人教版八年级上册数学专题全等三角形中辅助线添加

1、全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接；（2）作平行线：过点作；（3）作垂线（作高）：过点作，垂足为；（4）作中线：取中点，连接；（5）延长并截取线段：延长使等于；（6）截取等长线段：在上截取，使等于；（7）作角平分线：作平分；作角等于已知角；（8）作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1） 倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。（2） 截

2、长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3） 一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。（4） 角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。（5） 角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。（6） 构造特

3、殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型： （1）ABC中AD是BC边中线方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长，作CFAD于F，作BEAD的延长线于E，连接BE方式3： 延长MD到N，使DN=MD，连接CD （2） 由ABEBCD导出 由ABEBCD导出 由ABEBCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD（3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）（4） 旋转： 方法：延长

4、其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ） 结论：MN=BM+DN AM、AN分别平分BMN和DNM翻折： 思路:分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（B+D=且AB=AD）（5）手拉手模型ABE和ACF均为等边三角形 结论：（1）ABFAEC；（2）B0E=BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA平分EOF拓展： 条件：ABC和CDE均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ为等边三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、C

5、O平分AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （7），（8）需构造等边三角形证明）ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE=CD （2）BECD ABEF和ACHD均为正方形 结论：（1）、BDCF （2）、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T，求证：T为FD的中点. 方法一： 方法二： 方法三： 变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：ANBC 当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：1=2=. 四、典型例题：考点一：倍长中线（或类中线）法：核心母题 已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围

6、是_. 练习：1、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.2、 如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. 3、 如图，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACB=ABC，求证：CD=2CE。 4、 已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，FAE=BAE求证：AF=BC+FC 5、 如图，D是AB的中点，ACB=90°,求证：2CD=AB. 6、 已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。7、 已知在ABC中，A

7、D是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。8、 已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分。9、 以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 10、已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其

8、中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 变式1：已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图

9、图 变式:2：已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM. （1）如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 ； （2）如图，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由. 变式3： 四边形是正方形，是等腰直角三角形，连接，为的中点，连接，。（1）如图24-1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；（2）将图24-1中的绕点顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图24

10、-1中的绕点顺时针旋转（），若，当，三点共线时，求的长及ABF的度数。ABCD备用图图24-2ACDGEFBACDGEFB图24-1考点二：截长补短法：核心母题 如图，ADBC，EA，EB分别平分DAB，CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC 练习：1、 如图，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. (1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图中的CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；、已知：如图，是等边三角形， 求证：.ABCD、已知四边形中，°，为四边形的对角线上一点，且

11、，求证：2、 在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 ABCDEO3、如图，在中，AD，CE分别为的平分线，求证：AC=AE+CD 4、如图，在ABC中，AB=AC，D是ABC外一点，且ABD=60°，ACD=60°求证：BD+DC=AB 5、已知：如图在ABC中，AB=AC，D为ABC外一点，ABD=60°，ADB=90°BDC，求证：AB=BDDC。 考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题 已知：如图，在RtABC中，BAC=90°

12、，AB=AC，D是BC边上一点，ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC. 练习：1、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EFED求证：AE平分BAD 2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由 3、如图，在中，直线经过点C，且于点D，于点E。（1）当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=ADBE；（3）当直线绕点C旋转

13、到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。BCMNEDABCNMDEABCNMDE4、 如图所示，AEAB，BCCD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？ 6、小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l1l2l3 ，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积图2图1 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用

14、旋转的方法构造全等三角形解决问题具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A，作ADl2于点D，作DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EBAE交l3于点B，连接AB，作BAC=90°，交直线l2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l1l2l3, l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）图3图37、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形

15、的直角顶点放在P（5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B.（1） 当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究OA+0B的值或取值范围；（2） 点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。 9、 已知：在平面直角坐标系中，等腰直角ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且ACB=90°，AC=BC（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，作BDy轴于点D，试判断a，m，n之间

16、的关系，请证明你的结论 考点四：角平分线、中垂线法核心母题 1、在中，是的平分线是上任意一点求证： 2、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE 3、 如图，ABC的边BC的中垂线DF交BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DEAB于E，且ABAC，求证：BE-AC=AE 练习 1、 如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由 2、 如图所示：ABC的平分线BF与ABC中ACB的相邻外角ACG的平分线CF相交于点F，过F作DFBC，交AB于D，交AC于E问：（1）写出图中的等腰三

17、角形并说明理由（2）若BD=8cm，DE=3cm，求CE的长 3、在中，平分，是中点，连结，求证： 4、如图，ABC中，ABC=2C，BE平分ABC交AC于E、ADBE于D，求证：（1）AC-BE=AE；（2）AC=2BD 5、 如图，在ABC中，ABAC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证：BF=CG 变式一：如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线 变式二：已知：ABC中，AD是ABC的角平分线，M为BC的中点，过点M作MNAD，交AC于点N ,求证：AN+AB=NC. 变式三：在ABC中，A

18、D是ABC的角平分线（1）如图1，过C作CEAD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连结AF，求证：AFAD；（2）如图2，M为BC的中点，过M作MNAD交AC于点N，若AB=4， AC=7，图1图2求NC的长ACBD6、如图，已知ABC中，ABAC，A100°，B的平分线交AC于D， 求证：ADBDBC7、如图，在ABC中，ADBC于D，CDABBD，B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。EADBC8、如图1，在ABC中，ACB=2B，BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线lAO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M（1）当

19、直线l经过点C时（如图2），证明：BN=CD； （2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系9、如图所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F，求证：2BE=AC-AB 变式：如图，已知在中，求证： 10、如图所示，在中，平分，于，求证 变式一：如图1=2，B为AC中点，CMFB于M，ANFB于N，求证：EF=2BM；FB=（FM+FN） 变式二：如图，在ODC中，过点E作 变式三：如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证：MF=（ACA

20、B）。 考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法核心母题 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45°，求证：EF=BE+DF. 变式一：如图，E、F分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD上的点,若ECF的周长是2，求EAF的度数? 变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAQ=45°，AHEF，求证：AH=AB. 综合：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：.MAN=.AM、AN分别平分BMN和DNM. 练习 1、 如图，在四边形ABCD中，AB=BC

21、,A=C=90°，B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若BKN的周长是AB的2倍，求KDN的度数？ 2、 已知：正方形ABCD中，MAN=45°，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180&#

22、176;，E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF=BAD，（1） 求证：EF=BE+FD（2） 如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。 5、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°求证：AD平分CDE. 6、 如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五边形ABCDE的面积 7、 如图1在四边形ABCD中AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且BAD=2EAF（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系 8、