为止，要看所需要准确度的高低而定。（一般度的高低而定。（一般3-5次谐波）次谐波）傅里叶级数应展开成傅里叶级数应展开成形式。形式。Date:12/12/2021File:CA_CH13.79Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture分别求出电源电压或电流的恒定分量以及各谐波分分别求出电源电压或电流的恒定分量以及各谐波分量量时的响应。时的响应。对各次谐波分量，求解时可以用对各次谐波

58、分量，求解时可以用进行，进行，但要注意，感抗、容抗与但要注意，感抗、容抗与有关。有关。电感电感L相当于相当于短路短路开路开路电容电容C相当于相当于求出求出Uo(0)Date:12/12/2021File:CA_CH13.80Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture相量法相量法uS(1)(t)1(SU)1(OU uO(1)(t)XL(1)=1LXC(1)=1/1C高次谐波单独作用高次谐波单独作用uS(k)(t)(kSU)(kOU uO(k)(t)一次谐波单独作用一次谐波单独作用XC(k

59、)=1/k1CXL(k)=k1L=k XL(1)= XC(1)/kDate:12/12/2021File:CA_CH13.81Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture把上一步所计算出的结果化为把上一步所计算出的结果化为表达式后进行表达式后进行相加；相加；把表示把表示正弦电流的相量直接相加是没有正弦电流的相量直接相加是没有意义的；意义的；最终求得的响应是用最终求得的响应是用表示的。表示的。3、应用叠加定理、应用叠加定理Date:12/12/2021File:CA_CH13.82Circ

60、uits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rights reserved.Circuits Lecture例：例：R=3 ，1/ 1C=9.45 ，输入电源为，输入电源为uS=10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t) +28.28cos(51t) +20.20cos(71t) +15.71cos(91t)+V。求电流求电流 i 和电阻吸收的平均功率和电阻吸收的平均功率P。CR+_uSiDate:12/12/2021File:CA_CH13.83Circuits Analysis IIPeng Kaixiang 2013. All rig