第12章非正弦周期电流电路

1、第十二章第十二章 非正弦周期电流电路和信号频谱非正弦周期电流电路和信号频谱 重点重点: : 1.1.非正弦周期量的有效值和平均功率非正弦周期量的有效值和平均功率 2.2.谐波分析法谐波分析法12.1 12.1 非正弦周期信号非正弦周期信号 概述：概述： 前几章研究正弦稳态分析。生产和科学实验中通常还会遇前几章研究正弦稳态分析。生产和科学实验中通常还会遇到按非正弦周期规律变化的电压、电流。例如：到按非正弦周期规律变化的电压、电流。例如： 1. 1. 交流发电机理论上是正弦波形，严格讲是非正弦周期波。交流发电机理论上是正弦波形，严格讲是非正弦周期波。 2 2. . 通讯工程传输的各种信号大多数是按

2、非正弦规律变化的。通讯工程传输的各种信号大多数是按非正弦规律变化的。 3. 3. 自动控制和计算机领域中用到的脉冲信号也都是非正弦波。自动控制和计算机领域中用到的脉冲信号也都是非正弦波。 T t i 0 t u 0 T 4. 4. 在正弦电源激励下，若电路中有非线性元件，也会产生非在正弦电源激励下，若电路中有非线性元件，也会产生非 正弦周期电压电流。正弦周期电压电流。 例：例： iu1+Du2+R0 u2tT2T0 it分析方法分析方法： 谐波分析法谐波分析法 非正弦周期激励（电压源或电流源）可展开为非正弦周期激励（电压源或电流源）可展开为傅里叶级数傅里叶级数，每一项相当于一个分量。根据每一项

3、相当于一个分量。根据叠加定理叠加定理，把非正弦周期电路分，把非正弦周期电路分解成一系列不同频率的正弦电路，对其中解成一系列不同频率的正弦电路，对其中每个频率每个频率的正弦电路的正弦电路都使用相量法分析，并将结果写成电压电流的都使用相量法分析，并将结果写成电压电流的瞬时瞬时表达式，最表达式，最后将不同频率的瞬时表达式叠加起来就得到非正弦周期电流电后将不同频率的瞬时表达式叠加起来就得到非正弦周期电流电路的解路的解 谐波分析法谐波分析法。本章研究的主要内容：本章研究的主要内容： 非正弦周期激励作用下，线性电路的稳态分析。非正弦周期激励作用下，线性电路的稳态分析。12.2 周期函数分解为傅里叶级数周期

4、函数分解为傅里叶级数 周期函数周期函数 f(t)= f(t+kT ), k =0,1,2, T 为周期。若满足为周期。若满足狄狄里赫利里赫利条件（给定周期函数，在有限的区间内，只有有限个条件（给定周期函数，在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值。电工技术中所遇到第一类间断点和有限个极大值和极小值。电工技术中所遇到的周期函数通常都满足这个条件），则可展开成一个收敛的的周期函数通常都满足这个条件），则可展开成一个收敛的级数级数 傅里叶级数傅里叶级数： 或：或： 110)cos()(kkkmtkAAtf (2) 周期函数周期函数 f(t)的展开式的展开式 1. 周期函数的展开周

5、期函数的展开 1110)sincos()(kkktkbtkaatf (1)(1), (2)式系数之间的关系式系数之间的关系 kkmkAa cos kkmkAb sin, 22,kkkmbaA kkkabtg ,(2)式中各项的专有名称及物理意义式中各项的专有名称及物理意义 A0 f (t ) 的恒定分量（直流分量）的恒定分量（直流分量） :)cos(111 tAm一次谐波或基波分量，其周期、频率与一次谐波或基波分量，其周期、频率与f (t )相同。相同。按按k k值奇偶性分类，又称值奇偶性分类，又称奇次谐波奇次谐波和和偶次谐波偶次谐波。 (k 2) 称称高次谐波分量高次谐波分量。 :)cos(

6、1kkmtkA 1110)sincos()(kkktkbtkaatf (1) 110)cos()(kkkmtkAAtf (2)00aA TdttfTa00)(1 系数的计算系数的计算 2/2/)(1TTdttfT TkdttktfTa01)cos()(2 2011)()cos()(1tdtktf )()cos()(111tdtktf TkdttktfTb01)sin()(2 2011)()sin()(1tdtktf )()sin()(111tdtktf例：例：一周期函数的波形如图所表一周期函数的波形如图所表, ,求此信号的傅氏级数求此信号的傅氏级数. .t f(t) 0 T T/2 T Em

7、Em 解：解：f(t)在在一周期内的表达式为一周期内的表达式为: : )(tf0)(100 TdttfTa所以所以TtTEm 2/,2/0,TtEm TkdttktfTa01)cos()(2 0)cos()()cos(22/12/01 TTmTmdttkEdttkET TkdttktfTb01)sin()(2 )sin()sin(22/12/01 TTmTmdttkEdttkET )cos(1 2 kkEm )5sin(51)3sin(31)sin(4)(111 tttEtfm = 0, k 为偶数为偶数; kEm4 , k 为奇数为奇数2. 频谱图频谱图 为表示一个周期函数分解成为表示一个周

8、期函数分解成傅氏级数后包含那些频率分量和傅氏级数后包含那些频率分量和各分量所占的各分量所占的“比重比重”, 引入频引入频谱图的概念。谱图的概念。 1. 幅度频谱幅度频谱：把长度正比于把长度正比于各次谐波振幅的线段（谱线）按各次谐波振幅的线段（谱线）按频率高低依次排列。频率高低依次排列。 2. 相位频谱相位频谱：把长度正比于各次谐波初相的线段（谱线）：把长度正比于各次谐波初相的线段（谱线）按频率高低依次排列。按频率高低依次排列。由于频率是由于频率是1的整数倍，所以称为离散频谱。的整数倍，所以称为离散频谱。1315171n1Akm幅度频谱幅度频谱03. 由由f (t)的对称性简化的对称性简化ak、

9、bk的计算的计算 f (t)为为偶函数，偶函数，即即f (t) = f (- -t) ，图形关于纵轴对称，图形关于纵轴对称0)(sin)(111 tdtktfbk -T/2T/20f (t)t)()cos()(2101tdtktfak 理解：理解：展开式中只含展开式中只含akcosk1t 项，偶函数展开仍为偶函数项，偶函数展开仍为偶函数 f (t)为为奇函数，奇函数，即即f (t) = f ( t ) ，图形关于原点对称，图形关于原点对称-T/2T/20f (t)t 2200)(1TTdttfTa 0)()sin()(111tdtktfTak )()cos()(211tdtktfTbk f (

10、t)= f (t+T/2 )，称为，称为 镜对称镜对称，波形移动半个周期后与原波，波形移动半个周期后与原波形对称于横轴。形对称于横轴。TT/20f (t)t 2/02000)()(1)(1TTTTdttfdttfTdttfTaA0)2()(12/02/0 TTdtTtfdttfT可以证明：可以证明：a2k=0; b2k= 0, 即即022222 kkkbaA展开式中只含展开式中只含a2k+1、b2k+1, 即即21221212 kkkbaA项，故称为项，故称为奇奇(次次)谐波函数谐波函数(注意与奇函数的区别注意与奇函数的区别)。(2) 函数的奇偶性与计时起点的选择有关，从而影响函数的奇偶性与计

11、时起点的选择有关，从而影响ak， bk，进而影响进而影响k，但，但Akm与计时起点选择无关。与计时起点选择无关。(3) f (t)的波形越光滑，越接近正弦波，其展开级数收敛越快，的波形越光滑，越接近正弦波，其展开级数收敛越快，实际计算中所取级数项就越少。当然这是在相同近似精度实际计算中所取级数项就越少。当然这是在相同近似精度要求下进行比较的。要求下进行比较的。说明说明：(1) 对称性分析可使函数的分解简化。书中例对称性分析可使函数的分解简化。书中例121，f (t)对对称原点，称原点，a0ak0， f (t)波形镜对称，波形镜对称，b2k0，所以仅需，所以仅需计算计算b2k1设非正弦周期电流为

12、设非正弦周期电流为 110)cos(kkkmtkIIi 则则 TkkkmdttkIITI02110 )cos(1 前已定义，周期电流的有效值前已定义，周期电流的有效值 TdtiTI0211. 有效值有效值 12-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率 上式中展开上式中展开i 2 并积分，将含有如下的积分项：并积分，将含有如下的积分项： TdtIT0201 TkkmdttkIT0122)(cos1 TkkmdttkIIT010)cos(21 TqkqmkmdttqtkIIT011)cos()cos(21 故故 TkkkmdttkIITI02110 )cos(1 3 , 2 , 1,

13、222 kIIkkm0 qk , 0 222120IIII20I 对于非正弦周期电压对于非正弦周期电压 110)cos(kkkmtkUUu 则则u 的有效值的有效值 222120UUUU2. 平均值平均值 TdefavdtiTI01周期电压电流均可如此定义周期电压电流均可如此定义 正弦电流的平均值正弦电流的平均值 40400sin4cos4cos1TmTmTmavtTIttdTIdttITI IIImm898.0637.02 相当于全波整流后的平均值。用全波整流仪表测量周期电源电相当于全波整流后的平均值。用全波整流仪表测量周期电源电流读流读平均值。平均值。而磁电系（直流）仪表读而磁电系（直流）

14、仪表读恒定分量恒定分量)1(0 TidtT )1(02 TdtiT 而电磁系（交流）仪表读而电磁系（交流）仪表读有效值有效值ui任意一端口3. 平均功率平均功率 iup TdtpTP01 110)cos(KukkmtkUUu 110)cos(kikkmtkIIi )cos(110 kikkmtkII )cos(110 kukkmtkUU TkikkmkukkmdttkIItkUUT0110110 )cos()cos(1 TkikkmkukkmdttkIItkUUTP0110110 )cos()cos(1 TdtIUT0001容易分析容易分析, 上式积分将含有如下的积分项：上式积分将含有如下的积

15、分项： TikkmdttkIUT010)cos(1 =0 TukkmdttkUIT010)cos(1 =0 TiqukqmkmdttqtkIUT011)cos()cos(1 qk , 0 TikukkmkmdttktkIUT011)cos()cos(1 ikukkkkkkIU ,3 , 2 , 1,cos00IU 可见，同频率的电压电流构成有功功率，总功率等于恒定可见，同频率的电压电流构成有功功率，总功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和（有源电路分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和（有源电路k 可可能大于能大于/2） 21022211100coscosPPPIUIUIUP

16、100coskkkkIUIUP 例例1. 已知无源一端口已知无源一端口N的电压、电流分别为的电压、电流分别为:Vttu)303cos(225)cos(2501011 Atti)17.103cos(23 . 4)38. 6cos(221.10211 求求u、i 的有效值及端口的有效值及端口N吸收的功率吸收的功率P。 解：解： VU8 .56255010222 AI26.113 . 421.102222 33311100coscos IUIUIUP uiNW46.628 210 38. 6cos21.1050 83.19cos3 . 425 例例2. 已知已知 R=1 以及以及Vtu)15cos(

17、210101 Ati)75cos(2211 求求N吸收的功率吸收的功率P。解：解：)75cos(22)15cos(2109111 ttiuu WP15)7511. 4cos(2165. 919 注意到：注意到：7521510 9 Vt)11. 4cos(2165. 91 11. 4165. 9 )6015(152 RuuiN12-4 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算分析方法分析方法：谐波分析法谐波分析法谐波分析法的思想谐波分析法的思想：对于非正弦周期电压源对于非正弦周期电压源 )cos(2)cos(2)(2221110 tUtUUtuSSs+_)(tus等效为等效为问题问题：非

18、正弦周期电源作用下，线性电路的稳态分析非正弦周期电源作用下，线性电路的稳态分析+_+_0U1u2uuS 作用下电路的响应，根据叠加定理为作用下电路的响应，根据叠加定理为U0以及各次谐波以及各次谐波u1、u2、 单独作用时产生的响应的叠加。单独作用时产生的响应的叠加。 210uuU )cos(2)cos(2)(2221110 tItIItis对于非正弦周期电流源对于非正弦周期电流源)(tis等效为等效为 iS 作用下电路的响应，根据叠加定理为作用下电路的响应，根据叠加定理为I0以及各次谐波电流以及各次谐波电流i1、i2、 单独作用时产生的响应的叠加。单独作用时产生的响应的叠加。 210iiI1i

19、0I2i将非正弦周期电源展开为傅氏级数，这些非正弦周期电源在将非正弦周期电源展开为傅氏级数，这些非正弦周期电源在电路中产生的响应等于它们的直流分量及各次谐波分量分别电路中产生的响应等于它们的直流分量及各次谐波分量分别作用时产生的响应的叠加。具体的步骤如下：作用时产生的响应的叠加。具体的步骤如下：1. 将非正弦周期电源分解为傅氏级数，高次谐波取到哪一项为将非正弦周期电源分解为傅氏级数，高次谐波取到哪一项为止，需根据计算的精度确定。止，需根据计算的精度确定。2. 根据叠加定理，将直流和各次谐波电源按频率分别作用，依根据叠加定理，将直流和各次谐波电源按频率分别作用，依次计算它们的响应。次计算它们的响

20、应。a. 对恒定分量按直流电阻电路计算（电容开路，电感短路）。对恒定分量按直流电阻电路计算（电容开路，电感短路）。注意电容上有直流电压，电感上有直流电流，叠加时勿忘。注意电容上有直流电压，电感上有直流电流，叠加时勿忘。 b. 对各次谐波电路，均使用相量法计算。但需注意：感抗，对各次谐波电路，均使用相量法计算。但需注意：感抗，容抗都是频率的函数，对某个频率电路可能发生谐振。容抗都是频率的函数，对某个频率电路可能发生谐振。3. 将各次谐波解的瞬时值叠加得到非正弦周期电路的解。将各次谐波解的瞬时值叠加得到非正弦周期电路的解。例例1： 图示电路图示电路(a)中中 21)1(LXL ,151,1)1(

21、CXC ,102 R,5,1 R)303cos(7 .70cos4 .14110)(011 tttu V 求各支路电流及求各支路电流及R1支路的平均功率。支路的平均功率。 解解：) 0(2510) 0(11)0(0IARUI 0)0(2 I(a)+_)(tu1i2i1R0i2RCLi）当电源的直流分量当电源的直流分量U(0)单独单独 作用时，电路如图作用时，电路如图(b) 则则(b)_+U(0)1R2R)0(0I)0(1I)0(2Iii）当电源的基波分量单独作当电源的基波分量单独作 用时，电路如图用时，电路如图(c) VU0100024 .141)1( )1(1)1()1(1LjXRUI A3

22、1.5655. 5 )1(2)1(1)1(0III (c)+_)1(U)1(2I1R)1(LX)1(0I)1(1I)1(CX2RA8 .2155.18 25100j )1(2)1()1(2CjXRUI 1510100j A38. 643.20 27. 23 .20j iii）当电源的三次谐波分量单独作用时，电路如图当电源的三次谐波分量单独作用时，电路如图(d) VU30503027 .70)3( 63)1()3(LLXX 531)1()3(CCXX)3(1)3()3(1LjXRUI )3(2)3()3(2CjXRUI A17.1016. 8 (d)+_)3(U)3(1I)3(2I1R)3(LX

23、)3(CX2R)3(0IA19.204 . 6 653050j A57.5647. 4 5103050j )3(2)3(1)3(0III AI2)0(1 0)0(2 IAI8 .2155.18)1(1 Ati)8 .21cos(255.181)1(1 AI19.204 . 6)3(1 Ati)19.203cos(24 . 61)3(1 )3(1)1(1)0(11)(iiIti AI31.5655. 5)1(2 Ati)31.56cos(255. 51)1(2 AI57.5647. 4)3(2 Ati)57.563cos(247. 41)3(2 )3(2)1(2)0(22)(iiIti 同理同理

24、 Att)19.203cos(24 . 6)8 .21cos(255.18211 Att)57.563cos(247. 4)31.56cos(255. 511 Attti)17.103cos(261. 8)38. 6cos(243.202)(110 3)3(1)3(11)1(1)1(1)0(1)0(11coscos IUIUIUP 210 或：或： 2)3(12)1(12)0(121)()()(IIII WRIP3 .1945506.3891211 R1支路吸收的平均功率支路吸收的平均功率Atti)19.203cos(24 . 6)8 .21cos(255.182111 )303cos(7 .

25、70cos4 .14110)(011 tttu V W1947 8 .21cos55.18100 19.50cos4 . 650 06.389 2224 . 655.182 例例2： 图示如电路图示如电路(a)，已知，已知 VtuS)452cos(2420 求求uC 。,25. 0,1,1,2cos210FCHLRAtis 解解：uCL isuS+C+R(a) (b) U0+UC(0)+RUC(0) = U0 =20 V i）U0=20 V，I0 = 0 A，当电，当电源的直流分量作用时，电源的直流分量作用时，电路如图路如图(b) VUS454)1( AIS010)1( LjCjRLjUIUS

26、SC 11)1()1()1( VtuC)1 . 72cos(25 .11)1( )1()0(CCCuUu ii）当电源的基波分量作用当电源的基波分量作用 时时, 电路如图电路如图(c) L +C+R(c) )1(SU)1(SI)1(CUV1 . 75 .11 5 . 05 . 014542110jjj Vt)1 . 72cos(25 .1120 例例3：电路如图电路如图(a), 已知已知 VtuS5cos254 求电流求电流i 。,10cos25Atis AUI22)0()0( 解解： i）当电源的直流分量作用时，当电源的直流分量作用时， 电路如图电路如图(b) (a) +0.1F2 1 us

27、is0.2 Hi(b) +2 1 Us(0)I(0)ii）当电源的基波分量作用时，当电源的基波分量作用时， 电路如图电路如图(b) )1(I)1(SU(b) +2 1 Lj1 AjLjUI65.26236. 2120521)1()1( sradVUS/5,051)1( iii）当电源的二次谐波分量作用时，当电源的二次谐波分量作用时， 电路如图电路如图(c) sradAIS/10,052)2( )2(SI2 )2(I0.1F1 0.2H(c) ,4525 . 205222)2(AjjI Ati)65.265cos(2236. 2)1( Ati)4510cos(5)2( AttiiIi)4510c

28、os(5)65.265cos(2236. 22)2()1()0( 例例4：电路如图电路如图(a), 已知已知 ,10cos305cos2010VttuS L=1H, C1=0.01F, C2=0.03 F, 求电压求电压u(t) 。(a)+_5 5 L C1C2+_u(t)us解解：i）电源的直流分量作用电源的直流分量作用 VUU52/S(0)0 ii）电源的基波分量作用电源的基波分量作用, L,C1并联等效阻抗并联等效阻抗 15. 01111)1(jLjCjZ Z (1) 与与C2串联串联, 等效阻抗等效阻抗 012(1)1(CjZZ 故故L,C1,C2部分发生串联谐振部分发生串联谐振, 有有VU0)1( iii）电源的二次谐波分量作用电源的二次谐波分量作用 LjCjZ 21211)2( 故故L,C1发生病联谐振发生病联谐振, 所以所以 tu10cos3021(2) Vtu10cos155 从而从而 1011 . 01jj Vt10cos15 复习复习基本概念基本概念直流电路直流电路 正