2019-2020年高中数学3.2《均值不等式》学案新人教B版必修5

1、D. sinx+最小值为4.2; (3)若 a>0,b>0,a+b=1 则(a+) (b+)C. 2D. 3)A. 1B. 2C. 3D. 42019-2020年高中数学3.2均值不等式学案 新人教B版必修5【预习达标】1正数a、b的算术平均数为 ;几何平均数为 .2.均值不等式是。其中前者是，后者是.如何给出几何解释？3在均值不等式中 a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ;另外等号成立的条件是.4试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件)2 2(1) a+b ()(2) ()(3)+ ()(4) x+(x>0)(5) x+(x<0)(6) ab

2、w ()5在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立.6. 函数f(x)=x(2 x)的最大值是 ;此时x的值为;.函数f(x)=2x(2 x)的最大值是 ;此时x的值为;函数f(x)=x(2 2x)的最大值是 ;此时x的值为;函数f(x)=x(2 + x)的最小值是 ;此时x的值为。【典例解析】例.已知 a、b、c ( 0 ,+)，且 a+b+c=1,求证 + > 9.例2.( 1)已知x<,求函数y=4x 2+的最大值.(2) 已知x>0, y>0，且=1,求x + y的最小值。(3) 已知a、b为常数，求函数 y=(

3、x-a) 2+(x-b) 2的最小值。【达标练习】.选择题:.下列命题正确的是()2A. a +1>2aB.|x+ I > 2 C.w 22.以下各命题(1)x ?+的最小值是1 ; (2 )最小值是 的最小值是4,其中正确的个数是()A. 0B. 13设a>0,b>0则不成立的不等式为()2 2A.+2B. a +b > 2abC.+a+ bD. 2+设a、bR+,若a+b=2,则的最小值等于(5已知ab>0,下列不等式错误的是()22A. a +b > 2abB. C. D.二填空题：6. 若a、b为正数且a+b=4,则ab的最大值是.7. 已知x

4、>1.5，则函数y= 2x+的最小值是 .8. 已知 a、b为常数且 0<x<1，则的最小值是 三解答题：9. ( 1 )设a=, b=, c=且x丰0,试判断a、b、c的大小。(2)设c<b<a，设判断与的大小。10在 ABC中/ C=90°, AC=3, BC=4 一条直线分 ABC的面积为相等的两个部分，且夹在 AB与BC之间的线段最短，求此线段长。参考答案：【预习达标】1. ；2. > ;算术平均数；几何平均数；圆中的相交弦定理的推论(略)。3. a, b R ； a=b4. 2ab ( a,b R)(a , b R+)2 (a、b 同号)

5、或w 2 (a、b 异号)22w 2w()(a,b R);5. 定。6. 1, 1; 2, 1;，；一1, 1。【典例解析】例 1.解析：原式=(+ ) ( a+b+c) = 3+ ()+()+ ()> 3+ 2+ 2+ 2= 9 当且仅当 a=b=c=时取等号。例2解析：(1) v x< 4x-5<0 y=4x 2+=(4x-5)+3 w 2 + 3= 1 当且仅当 4x-5 =时即 4x-5 = 1,x= 1时等号成立，当 x= 1时，取最大值是1(2) 解法一、原式=(x + y) () = +106+ 10= 16当且仅当=时等号成立，又=1二x=4,y=12 时,取

6、得最小值 16。解法二、由=1得(x-1 ) (y-9)=9为定值，又依题意可知x>1 , y>9.当且仅当x-仁y-9=3时即 x=4, y=12 时,取最小值 16。( 3)解法一、转化为二次函数求最值问题(略)2 2 2 2 2解法二、.(. y=(x-a) +(x-b) = y=(x-a) +(b-x) > 2=，当且仅当 x-a=b-x 即 x=时， 等号成立。.当x=时取得最小值。【双基达标】一、 1. B解析：A中当a=1时不成立；C需要分a、b同号还是异号 D中等号成立的条件是 sinx=2。 这是不可能的。实际上|x+丨= |x| + |22. C 解析：(

7、1) ( 2)正确，(3)不正确，实际上(a+) (b+) =( a+b) +2+() > 1 + 2+ 2 =5,当且仅当a=b=时等号成立。3 . D解析：A B显然正确；C中+a>2b, +b>2a, + > a+ b ; D中a=b=2时就不成立。4. B 解析：原式=() = (2 + )> 25. C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数调和平均数=二、6. 4 解析：I ab<= 47. 7 解析：y = 2x+ = y =( 2x 3) + 3> 78. 解析：原式=()x+(1-x)=a+b+> a+b+2ab=。三、

8、 9.解析：(1)a=为算术平均数，b=为几何平均数，c=为平方平均数。/x工0 c>a>b。(2)=>10. 解析：设直线为 EF,交 BC于 E,交 AB于 F,设 BF= x, BE= y 贝U &bef= = = 3. xy=10 E= x2+y2-2xycosB= x 2+y2-=4，当且仅当时等号成立，此时EF= 2。2019-2020年高中数学3.2均值不等式教案 新人教B版必修5教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小

9、于它们的几何平均数这个重要定理 利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论1: a>bb<a2: a>b,b>ca>c(或 c<b,b<ac<a)(传递性)3: a>ba+c>b+c(或 a<ba+c<b+c)(1) : a+b>ca>c-b(移项法则)： a>b,c>da+c>b+d4、若 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;若 a>b,且 c<0,那么 ac<bc.、若 a>b>0,且 c>d>0,则

10、ac>bd(2) 、若 a>b>0,则 an>bn (n ，且 n>1)(3) 、若 a>b>0，则(n ，且 n>1)2、 定理变式：如果a,b R,那么a2+b2 >2ab (当且仅当a=b时，等号成立)a + h3、 均值定理：如果 a,b是正数，那么 .ab(当且仅当a =b时取"耳号).2证明：，即显然，当且仅当说明：i)我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ii) a2 b2 _ 2ab和一 , ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数,2而后者要

11、求a,b都是正数iii) “当且仅当”的含义是等价3 .均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b的线段为直径作圆，在直径 AB上取点C,使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径 AB的弦DD',那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于CD,即，其中当且仅当点 C与圆心重合；即a=b时,等号成立 应用例题：例 1、已知 a、b、c R,求证： '_'-不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开 方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。(1)证明：Tm 凡脸b.2(撐+巧刁川+2如+円戊+5尸于是 曲+护M 化竺，两边开方

12、，得需匸歹彥2上+釧彥逅3+厂2 2 2(2)(c + a)刁罷(«+/)+ c)同理可证，得侣+宀咼+0 三式相加，得"x/a? +护 +亡2 + 6" +a例2、若，则注意到a , b , c R+,从结论的特本题若用”求差法"证明，计算量较大，难以获得成功, 点出发，均值不等式，问题是不难获证的。证明咋二昭 于是由均值不等式,3c同理，4总事力caJ竺+兰淙+ 士 b c a2护2+ _- +)+3+ c )刁2为 + & + c)bca例3、已知为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca证明：以上三式相加：2(a2 b2 c2) 2ab - 2bc - 2ca a2 b2 c2ab bc ca例 4、已知 a,b,c,d 都是正数，求证：(ab - cd)(ac bd) _4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时 加强对均值不等式定理的条件的认识证明：T a,b,c,d 都是正数