四维空间文档

1、第五讲 四维空间n维空间概念，在18世纪随着分析力学 的发展而有所前进。在达朗贝尔 . 欧拉和拉 格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的 概念，达朗贝尔在百科全书关于维数的 条目中提议把时间想象为第四维。 在19世纪 高于三维的几何学还是被拒绝的。麦比乌斯( karl august mobius 1790-1868 )在其重心的计算中指出， 在三维空间中两个互为镜像的图形是不能 重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。但 后来他又说：这样的四维空间难于想象，所 以叠合是不可能的。 这种情况的出现是由于 人们把几何空间与自然空间完全等同看待 的结果。以至直到 1860年，库摩尔( ernst edua

2、rd kummer 1810-1893 )还嘲弄四维几 何学。但是，随着数学家逐渐引进一些没有 或很少有直接物理意义的概念，例如虚数， 数学家们才学会了摆脱 “数学是真实现象的 描述 ”的观念， 逐渐走上纯观念的研究方式。虚数曾今是很令人费解的， 因为它在自然界中没有实在性。 把虚数作为直线上的一个定 向距离，把复数当作平面上的一个点或向 量，这种解释为后来的四元素，非欧几里得 几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数， 超限数等的引进开 了先河， 摆脱直接为物理学服务这一观念迎 来了 n维几何学。1844年格拉斯曼在四元数的启发下， 作 了更大的推广，发表线性扩张，1862

3、年又将其修订为扩张论。他第一次涉及一 般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文 章中说：我的扩张的演算建立了空间理论的抽 象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为 一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理） 空间作特殊应用时才构成几何学。然而扩张演算中的定理并不单单是把 几何结果翻译成抽象的语言， 它们有非常一 般的重要性，因为普通几何受（物理）空间 的限制。格拉斯曼强调，几何学可以物理应 用发展纯智力的研究。 几何学从此开始割断 了与物理学的联系而独自向前发展。经过众多的学者的研究， 遂于 1850年以 后，n维几何学逐渐被数学界接受。一般认为：四维空间是一个时空的概 念。简单来说，任何具有四维

4、的空间都可以 被称为 “四维空间 ”。不过，日常生活所提及 的 “四维空间 ”，大多数都是指爱因斯坦在他 的广义相对论和狭义相对论中提及 的 “四维时空 ”概念。根据爱因斯坦的概念， 我们的宇宙是由时间和空间构成。 时空的关 系，是在空间的架构上比普通三维空间的 长、宽、高三条轴外又多了一条时间轴，而 这条时间的轴是一条虚数值的轴。根据爱因斯坦相对论所说： 我们生活中 所面对的三维空间加上时间构成所谓四维 空间。由于我们在地球上所感觉到的时间很 慢，所以不会明显的感觉到四维空间的存 在，但一旦登上宇宙飞船或到达宇宙之中， 使本身所在参照系的速度开始变快或开始 接近光速时，我们能对比的找到时间的

5、变 化。如果你在时速接近光速的飞船里航行， 你的生命会比在地球上的人要长很多。 这里 有一种势场所在， 物质的能量会随着速度的改变而改变。 所以时间的变化及对比是以物 质的速度为参照系的。 这就是时间为什么是 四维空间的要素之一的原因。一、直线运动 假设一个物体在平面上做匀速直线运动，其轨迹是一条直线L。从直线L无法判断 这个物体是否匀速运动。但研究一个运动， 时间是非常重要的量， 我们希望知道物体何 时在何地。如果物体P在平面上做匀速直线运动， 则可以得到P点的坐标随时间T变化的函数 关系。假设当T=0时，P的在坐标原点，则P 点坐标为：x=at,y=bt , 其中a,b为常数。如果物体P在

6、平面上做变速直线运动， 这种函数关系 x=x(t),y=y(t) 很复杂。现在物体运动的平面外再增加一个表示时间的坐标轴T轴，T轴也过坐标原点，且 与X轴，Y轴都垂直。当P点做匀速直线运动，可得到一条经 过原点的直线 L,L 上每一点 Q(x,y,z) 表示 P 点在时刻t位于原来XY平面上的(x,y)处。即 从直线L上的每一点向平面XY乍垂线，所有 的垂足就是L在XY面上的投影。此投影就是P 点运动的实际轨迹。L越陡，说明运动速度 比较慢；L越平说明运动速度比较快。如果物体在平面XYh做变速直线运动， 可得一条空间曲线L,L在XY平面上的投影仍 是一条直线。因为P点的运动轨迹仍是直线， 但由

7、于L是曲线，说明物体的运动速度是随 时间的变化而变化。上例是对平面上的运动来说的， 当增加 了时间轴后，把二维空间变为三维空间。如 果原来物体就是在三维空间运动， 运动的轨 迹是三维空间的一条曲线 l ，当增加时间轴 以后，三维空间变为四维空间，于是得到四 维空间中的一条曲线L。L上一点Q(x,y,z,t) 就表示物体在时刻 t 位于原来空间中的点 (x,y,z )处。四维空间中的曲线L在原来三 维空间中的投影就是运动轨迹 I,但L却能反 映出物体的运动对时间的依赖关系。上述方法得到的四维空间是对时间和 空间综合起来考虑，可以称为“时空间”。 其中时间轴就是科幻小说中的时间隧道， 不过我们讨论

8、的时间是单向的， 只能不停地向 前，不能停止也不能倒退。而科幻小说中的 时间隧道是可进可退的， 这就是科学与科幻 的区别。二、四维欧氏空间及直角坐标系 借助射影几何的观点， 在三维空间中一 条直线与一个平面至少相交于一点， 两个平 面至少相交于一条直线。 但两条直线可以相 交与一点，也可以没有交点（异面）。列表 表示：-平面直线平面直线点直线点不定在四维空间中，除了直线、平面以外还 有许多三维空间。为了方便，将这些三维空 间称为“三维面”，平面称为“二维面”， 直线还叫直线。于是在四维空间有：三维面三维面 二维面 二维面 直线直线点八、二维面直线直线点 不定点 不定 不定由此还可得出：在四维空

9、间中，三个三 维面至少交于一条直线， 四个三维面至少交 于一点。四维欧氏空间中的笛卡尔坐标系由相交于一点O的四条两两垂直的直线构成。有四条坐标轴0X,0Y,OZ,OT六个二维坐标面 XOY,XOZ,XOT,YOZ,YOT,ZQT 四个三维坐标 面OXY Z,OX YT,OXZT, OYZ。任何一个三维坐 标面就是一个三维欧氏空间。三、欧拉公式在三维欧氏空间中， 建立笛卡尔直角坐 标系 O-XYZ 。再设 A，B，C 的坐标为（ 1， 0，0），（0，1，0），（0，0，1），则以 OA， OB， OC 为邻边的立方体 I3 成为三维欧氏 空间中的标准立方。 它有 8 个顶点， 12 条棱 和

10、6 个面，且满足关系：顶点数棱数+面数=2以 OA 、OB、OC 为邻边还决定一个四面体 C3，称为三维欧氏空间中的标准单形。C3有 4 个顶点， 6 条棱和 4 个面，也满足顶点数棱数+面数=2可以证明， 三维欧氏空间中的任何多面 体，只要中间没有“洞” ，都满足以上公式。 这个公式就是著名的“欧拉公式” 。在四维空间，假设笛卡尔直角坐标系O-XYZT 。A , B , C , D分别是坐标为（1, 0， 0， 0），（ 0， 1 ， 0， 0），（ 0， 0， 1 ， 0） 和（ 0， 0， 0， 1 ）的点，则以 OA ， OB ， OC ， OD 为邻边可以构成一个四维方体 I4， 它

11、的每条边长为 1 ，它的每个二维面是正方 形，面积为 1 ；它的每个三维面是立方体， 体积为 1 ；如果计算 I4 的体积也是 1。所以 I4 是四维欧氏空间中的标准立方体。在三维坐标面 OXYZ 上有 I4 的一个 三维面，就是以 OA ， OB， OC 为邻边的三 维立方体。它应该有 8 个顶点， 12 条棱和 6 个二维面。 I4 有 8+8=16 个顶点， 32 条棱， 24 个二维面， 8 个三维面。且满足： 顶点数棱数二维面数三维面数= 0 这就是欧拉公式在四维欧氏空间中的情形。 将以上结果列表：顶点棱二维面三维面欧拉数立方体 812602四面体 46402四维立方体 163224

12、80五胞体 5101050三、 镜面反射欧氏几何中的“合同”就是全等。两个三角形全等可以通过：平移，旋转或轴反射 使它们重合。这里的轴反射就是镜面反射， 也说两个三角形是轴对称的。 但是这个反射 必须借助包含它们所在平面的三维空间。 （见图）如果仅限于在平面内，不可能使两 个三角形重合。现在把问题的维数提高一维， 考察三维 空间中两个成镜面反射的图形。设四面体 ABCD 与四面体 A'B 'C'D '在同一个三维空 间中成镜面反射，它们关于平面 a 对称。因 此平面 a 是线段 AA ',BB ',CC ',DD '的公共的 垂直

13、平分面 要想通过移动使两个四面体重 合是不可能的 但是如果这个三维空间是某个四维空间中的一个三维面， 在这个四维空间中绕平面a的旋转就可以使两个四面体 重合四、超球面1.三维空间中的超球面在三维空间中的一个球面， 也称为三维 空间中的超球面。取原点为中心，半径为1 的单位球面，记作： S2 ，其方程是 x2 y2 z2 1 s2有以下性质：(1) 在三维欧氏空间中要确定一个球面， 只要知道球心与半径，即4个参数，球心(a,b,c)，半径r。(2) 球面具有最丰富的对称性。球心是对 称中心；直径是对称轴；每个过球心的平面 是对称平面。(3) 从s2上的每个点向XOY面引垂线， 则垂足构成以O为中

14、心，1为半径的圆盘， 如果取一般的平面，S2在它上的投影方程比 较复杂，但仍是单位圆盘。称为s2在XOY面上的投影。即z0x2 y2 1因为平面上的圆就是二维空间中的超球面， 所以，三维空间中的超球面，向任何一个平 面投影就得到这个平面中的一个超球面。(4) 如果用一个平面去截 s2，截痕是一个 圆，当平面过中心，截痕是大圆。这个事实 可以叙述为：在三维空间中，用一个二维空 间去截二维球面，得到一个一维球面。(5) 球面是一个封闭曲面，将三维空间分 成互不相通的两部分。2 .四维空间中的超球面方程四维欧氏空间中的超球面仍是到定点 距离相等的点的集合。仍以单位球面为例， 记作： S3 ，方程为 x2 y2 z2 t2 1 按照类比的思想，s3应该与s2有一些类似的 性质：(1) 在四维空间中要确定一个超球面，同 样只要知道球心与半径，即5个参数，球心(a,b,c,d)，半径r。(2) 四维空间中的超球面是三维球面，它 仍是关于中心对称，关于任意直径对称，关 于过球心的平面对称，此外，对于过球心的 任意三维面，它都是“体对称“图形。(3) 当把s3投影到三维坐标面O XYZ上，可得：t0222x y z 1它表示三维空间O XYZ中的单位球体。于是有：在四维空间中，超球面 S3在任一个三维空间 中的投影