高中数学圆的标准方程教案

1、第 四 章圆 与 方 程圆的标准方程三维目标:知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。教学重点：圆的标准方程 教学难丿点：会根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。教学过程:1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的根本要素是什么？圆作为平面几何中的根本图形，确定它的要素又是什么呢？什

2、么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么， 原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的根本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。(其中a、b、r都是常数，r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r, 由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(x a)2(y b)2r化简可得：(x a)2(yb)2 r2引导学生自己证明(Xa)2(y b)22r为圆的方程，得出结论。方程就是圆心为 A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫

3、做圆的标准方程。3、知识应用与解题研究例(1)：写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M/5, 7),M2( J5, 1)是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究:占八、M (xo, yo)与圆(x2 2 2a) (y b)r的关系的判断方法(1)(X。a)2(yob)2>r2，点在圆外(2)(X。a)2(yob)2 =r2，点在圆上(3)(Xoa)2(yob)2<2r ，点在圆内例(2)： VABC的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7, 3),C(2, 8),求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程(x a)2 (y b)2r2可知

4、，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数(学生自己运算解决)例(3):圆心为C的圆l : x y 10经过点A(1,1)和B(2, 2),且圆心在l : x y 10上，求圆心为C的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点 A(1,1)和B(2, 2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线 m上，又圆心C在直线I上，因此圆心 C是直线I与直线m的交点，半径长等于CA或CB。(教师板书解题过程。)总结归纳：(教师启发，学生自己比拟、归纳)比拟例(2)、例(3)可得出VABC外接圆的标准方程的两种求法：

5、 、根据题设条件，列出关于 a b r的方程组，解方程组得到 a、b r得值，写出圆的标准方程根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程提炼小结:1、圆的标准方程。2、点与圆的位置关系的判断方法。3、根据条件求圆的标准方程的方法。教学反思:作业： 课本P130习题4.1第2、3、4题圆的一般方程三维目标：知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的根底上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程X2 + y2 + Dx+ Ey+ F=0表示圆的条件.(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。

6、(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法：通过对 方程x2 + y2 + Dx+ Ey+ F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解 决问题的实际能力。情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质， 鼓励学生创新,勇于探索。教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据条件 确定方程中的系数，D E、F.教学难丿点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用教具：多媒体、实物投影仪-教学过程:课题引入：问题：求过三点 A ( 0, 0), B (1 , 1), C (4, 2)的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦

7、，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式一一圆的一般方 程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：2 2 2(x a) + (y b) =r，圆心(a , b)，半径 r.把圆的标准方程展开，并整理：2 2 2 2 2x + y 2ax 2by + a + b r =0.取D22a, E2b, F a2 2b r得2 2x yDxEy F 0这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如 x2 + y2 + Dx+ Ey+ F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗?把 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F=0 配方得圆？D2 E

8、2 4F(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示2圆心,1 ,D22E24F为半径的圆；(2) 当D2E24F0时,方程只有实数解DE一x， y，即只表示一个点(22D2-E)；2(3) 当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形-(1)当D2+ E2-4F>0时，方程表示(1)当D2 E2 4F 0时，表示以D2综上所述，方程x2 y2 Dx EyF 0表示的曲线不一定是圆-只有当D2 E2 4F 0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 y2 Dx Ey F 0的表示2 2圆的方程称为圆的一般方程- x 1y2 4我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1) x

9、 2和y2的系数相同，不等于 0. 没有xy这样的二次项.(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数 D E、F,因之只要求出这三个系数，圆的 方程就确定了.(3) 、与圆的标准方程相比拟，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆 的标准方程那么指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。知识应用与解题研究：例1:判断以下二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。2 21 4x 4y 4x 12y 902 22 4x 4y 4x 12y 110学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一般方程 的判断方法求解。但是，要注意对于1 4x2 4y2 4

10、x 12y 9 0来说，这里的9十口D 1,E3,F 而不是 D=-4,E=12,F=9 .4例2:求过三点A ( 0, 0), B (1 , 1) , C (4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程那么需确定三个系数，而条件恰给 出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程-解：设所求的圆的方程为：x2y2 Dx Ey F 0 A(0,0), B(1,1) ,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程, 可以得到关于 D,E, F的三元一次方程组,F 0即 D E F 204D 2E F 200解此方程

11、组，可得:8, E 6,F0-所求圆的方程为:8x1 2 2 r D E2得圆心坐标为(4,4F3).或将x2 y2 8x6y0左边配方化为圆的标准方程，(x4)2 (y23)25,从而求出圆的半径r 5，圆心坐标为(4,-3)-学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 、根据提议，选择标准方程或一般方程； 、根据条件列出关于 a、b、r或D E、F的方程组； 、解出a、b、r或D E、F,代入标准方程或一般方程。2 2例3、线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆上x 1 y 4运动，求线段 AB 的中点M的轨迹方程。2o分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在圆上运动，点A

12、的坐标满足方程 x 1 y 4。M的轨迹方程。的坐标是建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点 M的坐标满足的条件，求出点 解： 设点 M 的坐标是 (x,y ), 点 Ax°,y°由于点B的坐标是 4,3且M是线段AB的重点，所以Xo 4X 丁,y于是有Xo 2xyo 324, yo2y因为点A在圆4上运动，所以点A的坐标满足方程x 12Xo12y。Xo1 22 yo把代入，得Pl3022x 4 12y4,-4整理，得x-所以,占八、M的轨迹是以32?233为圆心，半径长为1的圆课堂练习：课堂练习p13o第1、2、3题小结：2 21 对方程X y Dx Ey F 0的讨

13、论什么时候可以表示圆2 与标准方程的互化-3 用待定系数法求圆的方程-4 求与圆有关的点的轨迹。课后作业：p13o习题4.1第2、3、6题教学反思:直线与圆的位置关系一、教学目标1知识与技能(1) 理解直线与圆的位置的种类；(2) 禾U用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;(3) 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.2、过程与方法设直线1:I I22deax by c 0，圆C : xy Dx Ey F 0，圆的半径为r，圆心(，)2 2到直线的距离为d，那么判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(1) 当 dr时，直线l与圆C相离；(2) 当 dr时，直线l与圆C

14、相切；(3) 当 dr时，直线l与圆C相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.三、教学设想问题设计意图师生活动1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？启发学生由 图形获取判断直 线与圆的位置关 系的直观认知，引 入新课.师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.生：看图，并说出自己的看法.2 直线与圆的位置关系有哪几种呢？得出直线与 圆的位置关系的 几何特征与种类.师：引导学生利用类比、归纳 的思想，总结直线

15、与圆的位置关系 的种类，进一步深化“数形结合 的数学思想.问题设计意图师生活动生：观察图形，禾U用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.3 在初中，我们怎样判断直 线与圆的位置关系呢？如何用直 线与圆的方程判断它们之间的位 置关系呢？使学生回忆初中的数学知识， 培养抽象概括能 力.师：弓1导学生回忆初中判断直 线与圆的位置关系的思想过程.生：回忆直线与圆的位置关系 的判断过程.4 你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？抽象判断直 线与圆的位置关 系的思路与方法.师：引导学生从几何的角度说 明判断方法和通过直线与圆的方程 说明判断方法.生：利用图形，寻找两种方法 的数学思想.5 .你能两种判

16、断直线与圆的体会判断直师：指导学生阅读教科书上的位置关系的数学思想解决例 1的问线与圆的位置关例1 .题吗？系的思想方法，关生：新闻记者教科书上的例 1,注里与里之间的并完成教科书第136页的练习题2.关系.6通过学习教科书的例1,你使学生熟悉生：阅读例1.能总结一下判断直线与圆的位置判断直线与圆的师；分析例1，并展示解答过关系的步骤吗？位置关系的根本程；启发学生概括判断直线与圆的步骤.位置关系的根本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.生：交流自己总结的步骤.师：展示解题步骤.7通过学习教科书上的例2，进一步深化师：指导学生阅读并完成教科书上你能说明例2中表达出来的数学思“数形结合的数的例2,

17、启发学生利用“数形结合想方法吗？学思想.的数学思想解决问题.生：阅读教科书上的例2,并完成第137页的练习题.问题设计意图师生活动&通过例2的学习，你发现明确弦长的师：引导并启发学生探索直线了什么？运算方法.与圆的相交弦的求法.生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.9完成教科书第 136页的练稳固所学过师：引导学生完成练习题.习题 1、2、3、4.的知识，进一步理生：互相讨论、交流，完成练解和掌握直线与习题.圆的位置关系.10.课堂小结：教师提出以下问题让学生思考:(1) 通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？(2) 判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么

18、?(3) 如何求出直线与圆的相交弦长？作业：习题4. 2A组：1、3.教学反思:圆与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能(1) 理解圆与圆的位置的种类；(2) 利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；(3) 会用连心线长判断两圆的位置关系.2、过程与方法设两圆的连心线长为I，那么判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当I Ir1r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当I Ir1r2时，圆G与圆C2外切；(3)当f 11辽|I 1 2时，圆G与圆C2相交;(4)当f 1|1r'2 1时，圆C1与圆C2内切；(5)当f 1 | * r'2 1时，圆C1与圆C2内含

19、；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.三、教学设想问题设计意图师生活动1.初中学过的平面几何中，结合学生已教师引导学生回忆、举例，并圆与圆的位置关系有几类？有知识以验，启发对学生活动进行评价；学生回忆知学生思考，激发学生学习兴趣.识点时，可互相交流.2 .判断两圆的位置关系，你引导学生明教师引导学生阅读教科书中的有什么好的方法吗？确两圆的位置关相关内容，注意个别辅导，解答学系，并发现判断和生疑难，并引导学生自己总结解题解决两圆的位置的方法.问题设计意图师生活动关系的方法.学生观察图

20、形并思考，发表自己的 解题方法.3.例3培养学生“数教师应该关注并发现有多少学你能根据题目，在同一个直角形结合的意识.生利用“图形求，对这些学生应坐标系中画出两个方程所表示的该给予表扬.同时强调，解析几何圆吗？你从中发现了什么？是一门数与形结合的学科.4 .根据你所画出的图形，可进一步培养师：启发学生利用图形的特征，以直观判断两个圆的位置关系.如学生解决问题、分用代数的方法来解决几何问题.何把这些直观的事实转化为数学析问题的能力.生：观察图形，并通过思考，语言呢？利用判别式指出两圆的交点，可以转化为两个来探求两圆的位圆的方程联立方程组后是否有实数m ¥方置关糸.根，进而利用判别式求解

21、.5 .从上面你所画出的图形，进一步激发师：指导学生利用两个圆的圆你能发现解决两个圆的位置的其学生探求新知的心坐标、半径长、连心线长的关系它方法吗？精神，培养学生来判别两个圆的位置.生：互相探讨、交流，寻找解 决问题的方法，并能通过图形的直 观性，利用平面直角坐标系的两点 间距离公式寻求解题的途径.6如何判断两个圆的位置关系呢？从具体到一 般地总结判断两 个圆的位置关系 的一般方法.师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各 自的想法，并进行分析、评价，补 充完善判断两个圆的位置关系的方 法.7 阅读例3的两种解法，解 决第137页的练习题.稳固方法，并

22、 培养学生解决问 题的能力.师：指导学生完成练习题.生：阅读教科书的例 3,并完成第137页的练习题.问题设计意图师生活动&假设将两个圆的方程相减，你发现了什么？得出两个圆 的相交弦所在直 线的方程.师：引导并启发学生相交弦所 在直线的方程的求法.生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程.9 两个圆的位置关系是否可 以转化为一条直线与两个圆中的 一个圆的关系的判定呢？进一步验证相交弦的方程.师：引导学生验证结论.生：互相讨论、交流，验证结论.10.课堂小结：教师提出以下问题让学生思考：(1) 通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？(2) 判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特

23、点是什么？(3) 如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？作业：习题4. 2A组：4、7.教学反思:直线与圆的方程的应用一、教学目标1知识与技能1理解直线与圆的位置关系的几何性质；2利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3会用“数形结合的数学思想解决问题.2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译成几何结论.3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用.三、教学设想问题设计意图师生活动1你能说出直线与圆的位置关系吗？启发并引导学生回忆直线与师：启发学生回忆直线与圆的位置关系，导入新课.圆的位置关系，从而引入新课.生：回忆，说出自己的看法.2 解决直线与圆的位置关系，理解并掌握师：引导学生通过观察图形，你将采用什么方法？直线与圆的位置回忆所学过的知识，说出解决问题关系的解决方法的方法.与数学