垂向二阶导数正演原理

1、 方法原理2.1 方法的提出将重力观测值转换为重力的一阶导数或二阶导数时，也可以使异常成份发生变化，达到划分异常的目的。重力位高阶导数法主要用来突出局部异常，特别是对体积小、埋藏浅的物体引起的局部异常。用平均场法等方法效果较差，但用高阶导数可以得到良好的效果。此外，高阶导数法也是重力位场变中应用很广泛的方法之一，它从另一个方面，对重力异常解释提供新的信息，丰富我们对重力异常的认识。2.2 方法原理2.2.1 方法的实质重力异常场在场源外满足拉普拉斯方程。据此可将重力垂向二阶导数的计算转化为求取沿x、y两个方向的二阶导数，即： （2-1）重力高阶导数解释法的实质就是在对重力资料成果进行推断解释时

2、，我们不再试图把实际观测的重力场人为的划分为区域场和局部场两个组成部分，而是根据位场的有关理论，将观测场换算为位场的高次导数。如重力的垂向梯度或垂向二阶导数等，在这些换算后的结果中，同样包括区域因素与局部因素两部分的影响，但二者所占的比重已发生显著地变化，即局部因素的影响在位场的较高次导数中将占有极为显著地地位，从而可以突出地表现出来。设球体的质量为M，球体的中心埋深为Z，球体的各阶导数极大值如下列各式所示: （2-2） （2-3） （2-4） （2-5）质量相等的物体,埋深分别为0.5Z、Z和2Z的时候，引力位各阶导数的极值之比为: （2-7） （2-7） （2-8）由式子（2-2）到（2-

3、8）可得：（1）同一埋深的高阶导数衰减更快。（2）同次导数，不同埋深，高阶导数的差别更大，也就是说高阶导数对深度的变化最敏感。这两点都说明，埋深大的地质体引起的高阶导数异常是非常小的，或者说埋深大的地质体基本上不引起高阶导数的异常，只有埋深小的地质体才能引起明显的高阶导数异常。当场源埋深不同的地质体共同引起的异常换算成以后，埋深大的场源引起的几乎衰减殆尽，埋深小的场源引起的也衰减，但相对于埋深大的来说，衰减小很多，因而埋深小的高阶导数异常得到相对突出，一般区域场由埋深较大的地质体引起，将异常换算成以后，区域场基本上衰减完，局部异常得到相对突出，所以，在一定的意义上说，高阶导数异常就是局部异常。

4、这也是高阶导数划分区域异常和局部异常与其他划分异常方法的不同之处。2.2.2 基本原理在重力勘探中所讲的重力异常就是地质体的剩余质量所产生的引力在重力方向的分量，若地质体的密度小于围岩密度，则剩余密度为负值，剩余质量也为负值。residual density 地质体密度()和围岩密度(0)的差值，称为剩余密度。residual mass 地质体的剩余密度和它体积的乘积称为地质体的剩余质量。图2-1 计算地质体重力异常示意图要计算某个地质体产生的重力异常，可以根据牛顿万有引力公式来计算，通常是计算地质体的剩余质量产生的引力位，然后再求天虎引力位重力方向的导数，其方法如下：以地面上某一点O作为坐标

5、原点，Z轴垂直向下，X,Y轴在水准面上。若地质体与围岩的密度差为，地质体内任一体积单元，其坐标为，其剩余质量为，令计算点为(x,y,z),剩余质量单元到计算点的距离为r,则，则地质体剩余质量在计算点A处产生的引力位为： (2-9)因为Z的方向即为重力方向，所以重力异常就是剩余质量引力位沿Z方向的导数，即为： (2-10)由此可以推到出重力异常水平梯度和垂向梯度的计算公式： (2-11) (2-12) (2-13)对于地下的复杂形体，由于地质体的形状、构造和剩余密度各异，怎么选择一个合适的模型进行模拟计算不仅关系到对地质体的形状和空间位置的确定，而且关系到工作的效率。对于矿巢、岩珠及近似等轴状的

6、地质体，都可以近似的看做球体。球体半径为R，埋藏深度为h，取其中心在地面的投影为坐标原点，Z轴垂直向下，X,Y轴水平。根据场论的知识，质量均匀分布的球体，对于外部空间各点的引力位，等于全部质量集中于求新的质点时的情况，即： (2-14)式中：，为球体的体积，为点(x,y,z)的引力位，为球体与围岩的密度差。因为把球体看作质点，所以，又因为我们沿着X(Y=Z=0)方向观测，即： (2-15)将上述各量代入（2-14)得:球体重力异常： (2-16)球体重力异常垂向二阶导数： (2-17)的换算已知在场源外部，引力位是空间坐标的调和函数，满足拉普拉斯方程 (2-18)对于,由于 (2-19)所以在

7、场源外部空间有： (2-20)其中：， ， (2-21)代入解得：至今，导出的计算公式很多，然而基本原理相似，下面具体介绍几个常用公式。若用符号表示以坐标原点O为圆心，R为半径的一个圆周上重力异常的平均值，则： (2-22)式中为圆周上某一点的重力值，由于它是坐标位置的调和函数，因此，当R不大时，可以写成对坐标原点的台劳展开式： + + (2-23)考虑到，并将代入直接积分后得： (2-24)其中R为奇次项在积分后代入上、下限时均已消去。，的表达式为： (2-25) (2-26) (2-27)这样，计算原点0的重力垂向二阶导数的问题，就变成了确定上中的系数了，求得再乘以(-4),就可得到计算点

8、的值，即： (2-28)当采用不同方法确定系数时，就可以得到不同的计算公式。由上可知，各种公式的推导，其原理一致，都采用级数逼近的近似解，只在处理方法上各不相同，从而计算的效果也不同。罗森巴赫公式在推导中因保留了四次导数项，且是直接解出的，故具有精度较高的优点，但同时对局部干扰也十分敏感，故一般适用于精度较高情况的重力资料处理；而艾勒金斯公式只保留了项，又用最小二乘法求解，起到平滑的作用，故计算结果精度较低，异常幅值衰减很大，但受局部干扰的影响也小，因而适应精度较低，较平缓的异常的处理。这些公式的取数点位置见取数量板图。图2-2 计算的取数量板 图 2-3艾勒金斯和罗森巴赫计算盘板2.2.3 经典公式垂向二阶导数法作为一种已经成熟的处理方法，前人已经做过许多的研究，并且得到许多实际可靠的公式。其中包括：1.哈克公式 (2-29) 2.艾勒金斯公式艾勒金斯第公式为： (2-30)艾勒金斯第公式： (2-31)艾勒金斯第公式 (2-32)3.罗森巴赫公式 （