高三数学一轮复习必备精品：基本初等函数高三数学一轮复习必备精品共讲全部免费欢迎下载

1、第 4 讲 基 本 初 等 函 数备注：【高三数学一轮复习必备精品 共42讲全部免费欢送下载】一. 【课标要求】1 指数函数(1) 通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14c的衰减，药物在人体内残留量的 变化等)，了解指数函数模型的实际背景；(2) 理解有理指数幕的含义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算。(3) 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象， 探索并理解指数函数的单调性与特殊点；(4) 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型2. 对数函数(1) 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或

2、 常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；(2) 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的 概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图 象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 知道指数函数y ax与对数函数y logax互为反函数(a>0，1)。4. 幕函数(1) 了解幕函数的概念23丄1(2) 结合函数y=x,y= x，y= x沪X2 "=的图象，了解它们的变化情况-X二. 【命题走向】指数函数、对数函数、幕函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要 的地位。从近几

3、年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幕函数的考查，大多以根本函 数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握 指数、对数运算法那么，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测2021年对本节的考察是：1. 题型有两个选择题和一个解答题；2. 题目形式多以指数函数、对数函数、幕函数为载体的复合函数来考察函数的性质。 同时它们与其它知识点交汇命题，贝U难度会加大三. 【要点精讲】1 .指数与对数运算(1)根式的概念： 定义：假设一个数的n次方等于a(n 1,且n N )，那么这个数称a的n次方根。即假设xn a，那么x称a的n次方根n 1且

4、n N )，1) 当n为奇数时，a的n次方根记作n a ；2) 当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作n a (a 0)-3)当ni为偶数时，na|a|a(a 0)oa(a0)(2).幕的有关概念规定:1) an aaa(Jn 2 ； 2)a01(a0)；n个V3) a p1p (p Q，4)mann am(a0, m、nN且 n 1)ap性质:1) ar asars(a0,r、sQ ；2) (ar)s ars(a0,r、sQ ；3) (ab)r ar br(a0,b0,r Q o(注)一上述性质对r、s R均适用。(3).对数的概念 定义：如果a(a 0,

5、且a 1)的b次幕等于N,就是ab N，那么数b称以a为底N的 对数，记作log a N b,其中a称对数的底，N称真数-1) 以10为底的对数称常用对数，logio N记作|g N ；2) 以无理数e(e 2.71828 )为底的对数称自然对数，log e N，记作In N ; 根本性质：1) 真数N为正数(负数和零无对数)；2) Ioga1 0 ；3) logaa 1 ； 4)对数恒等式：aIogaNN。 运算性质：如果a 0,a0,M0, N 0,那么1) loga(MN ) loga M log a N ；2) log a M log a M log a N ；N3) log a M

6、n n loga M (n R)- 换底公式：loga N logm N (a 0,a 0, m 0,m loga b logba 1 ； 2) logambn - log a b。m N 0),log ma1)函数的定义3)4)对数函数域为0时y 1,2函数的域为00Ry 1， 1时函数为减函数，当ax 0时y 1ylog a X与指数函数y时函数为增函数;axa 0,冃J互为反函数2 指数函数与对数函数1指数函数： 定义：函数y axa 0,且a 1称指数函数,1函数的定义域为 R 2函数的值域为0,;3当0 a 1时函数为减函数，当a 1时函数为增函数。 函数图像：1指数函数的图象都经过

7、点0, 1,且图象都在第一、二象限；2指数函数都以x轴为渐近线当0 a 1时，图象向左无限接近x轴，当a 1时，图 象向右无限接近x轴；3对于相同的aa 0,且a 1，函数y a%y a x的图象关于y轴对称- 函数值的变化特征:2对数函 xlog)时X5a y0,且,a 1)定义：函数 函数图像：1对数函数的图象都经过点1, 0,且图象都在第一、四象限；2对数函数都以y轴为渐近线当0 a 1时，图象向上无限接近y轴；当a 1时，图象向下无限接近y轴；4对于相同的aa 0,且a 1，函数y loga x与y log1 x的图象关于x轴对称a 函数值的变化特征：3幕函数1掌握5个幂函数的图像特点

8、2a>0时，幕函数在第一象限内恒为增3过定点当a>0时过11当幂函数为偶函数: 0, 0'x 1时y 0,函数，a<0时在第一象限恒为减函数 过x-1,时,当幂函数为奇函数时过-1 , -1 )0.4幕函数一定不经过第四象限四. 典例角 - 题型1:指数运算2 2 1 1例 1 .(1)计算:(33) 3(54)0'5(0.008) 3 (0.02) " (0.32)" 0.0625°'25 ；89(2)41化简：2, ED 24b323 ab a3(a2 丸)a''a 寻 a2Vv'a 引a解:2

9、11原式=273罟2(10002)31625 4 ( )4 10000497-2534 210 17"92)(2)原式=1a3(a3)3(2b3)31(a3)21a31a 3(a1 13 2b3)1a31(2b3)1(2b3)212b3a2 1(a a3)21 1 1(a2 a3)55a611 1336a 2b a1a3 a2a3a2 。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幕的形式， 然后利用分数指数幕的 运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幕的形式保存；一般的进行指数幕运算 时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幕，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。1 1例

10、2.( 1)x2x 23，求1 1解： x2 x 23，1 1 (x2X2)29，1 x 2 x 9， x x 17， (x x 1)249， 2 xx247，3311又 x2x2(x2x2) (x2 xx224723。3x?32183x311 x )3 (7 1)18，点评：此题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算 题型2:对数运算)幕函数y f(x)的图象经过点(2,!),8(2).(江苏省南通市2021届高三第二次调研考试那么满足f (x) = 27的x的值是.答案例3 计算(1)(lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25 ;(2) (log3 2log9 2)

11、(log 4 3 log8 3)；(3)(2)11lg 600齐0.036Jgo.1原式(lg 2)2! (1lg5)lg 2 lg5? (lg2lg51)lg 22lg51)lg 22lg52(lg2 lg5) 2 ；原式(lg2lg2)(lg3 lg3)(lg2lg2)(lg3lg3)lg3lg9(lg4 lg8)lg32lg3(2lg 23lg 2)解：(1)(1lg5 lg 8000 (lg2 3)23lg 2 5lg 352lg 3 6lg 24(3)分子=lg5(33lg2) 3(lg 2)23lg53lg 2(lg 5 lg2)分母= (lg 6 2)lp6g 1000110lg

12、6原式=。4点评：这是一组很根本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是 数式运算是学习数学的根本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法那么，以及学习数 式变换的各种技巧例4 设a、b、c为正数，且满足a2 b2c21 ；2-，求a、b、c的值3(1) 求证：log2(1 - ) log2(1 -C)abb c(2) 假设 Iog4(1)1，log8(a b c)alog2(a b)2ab2 2 , a 2ab b log? ab,2ab c2 log2 a;log2 2 1;证明：abc,abc,abcabc、(1)左边 log 2log 2log 2()abab解：(2

13、)由 log 4(1 )a3a b c 02 -由 log8(a b c) 得 a b c 8343由得ba 2由得 c 3a b，代入 a2 b2 c2得 2a(4a 3b)0，I a 0， 4a 3b 0由、解得a 6，b 8，从而c 10。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法那么为主，将代数式化简到 最见形式再来处理即可。题型3:指数、对数方程例5.(江西师大附中2021届高三数学上学期期中)定义域为R的函数f(x)2 x b是奇函数.2 a(1) 求a,b的值；(2) 假设对任意的t R，不等式f(t2 2t)f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围.1 b0,解得

14、b 12 a1-，解得a1 a解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0,即2x1 2 1 -.又由 f(1) f ( 1)知 一 a4 a2x 112x 122由上式易知f (x)在R上为减函数，又因f (x)2t) f(2t2 k) 0等价于 f(t2由上式推得从而有f (x)(2)解法一：由(1)知f(x)f(t2因f (x)是R上的减函数,2t)t2 2t1j1疋奇函数，从而不等式f(2t2 k)2t2 k.f(2t2k).即对一切tR有3t22tk 0,从而4 12k0,解得k解法二：由(1)知f(x)又由题设条件得2x 12t2 2t 12卅 k2t2 2t 122?&qu

15、ot; k 12即(22t2 k 1 整理得23t上式对一切2)( 2t2 21 1)(2t2 2t 1 2)(2t k 1，因底数2>1，故3t2 tR均成立，从而判别式22t1) 0012k0,解得k例6.( 2021广东理7)设a R，假设函数y eax 3x， xA. a 3B. a 3R有大于零的极值点，贝U1C. a -D. a3(B)13【解析】f '(x) 3 aeax,假设函数在aeax 0有正根。点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对 数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4:指数函数的概念与性质2ex ()(x1)

16、解:y)|1x|2 x<2例7设f(x)，2 '那么f(f(2)的值为()log3(x 1), x 2.A. 0 B. 1C. 2D. 32解：C； f(2) log3(22x 1(x1) 画图象可知一1< m<0 答案为Bo 点评：此题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是a 1,0,a 1两 种情况下函数y ax的图像特征。 例10.设函数f (x)2|x 11 |x 11,求使f (x)2.2x的取值范围。 解：由于y 2x是增函数，f (x)2 2等价于|x 1| |x 1| I 1)1 , f(f(2) 2e01-。e点评：利用指数函数、对数

17、函数的概念，求解函数的值-例8.f(l°gaX) X X (a 0,且a 1)试求函数f(x)的单调区间。解：令 logaX t，那么 x=a', t F。所以 f(t) a a t 即 f(x) ax a x， (x R)o因为f( x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在0，+X)上的单调性。任取x1，x2，且使0 x1 x2，贝U(1) 当 a>1 时，由 0x1x2，有 0ax1ax2，ax1x21，所以f (x2)f(x1)0，即f(x)在0，上单调递增。(2) 当 0<a<1时，由 0x1x2，有 0ax1ax2，ax1x21，

18、所以 f (x2)f(x1)0，即f(x)在0，上单调递增。综合所述，0，+x是f (x)的单调增区间，(一x，0)是f (x)的单调减区间。点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函 数的性质来处理。特别是分a 1,0 a 1两种情况来处理。题型5:指数函数的图像与应用例9.假设函数y(旷m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是()A. m< 1B. K m<0C.1 D. 0<mC 12) 当 1 x 1 时，|x 1| |x 1| 2x，式化为 2x -，即 3 x 1;243) 当x 1时，|x 1| |x 1|2，式无解；综上x的

19、取值范围是3,。4点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化 为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理 题型6:对数函数的概念与性质例11.(1)函数y log 2 2的定义域是()A. (3,)B. 3,)C. (4,)D. 4,)2 xx2(2)( 2006 湖北)设 f(x) = |g，那么 f (一)f (-)的定义域为()2 x2xA. (-4,0(0,4) B. ( -4, - 1)(1，4)C. ( - 2, - 1)(1，2) D. ( - 4, - 2)(2，4)解：(1) D (2) Bo点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自

20、变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法那么的对应关系。例12.(2021广东三校一模)设函数f x 1 x 2 2ln 1 x .(1) 求f x的单调区间；1 假设当x 1 1,e 1时,(其中e 2.718 )不等式fx m恒成立,求实数m的取值 e范围； 试讨论关于x的方程：f xx2 x a在区间0,2上的根的个数.解(1)函数的定义域为1, f x 2 x 1 2xx 2 .1分x 1 x 1由f x 0得x 0;2分由fx 0得1 x 0,3分那么增区间为0,减区间为1,0 .4分令f x-0,得x 0,由(1)知fx在-1,0上递减，

21、在0,e 1上递增,x 1e由 f1 丄 2fe1 e2 2,且 e22 丄 2,8 分e eex 1 1,e e1时，f x的最大值为e22,故me22时，不等式f xm恒成立9分方程f xx2 x a,即 x 1 2ln1x a.记 g x x 1 2ln1 x,那么2g x 1-x 1.由 g x 0 得 x1;由 g x 0 得 1 x 1.1 x x 1所以g(x)在0,1上递减，在1 , 2上递增.而 g(0)=1 , g(1)=2-2ln2 , g(2)=3-2ln3，二 g(0) > g(2) > g(1)10 分所以，当a> 1时，方程无解；当3-21 n3

22、 v a< 1时，方程有一个解，当2-21 n2 v a< a< 3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2In2时，方程有一个解；当av 2-2In2时，方程无解.13分字上所述，a (1, ) ( ,2 2ln2)时，方程无解；a (3 2ln 3,1或a=2-2In2时，方程有唯一解；a (2 2ln 2,3 2 In 3时，方程有两个不等的解.14分例13 .当a>1时，函数y=log ax和y=(1 a)x的图象只可能是()解：当a>1时，函数y=log ax的图象只能在 A和C中选，又a>1时，y=(1 a)x为减函数。答案：B点评：要正确识别函

23、数图像，一是熟悉各种根本函数的图像，二是把握图像的性质，根 据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例14.设A、B是函数y=log2X图象上两点，其横坐标分别为a和a+4,直线l ：x=a+2与 函数y=log2X图象交于点C,与直线AB交于点D。(1) 求点D的坐标；(2) 当厶ABC的面积大于1时，求实数a的取值范围-解:( 1)易知 D为线段 AB的中点,因 A(a,log 2a), B(a+4,log 2(a+4)，所以由中点公式得D(a+2,log 2 a(a 4)。(2)SaAB(=S 梯形 AA' CC +S 梯形 CC B' B-S 梯形 A

24、A B' B=log2Xa(a 4)其中A ' , B' , C为A B, C在x轴上的射影。由 &AB(=log2(a 2) >1,得 0<a<2 2 2。a(a 4)点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理 复杂冋题。题型8指数函数、对数函数综合问题例15.在xOy平面上有一点列 R(ai, bi), F2(a2, &),Fn( an, bn)，对每个自然数 n点Pn位于函数y=2000( a)x(0<a<1)的图象上，且点R,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以R为顶点的等腰三角

25、形。10(1) 求点Fn的纵坐标bn的表达式；(2) 假设对于每个自然数n，以bn, bn+1, bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3) 设G=lg( bn)( n N*),假设a取 中确定的范围内的最小整数，问数列C前多少项的 和最大？试说明理由-1 a n 1解：(1)由题意知：an=n+丄，二bn=2000()2。2 10(2) t 函数 y=2000(旦)x(0<a<10)递减，10对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2。那么以bn, bn+1, bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，即(?)2+( a)

26、1>0，10 10解得 a< 5(1+ . 2 )或 a>5( .5 1)。5(5 1)< a<10。(3) t 5(5 1)<a<10，A a=77 n 1 bn=2000( -)2。数列bn是一个递减的正数数列，10对每个自然数 n 2, 8=bnB1。于是当 bn> 1 时，B<8 1，当 bn<1 时，8W B-1，因此数列 Bn的最大项的项数n满足不等式bn> 1且bn+1<1，7 n丄由 bn=2000( )2 > 1 得：nw 20。10 n=20。点评：此题题设从函数图像入手，表达数形结合的优越性，最

27、终还是根据函数性质结合 数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例16.函数f(x) log a (ax 、x)(a 0,a1为常数)(1)求函数f (x)的定义域；(3) 假设函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围解：(1 由 ax . x 0 得.x ax/a>0, x>01 f (x)的定义域是x (p,)。 a(2)假设 a=2，那么 f(x) log2(2x, x)1设 Xi X2-，贝U4故f (x)为增函数。axi(3)设 Xi X2那么 a x-a X2-x- ax2X2 f(x)是增函数, f (Xi) > f (X2)即 loga(axiXi) log

28、a(ax2X2)联立、知a>i, a (i , +x)。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一 般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路处理即可-题型9:课标创新题例i7.对于在区间m,n上有意义的两个函数f (x)与g(x)，如果对任意的x m,n，均有f (x) g(x) i，那么称f (x)与g(x)在m,n上是接近的，否那么称f(x)与g(x)在m,n上是i非接近的，现有两个函数fi (x) loga(x 3a)与f/x) loga(a 0,a i)，给定区间x aa 2, a 3。(1) 假设fi(x)与f2(x)在给定区间a 2,a 3上

29、都有意义，求a的取值范围；(2) 讨论fi(x)与f2(x)在给定区间a 2,a 3上是否是接近的。i解：(i)两个函数 fi(x) loga(x 3a)与 f/x) loga(a 0,a i)在给定区间x aia 2,a 3有意义，因为函数y x 3a给定区间a 2,a3上单调递增，函数在y给 定区间a 2,a 3上恒为正数,a 0故有意义当且仅当a 1(a 2) 3a 0(2)构造函数 F(x) f1(x) f2(x) loga(x a)(x 3a),对于函数t (x a)(x 3a)来讲，显然其在(,2a上单调递减，在2a,)上单调递增。且y loga t在其定义域内一定是减函数-由于 0 a 1,得 0 2a 2 a 2所以原函数在区间a 2,a 3内单调递减，只需保证当0 a 957时，fx)与f2(x)在区间a 2, a 3上是接近的；12当a 9 57 时，fx)与f2(x)在区间a 2, a 3上是非接近的-12点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近与“非接近的含义，再对含 有对数式的函数的是否“接近进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即 可。例18设x 1，y1，且2log xy 2log y x3 0，求T x2 4y2的最小值解:令t叽y， x1，y 1? t 0。由 2log xy