平方根与算术平方根立方根无理数

1、平方根、算术平方根和立方根平方根、算术平方根和立方根1.什么叫平方根？什么叫平方根？一般的，一般的，如果一个数如果一个数X的平方等于的平方等于a，即，即x2=a那么那么这个数这个数X叫做叫做a的平方根（也叫做二次方根）。的平方根（也叫做二次方根）。 例如，因为例如，因为3 3和和-3-3的平方都等于的平方都等于9 9，我们就说，我们就说3 3和和-3-3是是9 9的平方根。也可以说的平方根。也可以说: :9 9的平方根是的平方根是3.如何表示一个数的平方根？如何表示一个数的平方根？2叫做叫做4的平方根。的平方根。2=4，（，（-2）=4，aaa（读作“负根号”）的负平方根，用“”表示，。根号根

2、号被开方数被开方数aaa一 个 正 数的 正 平 方 根 ， 用 “”（ 读 作 “ 根示 ，号表” ） 。aaa（读作“正、负根号，”）合起来，一个正数 的平方根就用“”表示。根指数可以省略又叫又叫a的算术平方根的算术平方根例如：4442的平方根表示为：，55的平方根表示为：，2536的平方根表示为：2536255366的平方根表示为：000000. 00的平方根仍是所以，规定：练习：判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出练习：判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们的算术平方根。它们的算术平方根。 100；1；36/121; 0; 0.0025; (-3)2 25； 2.什么叫做

3、算术平方根？什么叫做算术平方根？ 一般地，如果一个一般地，如果一个正数正数x的平方等于的平方等于a,即即 ,那么这个那么这个正数正数x叫做叫做a的的算术平方根算术平方根。0的算术平方根为的算术平方根为0 ax 210010解：1 136612111000.0025没有算术平方根；2393（）25 没有算术平方根；aa的算术平方根的算术平方根记为：记为：读作：读作：a叫做叫做 “根号根号a”,被开方数被开方数。什么叫开平方？ 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方是什么关系？a的平方根的平方根底数幂被开方数被开方数ax 互为互为逆运算逆运算ax 2指数根号根号已知底数和指数求幂已知底

4、数和指数求幂已知幂和指数求底数已知幂和指数求底数平方运算平方运算开平方运算开平方运算例例2 . 求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1）81；（；（2） ； （3）0.49;2516解：解：(1) (9)2=81，（2）2516)54(2 的平方根是的平方根是 ，251654 (3)(0.7)2=0.49， 0.49的平方根为的平方根为0.7 即即0749. 0 81的平方根为的平方根为9981 即：即：542516 即即自学并讨论？自学并讨论？自学并讨论？自学并讨论？平方根有什么性质？ 议一议议一议 （1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？（

5、2）0有几个平方根？有几个平方根？（3）一个负数呢？）一个负数呢？(1)144的平方根是什么的平方根是什么? (2)0的平方根是什么的平方根是什么? (3) 的平方根是什么的平方根是什么? (4)-4的平方根是什么的平方根是什么?为什么为什么?从上面的回答中从上面的回答中,你发现了什么你发现了什么?12164试一试试一试:1208/11没有平方根没有平方根 一个正数一个正数a有两个平方根有两个平方根,它们互为相反数它们互为相反数; 0只有一个平方根，它是只有一个平方根，它是0本身；本身； 负数没有平方根负数没有平方根.记一记！记一记！牢记这个牢记这个性质！性质！知道知道n平方根与算术平方根的联

6、系与区别平方根与算术平方根的联系与区别： 联系联系 （1 1）具有包含关系具有包含关系: :平方根包含算术平方根，算术平平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。方根是平方根的一种。 （2 2） 存在条件相同：存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非平方根和算术平方根都具有非负性负性 （3 3） 0 0的平方根和算术平方根都是的平方根和算术平方根都是0 0。 区别区别 （1 1） 定义不同：定义不同： “如果如果一个数一个数X X的平方等于的平方等于a a，那么，那么这个数这个数X X叫做叫做a a的平方根的平方根”， “如果如果一个正数一个正数x x的平方等于的平方等于a, a,即即

7、x x2 2 =a,=a,那么这个正数那么这个正数x x叫做叫做a a的算术平方根的算术平方根”。 （2 2）个数不同：个数不同：一个正数一个正数有两个有两个平方根，而一个正平方根，而一个正数的算术平方根数的算术平方根只有一个只有一个。 （3 3）表示方法不同：表示方法不同：正数正数a a的算术平方根表示为的算术平方根表示为 ，而正数而正数a a的平方根表示为的平方根表示为立方根：立方根： 一般地，如果一个数一般地，如果一个数x x的立方等于的立方等于a，即，即x3=a，那么那么这个数这个数x就叫做就叫做a的的立方根立方根(也叫做三次方也叫做三次方根根) 。2.表示方法：表示方法：1. 定义定

8、义:求一个数a的立方根的运算叫做开立方开立方，其中a叫做被开方数开立方：什么叫做开平方？那开立方呢？什么叫做开平方？那开立方呢？例题例题1、求下列各数的立方根：、求下列各数的立方根：(1) 27 (2)-27 (3) (4) -0.064 (5)0 271 通过对以上问题的解答，你能总通过对以上问题的解答，你能总结出立方根有什么样的性质？结出立方根有什么样的性质？ 正数的立方根是正数正数的立方根是正数;负数的立方负数的立方根是负数根是负数;零的立方根是零的立方根是0.说明说明:立方根的个数的性质可以概括为立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性立方根的唯一性,即一个数的立方根是即一个数的立方

9、根是唯一的唯一的.立方根的性质：立方根的性质：思考：思考： 平方根与立方根的区别和联系平方根与立方根的区别和联系 平方根平方根立方根立方根性性质质正数正数0 0负数负数表示方法表示方法被开方数被开方数的范围的范围 两个，互为相反数两个，互为相反数一个，为正数一个，为正数00没有平方根没有平方根一个，为负数一个，为负数a0a平方根与立方根的区别和联系平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数可以为任何数实数情境导入情境导入有理数有理数小数小数整数整数分数分数有限小数有限小数无限小数无限小数无限不循环小数无限不循环小数 无限循环小数无限循环小数1.所有的有理数都可以用数轴所有的有理数都可以用数轴上的

10、点来表示吗？上的点来表示吗？2.数轴上所有的点都表示有理数轴上所有的点都表示有理数吗？数吗？探究一探究一使用计算器，把下列有理数化成小数的形式：使用计算器，把下列有理数化成小数的形式： = 3.0 = -0.6 = 5.875 任何一个任何一个有理数有理数都能写成都能写成有限小数有限小数或或无限循环小数无限循环小数的形式的形式反过来任何反过来任何有限小数有限小数或或无限循环小数无限循环小数也都是也都是有理数有理数；质疑点拨质疑点拨35-47891111905930.810.120.52 、探究二探究二使用计算器，把下列数化成小数的形式：使用计算器，把下列数化成小数的形式：质疑点拨质疑点拨2-5

11、3323-（开方开不尽开方开不尽的数；的数；含有含有 的数；的数；有规律但不循环有规律但不循环的数；）的数；）无限不循环小数无限不循环小数叫做叫做无理数无理数；（4） 不是有理数。那它应该叫做什么数？41913222方格ACDB（1）正方形ABCD的面积多少？你是怎么考虑的？（2）正方形ABCD的边长为多少？为什么？（3） 这个数是整数吗？是分数吗？22正方形的面积越大，边长也越大正方形的面积越大，边长也越大介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？2思考：思考：4112ACDB222225 . 1_)2_(4 . 15 . 1_2_4 . 122242.

12、 1_)2_(41. 142. 1_2_41. 1222415. 1_)2_(414. 1415. 1_2_414. 12224143. 1_)2_(4142. 14143. 1_2_4142. 122241422. 1_)2_(41421. 141422. 1_2_41421. 1 用这种方法可以得到一系列越来越接近用这种方法可以得到一系列越来越接近 的的 近似值。近似值。 26 209 724 688 801 048 095 373 562 213 414.12 我们把这种我们把这种无限不循环小数无限不循环小数叫做叫做无理数。无理数。2无理数：无理数：无限不循环小数无限不循环小数有理数：有

13、理数：有限小数有限小数或或无限循环小数无限循环小数实实 数数按定义分类：按定义分类：分数分数整数整数开方开不尽的数开方开不尽的数有规律但不循环的数有规律但不循环的数含有含有 的数的数 负负实数实数正正实数实数数数实实正有理数正有理数负有理数负有理数按性质分类：按性质分类：0正无理数正无理数负无理数负无理数0正实数正实数负实数负实数小结：小结： 10有理数可以用数轴上的点表示，有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点表示无理数也可以用数轴上的点表示.你能在数轴上找到表示你能在数轴上找到表示 的点吗？的点吗？ 2每一个每一个无理数无理数都能在数轴上表示出来都能在数轴上表示出来.数轴上的

14、点有些表示数轴上的点有些表示有理数有理数，有些表示，有些表示无理数无理数.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。点是一一对应的。a是一个实数，它的相反数为是一个实数，它的相反数为 -a 0的相反数是_的相反数是_2的相反数是_2 _0 2020一个正实数的绝对值是一个正实数的绝对值是它本身它本身；一个负实数的；一个负实数的绝对值是绝对值是它的相反数它的相反数；0的绝对值是的绝对值是01.实数不是有理数就是无理数。（实数不是有理数就是无理数。（ ）2.无理数都是无限不循环小数。（无理数都是无限不循环小数。（ ）4.无理数都是无限小数。（无理数都是无限小数。（ ）3.带根号的数都是无理数。（带根号的数都是无理数。（ ）5.无理数一定都带根号。（无理