高中物理竞赛中的高等数学

1、高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联系这样， 微积分这个数学工具就成为必要的了考虑到，读者在学习根底物理课时假设能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理 学的一些根本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最根本的概念和简单的计算方法， 在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要至于更系统和更深入地掌握微积分的知 识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成.§ 1函数及其图形1 1函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中

2、函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量X和y,如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规 律就可以确定y的对应值，那么称y是x的函数，并记作：y=f(x), (A 1)；其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个 函数记号，它表示y和x数值的对应关系.有时把y=f(x)也记作y=y(x) 如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，也 可以用其它字母作为函数记号，如？(x)、"(x)等等.常见的函数可以用公式来表达，例如y f(x) 3 2x , ax !bx2, - , cos2 x , In x , ex等等.2 x1在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面

3、出现的3、2、-、e和a、b c等，它们叫做常量;1常量有两类：一类如3、2、-、 、e等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a、b、c)代表任意常量，最后面几个(x、y、z)代表变量.当y=f (x)的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值xo相对应的函数值f(xo).例如：(1) 假设 y=f(x)=3+2x，那么当 x=-2 时 y=f (-2) =3+2X(-2)=-1 .一般地说，当 x=xo时，y=f (xo)=3+2xo.c假

4、设 y f(x) c,xc那么当x x时，f(xo)x)砂】图关系，面上取来，把线，它中P,(2,R, R,1. 2函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的方法是先在平一直角坐标系，横轴代表自变量x,纵轴代表因变量(函数值)y=f(x).这样一坐标为(x, y)且满足函数关系y=f(x)的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲描绘出函数的面貌.图A1便是上面举的第一个例子y=f(x)=3+2的图形，其P2, P3, R, F5各点的坐标分别为：(-2, -1 )、(-1 , 1)、(0, 3)、(1, 5)、c

5、7),各点连接成一根直线.图A2是第二个例子y f(x)-的图形，其中P1,P4, P5各点的坐标分别为：11cc(严、(严)、(1，C)、(答)、(4,4)，各点连接成双曲线的一支.1. 3物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的.下面举几个例子.(1)匀速直线运动公式：s=S0+vt.(A. 2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x, s相当于因变量y, s是t 的函数.因此记作：s=s(t) =s°+vt,(A. 3)式中初始位置S0和速度v是任意常量，S0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线

6、运动有一定的值，但对于不同的 匀速直线运动可以取不同的值.图A3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v.(2)匀变速直线运动公式：s so1vot -at2,(A. 4), v=vo+at.(A. 5)两式中s和v是因变量，它们都是自变量t的函数，因此记作：s s(t)1 2So vot ?at , (A. 6), v=v(t)=vo+at,(A 7)图A4a、4b分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线.(A. 6)和(A. 7)式是匀变速直线运动的普遍 公式，式中初始位置9、初速v。和加速度a都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问

7、题时，假设把坐标原点选择在开始运动的地方，那么So = O, Vo=o, a=g/s2,这时(A. 6)和(A. 7)1式具有如下形式：s s(t) -gt2, (A 8)； v= v(t)=gt. (A 9)；这里的g可看作是绝对常量，式中不再有任意常量 了 .(3) 玻意耳定律：PV=C (A 10)上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强P和体积V之间的函数关系，式中的C是任意常量.可以选择CV为自变量，P为因变量，这样，(A. 10)式就可写作：P P(V) C , (A. 11)它的图形和图A2是一样的，只不过图中的x、y应换成V P.在(A. 10)式中也可以选择P为自变

8、量，V为因变量，这样它就应写成：V V(P) C ,(A 12)P由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的.(4) 欧姆定律：U IR .(A. 13)当讨论一段导线中的电流I这样随着外加电压U而改变的问题时，U是自变量，I是因变量，R是常量.这时，(A. 13) 式应写作：I I (U) U , (A 14);即I与U成正比.R应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的.例如，当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于 通过各元件的电流是一样的，(A 13)式中的电流I成了常量，而R是自变量，U是因变量.于是U=UR =IR,(A . 15)即U与R成正比.但是当讨论并联

9、电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各分支两端具有共同的电压，(A. 13)式中的U就成了常量，而R为自变量，I是因变量，于是：I I (R) U , (A 16)即I与RR成反比.总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时 公式本身反映不出来，需要根据所要讨论的问题来具体分析.§ 2.导数2 . 1极限假设当自变量x无限趋近某一数值X0 (记作XTX0)时，函数f(x)的数值无限趋近某一确定的数值a,那么a叫做xx。时函 数f(x)的极限值，并记作：xim0f(x)a , (A. 17)(A. 17)式中的“lim 是

10、英语“limit (极限)一词的缩写，(A 17)式读作“当x趋近x时，f (x)的极限值等 于a .极限是微积分中的一个最根本的概念，它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限这个概念下一个普遍而严格的定义， 只通过一个特例来说明它的意义.2考虑下面这个函数：y f(x)口 , (A. 18),这里除x=1夕卜，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例x 1如当 x 0 时，f(0)2，当 x 2 , f (2)8，等等.但是假设问x=1时函数值f (1)=，就会发现，这时(A 18)式的分子和分母都等于0,即f(1) - !用0去除以0,0一般地说是没有意义的.所以表达式(A 18)没有直接

11、给出f (1),但给出了 x无论如何接近1时的函数值来.下表列出 了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x)值的变化情况：表A-1 x与f(x)的变化值从上表看，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值5,这便是XT1时f(x)的极限值.其实计算f (x)值的极限无需这样麻烦，只要将(A 18)式的分子作因式分解：3x2-x-2 = (3x+2)(x-1)，并在xl的情 况下从分子和分母中将因式(x 1)消去：y f(x) (3x 2)(x 1 3x 2 (x 1);即可看出：x趋于1时，函数f(x)的数x 1值趋于：3X 12 = 5 .3x2 x 25 x 1所以

12、根据函数极限的定义，limf(x) limX 1'' x 12. 2几个物理学中的实例(1)瞬时速度AlZ当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点O的距离s来描述在运动过程中s是随时间t变化的， 也就是说，s是t的函数：s = s(t) 函数s(t)表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说，假设物体是一列火车，那么函数s(t)就是它的一张“旅 行时刻表但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表，还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念例如， 当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了平安，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体(如高射炮弹)能够到达怎样的高

13、度，也与它的初始速率有关，等等.为了建立速率的概念，就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况假设考虑的是从t =to到t =ti的一段时间间 隔，那么这间隔的大小为： t =ti-to.根据s和t的函数关系s (t )可知，在to和ti=to+t两个时刻，s的数值分别为s (to )和s (ti)=s (to+At ), 即在 to 到 11 这段时间间隔里 s 改变了： s=s (ti)-s (to)=s (to+At ) - S (to).t之比一s叫做这段时间t间隔里的平均速率，用V来表示，那么vss(tot)S(to),(A. 19),举例说明如下.对于匀变速直线运动，根据(A.4)

14、式有 s(to)So-s(tot) s(to)' Vo(tot)V1 2-a(tot)2t1 2Voto ato 和 s(to2Voto -ato2)(Vo2t) §ato) tvo(tot)ot)2,-a(2tt)2t平均速率V 反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢，除了匀速直线运动的特殊情况外，一sttVoato的数值或多或少与t的大在同样大小的时间间隔厶t里，假设s的改变量厶s小，就说明物体运动得慢，所以就把小有关；t取得越短，-s就越能反映出物体在t to时刻运动的快慢；通常就把t o时一s的极限值叫做物体在t = totts时刻的瞬时速率V即Vlim也t ot) s

15、(to)(A. 20)对于匀变速直线运动来说，V啊寸I叫 Voatot)2Voato 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A. 5)(2) 瞬时加速度一般地说，瞬时速度或瞬时速率V也是t的函数：v=v (t )但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度的 概念平均加速度a和瞬时加速度a概念的建立与V和V的建立类似在直线运动中，首先取一段时间间隔to到t1,根据瞬 时速率V和时间t的函数关系V (t )可知，在t = to和t = t1两时刻的瞬时速率分别为V (to)和V (tj=v (to+At )，因 此在to到t1这段时间间隔里

16、V改变了 v=v (to+At) -v (to).通常把叫做这段时间间隔里的平均加速度，记作a ； a 並一如,(A 21)ttt举例来说，对于匀变速直线运动，根据(A.5)式有v(to)Voato,v(tot)Voa(tot).所以平均加速度为a丄V(tot)V(to)Voa(tot)(Voato)a (常数).ttt/对于一般的变速运动，a也是与t有关的，这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢，就需要取彳在t o时的极 限，这就是物体在t =to时刻的瞬时加速度a： a lim v limt) V(to) , (A. 22)t o t t ot(3) 应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有

17、一定的高度差，这样才能使水流动为简单起见，假设水渠是直的，这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A5)，于是各处渠底的高度h便是x的函数：h=h (x).知道了这个函数，就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度的概念譬如说，假设逆水渠而上，渠底在100m的距离内升高了 20cm人们就说这水渠的坡度是右厂，因此所谓坡度，就是指单位长度内的高度差，它的大小反映着高度随长度变化的快慢程100m1000度.如果用数学语言来表达，就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为Xo和Xi,于是这段水渠的长度为： X=Xi-Xo. 根据h和X的函数关系h(x)可知，在X0和Xi=

18、X0+x两地h的数值分别为h(x°)和h (xJ=h(x°+Ax)，所以在Ax这段 长度内 h 改变了 ： h=h(X0+Ax)- h(X0).根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为：k 一X) h(X0), (A 23)XX前面所举例子， x采用了 100米的数值.实际上在100米的范围内，水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来，应当取更小的长度间隔x , X取得越小，一就越能精确反映出X=X0处的坡度.所以在X=X0处的X坡度k应是X 0时的平均坡度k的极限值，即k lim limX) h(X0) , (A 24)x 0 x x 02. 3函数

19、的变化率一一导数前面举了三个例子，在前两个例子中自变量都是t,第三个例子中自变量是x.这三个例子都说明，在研究变量与变量之 间的函数关系时，除了它们数值上“静态的对应关系外，往往还需要有“运动或“变化的观点，着眼于研究函数变化 的趋势、增减的快慢，即函数的“变化率概念.当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量.增量，通常用代表变量的字母前面加个“ 来表示.例如，当自变量x的数值由X0变到X1时，其增量就是 x三X1-X0.(A 25)与此对应.因变量 y 的数值将由 y0=f(X0)变到 y1=f(x"，它的增量为 y=y1-y0=f (X1) f(X0)=

20、f (x(+Ax) f(x0)(A. 26) 应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少.增量比亠 丄伍一X) f(X0) , (A 27)XX商，记作y'或f ' (X), y可以叫做函数在X = X0到X = X0+x这一区间内的平均变化率，它在4X10时的极限值叫做函数y = f(x)对X的导数或微 yf(x0 x) f(X0)f (x) lim lim,(A 28)x 0 x x 0x除y或f (x)外，导数或微商还常常写作 鱼、兰、-等其它形式.导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即dx dx dx在该点的变化率. 应当指出，数，记作y、函数f(x)的导数f&

21、#39; (X)本身也是X的一个函数，因此可以再取它对X的导数，这叫做函数y=f(x)的二阶导 d2y d dv d .() f (x) ,(A 29)dx dx dxd 2yf (x)、一y 等；y f (x)dx那么不难定义出高阶的导数来.dx2据此类推，有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：dV勞,(A 31);水渠坡度：k字,(A 32).dtdx一ds瞬时速率：v, (A 30);瞬时加速度：adt'dt2 . 4导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的根底上的.如图A6所示，为了确定曲线在P。点的切线，先在曲线上P0附近选另 一点P,并设想P点沿着曲线

22、向P0点靠拢.P0P的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角a来描述.从 图上不难看出，P点愈靠近P0点，a角就愈接近一个确定的值a0,当P点完全和P0点重合的时候， a的极限值a0就是切线与横轴的夹角.在解析几何中，把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示 线是上坡的(见图A7a);斜率为负时表示a是钝角，从左到右直线是下坡的(见图A-7b).现在来研究图A6中割线P0P和切线P0T的斜率.设R和P的坐标分别为(X0, 丫。)和(x°+Ax, y°+Ay),以割线PP为斜边作一直角三角形厶PPM,它的水平边PM的Ax长度为

23、x,竖直边MP的长度y,因此这条割线的斜率为：tanMPRM如果图A6中的曲线代表函数y=f (x)，那么割线F0R的斜率就等于函数在tan °是PP0时，割线P0P斜率的极限值，即tan ° Jim tan§ 3.导数的运算 在上节里只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理,3. 1根本函数的导数公式割线P0R变成切线P0T,a是锐角，从左到右直X0附近的增量比，切线P0T的低斜率xf (X)；所以导数的几何意义是切线的斜率.利用它们可以把常见函数的导数求出来.(1)y=f (x) = C 常量):yy= f(x) =x：f (x)y=f (x)=x2：

24、f (x)y= f (x) =x3f (x)f (x)limf(xx)x 0xf(xx)f(x)xf(xx)f(x)xf(xx)f(x)0xf(xx)f(x)xlimx Ilimx 0limx 0f(x) C Climx 0 x(x x) x limx (x x)x lim x 0 (x x)x x(xx2 2x) xx,(xx) x0x1 1m xx x1110x1xxxlimx (limx 0ljm(2 x x) 2x ；lim Cx 01护3 x2 3x x ( x)2 3x2 ；1 limx 0(x x)xy=f(x) = x:y f (x) lim 土x 0X) f(x)x.r &#

25、39;x x 4x v'x x yfx 啊x xdxndxnxn 1， n 为任何数，A 33.例如：当n1时，yf(x)x ,ydx dx当n2时，yf(x)2xydx22x ;dx当n3时，yf(x)3x ,ydx33x2 ;dx当n1时,yf(x)1x1,yd 1()2 1(1)x2 ；xdx xx当n1 z -时,yf(x)1x12x， yd . xdx1 111 x 21x=； 等等2 2 xy上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当y xn时,利用A. 33式还可以计算其它幕函数的导数见表A2.除了幕函数xn外，物理学中常见的根本函数还有三角函数、对数函数和指数函数现在只给

26、出这些函数的导数公式见 表A-2 而不推导，解题时可以直接引用.3. 2有关导数运算的几个定理定理一:u(x) v(x)du dv,(A. 34).dxdx dx证明：-du(x) v(x)u limv lim -dudvdxx 0xx 0 xxdxdx定理二:u(x) v(x) dxdu v(x)-dxu(x)dv , (Adx35).证明：g【u(x)v(x) limu(x)uv(x) v u(x)v(x)dxx 0xlim血上x 0u(x) Vxlimv(x)u u(x)x 0 xxv(x)du u(x)乎.dx dx表A2根本导数公式函数y=f(x)导数 y，=f '(x)函数

27、y=f(x)导数 y'= '(x)c任意常量01 1 n，x 真x n为任意常量n-1 nx3x弓亠n 2，%(仮)3n=1,x1n=2,x22xn=3,x323x彳 1 1 n 1, xx2 1n2 , x弋x1 2 1 n 2，x2丁M'x()du ( ) dv定理三：d u(x) v(x)dx u(x) dx ,(A. 36). 证明：d U(x) dxv(.2dx v(x)v( x)u(x)uu(x)limv(x)v函x 0x证明:uvv(x) u (x) limx 0 v(x)定理四：2uv(x)凹 dxdvduv(xuv(x)lxm0 -dxx 0xvv(x

28、)dv .,(A. 37). dxx) uv(x)xlim u(x) uv(x) v(x) vu(x)x0v(x) vv(x)x/dudvv(x)u(x)-dxdx .2v(x)limu(v v) v(v) v例1.x a (a为常量)的导数解:例2.ln-a(a为常量)的导数.解:dydxdydx例3.2 ax(a为常量)的导数.例4.的导数.解: 3dx 解: ®dxdx2 idxd l n xdxda 2 x dx dx2 x e dxv2x0 dxd l n adxdx2a dx2 dexxdx2x .2x e例5.3x2-的导数.5x 1d(3x22)(5x 1)dx2(3

29、x解：dy2dx(5x 1)例6.求y tanx的导数.2)d(5x 1)dx6x (5x(5x1)(3x22) 51)2lim v(x) u u(x) vx 0v(x) vv( x) xu(v v) v(v)limj吏色x 0 x dv dxa 2x2ax .(2xx)e .解: dy 2(tanx) 2(沁)dx dxdx cosxd sin x d cosx . cosxsin xdx dx2cos xcosx cosx215x 6x 102(5x 1)sin x ( sin x)2cos x2cos x2sec x少 色 (sinv) a a sin (ax b). dv dx例&am

30、p;求y的导数.解：令v1 , y u(v)dy du dv2那么云dvdx12、v2xxX21(a为常量)的导数.2 dy dx2 ax ，贝Uudx dx§ 4.微分和函数的幕级数展开4. 1微分自变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量Ax.用dx代表x的微分，那么dx=Ax.例9.求y解:令u2 ax x e2 du dv xdv dxv2xu x e ( 2 ax)2 x(12ax )e22 ax2(A. 38)例7.求y cos(ax b) (a、b为常量)的导数.解：令 v ax b , y u(v) cosv，贝Udx一函数y=f(x)的导数f' (x)乘以自

31、变量的微分dx即为该函数的微分，用dy或df(x)表示，即dy=df(x)=f' (x)dx,(A.39) 所以 f (x)字,(A. 40)dx在之前曾把导数写成乳的形式，是把它作为一个整体引入的.当时它虽然外表上具有分数的形式，但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子和“分母两局部在引入微分的概念之后，就可把导数看成微分dy与dx之商(所谓“微商),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四(A. 37)式的左端9uv(x)简写成理,dxdx那么该式化为dU学 J ;此公式从形式上看和分数运算法那么一致，很便于记忆.dx dv dxMNPM下面看微

32、分的几何意义.图A8是任一函数y=f(x)的图形，F0(X0, y°)和Fl (x°+Ax,(+ y)是曲线上两个邻近的点, F0T是通过F0的切线.直角三角形FOMR勺水平边ROMx ,竖直边MF； y (见图A 8 ).设P0T与MR的交点为N，那么tan NF0M，但tan NFOM为切线FOT的斜率，它等于x=xo处的导数f ' (xo),x因此 dy f (xo) x tan NPoM x MN .它和增量y MR相差NR 段长；从上一节计算导数时取极限的过所以微分dy在几何图形上相当于线段MN勺长度，程可以看出，dy是y中正比于x的那一局部，而両 那么是

33、正比于(x)2以及 x更高幕次的各项之和例如对于函数y=f(x)3223223=x ,Ay=3x Ax+ 3x(x)+()，而 dy=f'(x) x=3xA x.当Ax很小时，(Ax)、(Ax)、比Ax 小得多，NP也就比dy小得多，所以可以把微分dy叫做增量y中的线性主部.也就是说，假设函数在x=xo的地方像线性函数那样增长， 那么它的增量就是dy.4. 2幕函数的展开一个函数f(x)在X=Xo点的数值f (xo)，如何求得其附近的点x=xo+x处的函数值f(x) =f(xo+x) 假设f (x)为x的幕函数xn，可以利用牛顿的二项式定理：n n(n l) (n m l) x mf(

34、xo) -(-) ,(A 4l)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).假设n为正整数，那么上式中的级数在Mhn的地方截断，余下的项 自动为o,否那么上式为无穷级数.不过当厶x<<xo时，后面的项越来越小，只需保存有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A9中A、B两点间的水平距离为I，假设将B点竖直向上提高一个很小的距离a(a<<l) 到达B',问AB之间的距离比AB增加了多少利用勾股定理易得距离的增加量为丨J厂孑l .这是个精确的公式，但没有给出一个鲜明的印象，究竟I是随a怎样变化的假设用二项式定理将它展开，只保存到最低级的非o叽

35、那么有| |(a)2| |(a)2 j1I|-(-)2l-(a)2，即是正比于a平方增长的,V II2 I2 I 2I属二级小量.这种用幕级数展开来分析主要变化趋势的方法，在物理学里是经常用到的.4. 3泰勒展开非幕函数(譬如sin x、ex)如何作幕级数展开这要用泰勒(TayIor)展开. 下面用一种不太严格，但简单明了的方法将它导出.假设函数f(x)在x=Xo处的增量厶f=f(x) f(Xo)能够展成厶x=x-Xo的幕级数：f (x) f (Xo)玄皿(x xj" , (A 42)那么通过逐项求导可得f (x)mam (- Xo)m -;当xxo时，m>l的项都趋于o,于是

36、有f'(xo) =ai；再次求导，得m l般地说，对于M阶导f (X) m(m l)am(- Xo)m 2，当xxo时，m>2的项都趋于o,于是有f (xo) =2a2；如此类推，m 2f (m) (x)数有 f(M)(Xo) M !m ;于是(A 42)式可以写为：f(x) f(Xo)-(X Xo)m , (A. 43).f (X) f (x Xo)m , (A 44). m o m!m M m!假设定义第o阶导数f(o)(x)就是函数f(x)本身，那么上式还可进一步简写为:上述(A 43)或(A. 44)式称为泰勒展开式，它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A3中给出几个

37、常见函数在Xo = o或l处的泰勒展开式.表A3常见函数的幕级数展开式函数展开式收敛范围§ 5 积分5. 1几个物理中的实例(1) 变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.假设物体的速率是V,那么它在ta到tb 一段时间间隔内走过的路程是s= v(tb-ta) , (A 45).对于变速直线运动来说，物体的速率v是时间的函数：v=v(t)，函数的图形是一条曲线(见图A10a)，只有在匀速直线 运动的特殊情况下，它才是一条直线(参见图A4b).对于变速直线运动，式已不适用.但是，可以把t =ta到t =tb这段时间 间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都

38、可以近似地看成是不变的.这样一来，物体在每小段时间 里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到ta到tb这段时间里 走过的总路程.设时间间隔(tbta)被t =t1(=ta)、t2、t3、tn、t b分割成n小段，每小段时间间隔都是 t ,那么在tl、t 2、t 3、t n 各时刻速率分别是V(tl)、V(t2)、V(t3)、V(tn).假设把各小段时间的速率V看成是不变的，那么按照匀速直线运动的公式， 物体在这些小段时间走过的路程分等于V(tl) t > V(t2) t > V(t3) t、V(tn) t .于是，在整个(tb-t

39、a)这段时间里的总 n路程是 sv(tjtv(t2)tv(t3)tV(tn)tV(ti)t ,(A.46).i 1现在再看看上式的几何意义.在函数V=V(t)的图形中，通过t=tl、t2、t3、tn各点垂线的高度分别是V(tl)、V(t2)、nv(t3)、(")(见图A10b)，所以v(ti) t、v(t2) t >v(t3) t、(") t就分别是图中那些狭长矩形的面积，而 v(t) ti 1 那么是所有这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中，把各小段时间厶t里的速率V看做是不变的，实际上在每小段时间里V多少还是有些变化的，所以上 面的

40、计算并不精确.要使计算精确，就需要把小段的数目n加大，同时所有小段的 t缩短(见图A10c). t越短，在各小 段里v就改变得越少，把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s,就应对n(A 46)式取 nis、*t0 的极限，即 s Ig v(ti) t , (A 47).n i 1当n越来越大，At越来越小的时候，图A10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v(t)曲线下面的面积(图A10d).所 以(A 47)式中的极限值等于(tbta)区间内v(t)曲线下的面积.总之，在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔(tbta)里走过的路程要用(A. 47)式来计

41、算，这个极限值的几何意义 相当于这区间内v(t)曲线下的面积.(2) 变力的功当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置s=Sa移到s = Sb的过程中，恒力F对它所作的功为： A=HsbSa) (A 48);假设力F是随位置变化的，即F是s的函数：F=F(s)，那么不能运用(A. 48)式来计算力F的功.此时，也需要象计算变速运动的路程那样，把(Sb sa)这段距离分割成n个长度s的小段(见图A11):并把各小段内力F的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程s上的功，然后加起来取nis、 si0的极限值.具体地说，设力F在各小段路程内的数值分别为F(S1)、Rs"、F

42、(S3)、F(sn)，那么在各小段路程上力F n所作的功分别为F(S1)As、F®) 、F(s3) As、F(Sn) s,在(SbSa)整段路程上力F的总功A就近似地等于 F(s ) s ;1ltm0F(s) s ,因为实际上在每一小段路程上加F都是变化的，所以严格地计算，还应取nis、ASI0的极值，即A(A 49).同上例，这极限值应是(SbSa)区间内F(S)下面的面积(见图A12).5 . 2定积分以上两个例子说明，许多物理问题中需要计算象(A. 47)和(A 49)式中给出的那类极限值.概括起来说，就是要解决如 下的数学问题：给定一个函数f(x)，用x=X1(=a)、X3、

43、Xn、b把自变量x在(ba)区间内的数值分成n小段，设每bf (x)dx来表示,an小段的大小为 x,求nis、A XI0时 f(x) X的极限；通常把这类形式的极限用符号1f(x)dx0 f(x) x , (A. 50);n i 1f (x)dx 叫做 xa到x b区间内f(x)对x的定积分，f (x)叫做被积函数，b和a分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示，(A. 47)和(A 49)式可分别写为s : v(t)dt , (A. 51)、A F(s)ds, (A 52).tasa在变速直线运动的路程公式(A. 51)里，自变量是t,被积函数是v(t)，积分的上、下限分别是tb和

44、t a；在变力作功的 公式(A 52)里，自变量是s，被积函数是F(s)，积分的上、下限分别是Sb和Sa.求任意函数定积分的方法有赖于下面关于定积分的根本定理：假设被积函数f(x)是某个函数(x)的导数，即f(x)=(x)，那么在x=a到x = b区间内f(x)对x的定积分等于(x)在 b这区间内的增量，即f(x)dx (b)(a) , (A. 53).下面来证明上述定理.a在a<x<b区间内任选一点x，首先考虑(x)在x=x到x=xi+Ax=xi+1区间的增量(x)=(Xi+J-(x):(xj 凹 x，当x 0时，可用()的导数(x) d 代替；但按照定理的前提，(x)=f(x)

45、,xdxx故(x) ©(x) x=f(xj x式中表示"近似等于，假设取AxtO的极限，上式就是严格的等式.把awxwb区间分成n1小段，每段长Ax；上式适用于每小段.根据积分的定义和上式，有：因X1=a, xn =b,于是得式，至此定理证毕.下面看看函数(x)在f-x图(见图A13)中所表现的几何意义.如前所述，(x)=(i+d-(x)=f(x) Ax,正是宽 为Ax、高为f(xj x iP的一个矩形(即图A 13中的xx 1NP )的面积.它和曲线段PP+1下面的梯形x ix+1P+1P的面积只 是相差一小三角形RNP+1的面积.当AxtO时，可认为(x)就是梯形XiX

46、i+1R+1R的面积.既然当x由x变到x+1时，(x)的增量的几何意义是相应区间f-x曲线下的面积，那么()本身的几何意义就是从原点 0到x区间f-x曲线下面的面积加上一个常量C=(0).例如(i)的几何意义是图形OxRF0的面积加C(x+1)的几何意 义是图形0X1 R+1R的面积加C,等等这样，(x)=(x+1)-(x)就是：(0X1 P+1 F0的面积+C)-( OxRR的面积+C)=xx+1 P+1 R 的面积，而(b)-的几何意义是：(ObRO的面积+C) (OaaRO的面积+C) =abRR的面积.b它相当于定积分f(x)dx的值.a5. 3不定积分及其运算在证明了上述定积分的根本

47、定理之后，就可以着手解决积分的运算问题了 .根据上述定理，只要求得函数 (x)的表达 b式，利用式立即可以算出定积分f(x)dx来，那么，给出了被积函数f(x)的表达式之后，怎样去求(X)的表达式呢上述a定理说明，(x)=f(x)，所以这就相当于问f(x)是什么函数的导数.由此可见，积分运算是求导的逆运算.如果f(x)是 (X)的导数，可以称(X)是f(x)的逆导数或原函数.求f(x)的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.在上节里讲了一些求导数的公式和定理，常见的函数都可以按照一定的法那么把它们的导数求出来.然而求逆导数的问题 却不像求导数那样容易，而需要靠判断和试探.例如，知道了(x)=

48、x3的导数()=3x2,也就知道了 F(x) =3x2的逆导 数是(x)=x3;这时，如果要问函数f (x) =x2的逆导数是什么，那么就不难想到，它的逆导数应该是x3/3 ;这里要指出一 点，即对于一个给定的函数f (x)来说，它的逆导数并不是唯一的.1(x) =x3/3是f(x) =x2的逆导数，2(x) =x3/3 +1和 3(x)=x3/3 5也都是它的逆导数，因为1(x)、2(x)、3(x)都等于x2般说来，在函数f(x)的某个逆导数(x) 上加一任意常量C仍旧是f(x)的逆导数.通常把一个函数f(x)的逆导数的通式(x) +C叫做它的不定积分，并记作f(x)dx，于是 f(x)dx

49、 (x) C , (A. 54).因在不定积分中包含任意常量，它代表的不是个别函数，而是一组函数.表A4根本不定积分公式函数f (x)不定积分f(x)dx函数f(x)不定积分f(x)dx当n 1时，x1 x当n 2时，X2当n 3时，x31当n 2时，x2+X1 1当n 1时，卡Tx1 1 1 当n1时，x 2肩Q31当n 2时，八而上面所给的例子太简单了，一眼就能猜到逆导数是什么.在一般的情况下求逆导数，首先要求对各种函数的导数掌握得 很熟练，才能确定选用那一种形式的函数去试探.此外，掌握表A-4中给出的根本不定积分公式和其后的几个有关积分运算 的定理，也是很重要的.(表中的公式可以通过求导

50、运算倒过来验证，望读者自己去完成)下面是几个有关积分运算的定理.定理一假设 f(x) au(x)(a 是常量)，贝y f(x)dx a u(x)dx , (A 55).定理二 假设 f (x) u(x) v(x)，贝U f (x)dx u(x)dx v(x)dx , (A 56).这两个定理的证明是显而易见的，下面利用这两个定理和表A-4中的公式计算两个例题.例 10.求 5x dx .解：5x2 d:x 5 x2dx5x3C .3例11.求(3x3 x 4)dx .解：(3x3x 4)dx3 x3dxxdx34124dxxx 4x C .42定理三假设 f(x)u(v)v(x)，那么f (x

51、)dxu(v)v (x)dxu(x)dx , (A. 57)此定理说明，当f(x)具有这种形式时，就可以用v来代替x作自变量，这叫做换元法.经过换元往往可以把比拟复杂的 积分化成表A4中给出的现成结果.再看看下面几个例题.例 12.求 sin(ax b)dx .解：令u(v) sinv, v(x) ax b , dv v (x)dx adx，经换元得:111 sin (ax b)dx sin vdv a例 13.求 sin xcosxdx .b) C .解：令v(x) sin x，那么dvv (x)dx cosxdx，于是vdv1 2 sin x C .2xdx"22 .x a1解：令 u(v) r , v(x) x百例15 .求.x a. . 1例14.求，那么 dv v (x)dx 2xdx，于是xdxx2-d Vv Ca2 C .2 . v1dx解：令 u(v) - v(x) x a，那么 dv v (x)dx dx，